[PDF] Séries de Fourier Rappels de cours et exercices

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S`2T`BMi bm#KBii2/ QM k J` kyR8

>GBb KmHiB@/Bb+BTHBM`v QT2M ++2bb `+?Bp2 7Q` i?2 /2TQbBi M/ /Bbb2KBMiBQM Q7 b+B@

2MiB}+ `2b2`+? /Q+mK2Mib- r?2i?2` i?2v `2 Tm#@

HBb?2/ Q` MQiX h?2 /Q+mK2Mib Kv +QK2 7`QK

i2+?BM; M/ `2b2`+? BMbiBimiBQMb BM 6`M+2 Q` #`Q/- Q` 7`QK Tm#HB+ Q` T`Bpi2 `2b2`+? +2Mi2`bX /2biBMû2 m /ûT¬i 2i ¨ H /BzmbBQM /2 /Q+mK2Mib b+B2MiB}[m2b /2 MBp2m `2+?2`+?2- Tm#HBûb Qm MQM-

Tm#HB+b Qm T`BpûbX

aû`B2b /2 6Qm`B2` _TT2Hb /2 +Qm`b 2i 2t2`+B+2b >KB/ A#`?BK PbKMQp- JQ?K2/ ?K2/ "Qm/`27 hQ +Bi2 i?Bb p2`bBQM, >KB/ A#`?BK PbKMQp- JQ?K2/ ?K2/ "Qm/`27X aû`B2b /2 6Qm`B2` _TT2Hb /2 +Qm`b 2i 2t2`+B+2bX kyR8X ?H@yRRkyNk3

Séries de Fourier

Séries de Fourier

Rappels de cours et exercices

Par 1 2

1Université de Boumerdes, 3500, Algérie 2

2015

Séries de Fourier

AVANT de Fourier de Fourier complexes. préparation de ce livre.

Séries de Fourier

Rappels de CoursSéries de Fourier

1. donnée en une série trigonométrique:

Définition.

0 cos sinnn a

0, , ( 1,2,...)nna a b n

0, , ( 1,2,...)nna a b n

()fx 2

1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,...,cos ,sin ,...x x x x nx nx

produit de deux fonctions quelconques 2 intégrales du produ 2 >,2aa 211
a kxdx kx ka k ka S 211
a kxdx kx ka k ka S 2 sin cos , a kx mxdx 2 cos cos a kx mxdx 2 sin sin a kx mxdx 1 kx mx k m x k m x

Ayant en vu des formules (03),

2 sin cos 0 a kx mxdx 2 sin sin 0 a kx mxdx 2 cos cos 0 a kx mxdx km On calcule maintenant les intégrales du carré des fonctions de la famille (02). 2

Séries de Fourier

22

1 cos2 1 1

aa x S 2 cos ( 1) a kxdxdx k a ()fx et égale sur cet 0 ( ) ( cos sin )kk a somme des intégrales des termes de la série (08). Ceci est possible si la série (08) est rvalle 0 ()kk a . On obtient, 0 ( ) ( cos sin )kk a

S S S S

f

0( ) .f x dx a

S

01a f x dx

S ,kkab cos et sinnx nx cos et sinnx nx 0 ( )cos cos ( cos cos cos sin )kk a

S S S S

f 0 ( )sin sin ( sin cos sin sin )kk a

S S S S

f ( )cos ,nf x nxdx a S ( )sinnf x nxdx b S ,nnab

1 na f x nxdx

S

1 nb f x nxdx

S

Séries de Fourier

Définition.

()fx ()fx on donnée ()fx analyse harmonique. ()fx ()fx 0 ( ) cos sin .kk a ()fx ()fx ()fx ()fx ()fx soit continue ()fx ()fx ()fx Théorème 1. (Théorème de Dirichlet). Si la fonction f ()fx f ( 0) ( 0) f x f x ( 0) ( 0) ff ( 0)f ,x ( 0)f x

Théorème 2. Soit

f 2 discontinuités de première espèce .Alors si f ()fx ( 0) ( 0) f x f x f

Théorème 3

, où la fonction f f ()fx f ( 0) ( 0)ff f x 2 x 2 .Ainsi si nous considérons la série de Fourier à

Séries de Fourier

, nous devons supposer que la fonction f 2

2. Séries de Fourier des fonction

Il résulte de la définition

()hx 0 ( ) 2 ( )h x dx h x dx S ()hx ()h x dx S ()fx ( )sinf x nx ( )cosf x x 0

12 a f x dx f x dx

S 0

12 na f x nxdx f x nxdx

S

1 nb f x nxdx

S ne fonction paire ()fx 0 ( ) cosn a ()fx

01 a f x dx

S

1 na f x nxdx

S 0

12 nb f x nxdx f x nxdx

S ()fx 1 ( ) sinn f x a nx

Exemple Soit une fonction périodique

()fx 2 ( ) , .f x x x d d ()fx ( )cosf x nx

00, 0.naa

nb 1 2( 1) n x nx S 1

2( 1) ( 1)

nn xx .r x r la somme de la série est égale à zéro. 1 si n xx S quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24

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