[PDF] Séries entières séries de Fourier (mercredi 18 novembre)

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Agrégation interne

Séries entières, séries de Fourier (mercredi 18 novembre)

Quelques références bibliographiques :

- Livres de classes préparatoires : ils ont tous des chapitres consacrés à ce sujet! - Carnet de voyages en Analystan. Chapitre 6 (exercices corrigés). - H. Queffélec, C. Zuily : analyse pour l"agrégation. - J.-F. Dantzer : Analyse et probabilités.

Leçons concernées :

- 210 : Séries entières de variable réelle ou complexe. Rayon de convergence. Pro- priétés de la somme. Exemples. - 212 : Série de Fourier d"une fonction périodique; propriéte?s de la somme. Exemples. - 213 : Exponentielle complexe; fonctions trigonométriques et hyperboliques, nombre - 264 : Fonctions développables en série entière. - 412 : Exemples de développements d"une fonction en série entière. Applications. - 413 : Exemples d"applications des séries entières. - 414 : Exemples de séries de Fourier et de leurs applications. De plus ces séries ont leur utilité pour les EDO (leçons 225 ou 429 par exemple), en

probabilités (fonction génératrice), en algèbre (exponentielle matricielle), etc.A. Popier1

1 Séries entières

1.1 Rayon de convergence

Exercice 1

1. Donner la définition du rayon de convergence d"une série entière de la variable

complexe.

2. Soit(an)n2Nune suite bornée telle que la sériePandiverge. Quel est le rayon de

convergence de la série entièrePanzn.

3. Quel est le rayon de convergence de la série entière

X n1(pn)(1)nln

1 +1pn

z n?

Réponse.

1. Soit la série de terme généralanzn. Le rayon de convergence est le seul nombreR2[0;+1]tel

que - sijzj< R, la série converge absolument; - sijzj> R, la série diverge; - sijzj=R, on ne peut rien conclure en général.

2. Commeanest bornée, sijzj<1, alors pour toutn,janznj=janjjzjnMjzjnetPjzjn<+1.

Donc la série entière converge sijzj<1. DoncR1. Comme la série diverge pourz= 1, alors

R1. Conclusion :R= 1.

3. Ici

0an= (pn)(1)nln

1 +1pn

=8 >:pnln

1 +1pn

; npair, 1pn ln

1 +1pn

; nimpair.

Comme pour toutu0,ln(1 +u)u, on a

0an8 :1; npair, 1n ; nimpair. Donc c"est une suite bornée et commeln(1+u)upouruproche de zéro,Pandiverge. D"après la question 2,R= 1. Exercice 2Pourn2Netx2R, on poseun(x) =(1)n+1x2n+1(2n+ 1)(2n1).

1. Déterminer le rayon de convergence de cette série entière.

2. Déterminer le domaine de continuité de la sommeSde cette série.

3. (a) CalculerS(x).

(b) En déduire +1X n=1(1)n+14n21.

A. Popier2

Réponse.Attention ici

X n1u n(x) =X n1(1)n+1(2n+ 1)(2n1)x2n+1=X k0a kxk: Donc tous lesa2nsont nuls eta2n+1=(1)n+1(2n+ 1)(2n1):

1. Il est facile de voir que

1 X k=0jakj=1X n=1ja2n+1j=1X n=11(2n+ 1)(2n1)<+1: Donc la série converge absolument pourx= 1, ainsiR1. Ensuite sijxj>1, ja2n+1jjxj2n+1=1(2n+ 1)(2n1)jxj2n+1!+1: La série desun(x)diverge (grossièrement puisque la suite ne tend pas vers zéro). DoncR= 1.

2. De là la sommeSest continue sur]1;1[(propriété valable pour toutes les séries entières). De

plus pour toutx2[1;1] jun(x)j 1(2n+ 1)(2n1) donc il y a convergence normale sur[1;1]. Donc continuité sur cet ensemble.

3. (a) Soitx2]1;1[. On a

1(2n+ 1)(2n1)=12

12n+ 1+12n1

Or par intégration,

+1X n=0(1)nx2n+12n+ 1=arctan(x)) +1X n=1(1)n+1x2n+12(2n+ 1)=12 arctan(x)x2

De plus

+1X n=1(1)nx2n+12n1=x2+1X n=1(1)nx2n12n1=x2+1X n=0(1)k+1x2k+12k+ 1=x2(arctan(x)): Ainsi +1X n=1(1)n+1x2n+12(2n1)=12 x2(arctan(x)) et

S(x) =12

x2(arctan(x)) +12 arctan(x)x2 (b) Par continuité, +1X n=1(1)n+14n21=S(1) =4 12

Exercice 3Pourn2N, on posean= 1 +12

+:::+1n

A. Popier3

1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière

+1X n=1a nxn.

2. (a) Vérifier que cette série entière est le produit de deux séries que l"on détermi-

nera. (b) En déduire +1X n=1a nxn.

Réponse.

1. D"Alembert :

lim n!+1jan+1jjanj= limn!+11 +:::+1n+11 +:::+1n = limn!+1ln(n+ 1)lnn= 1:

Donc le rayon de convergence est 1.

2. (a) Prenonsbn= 1=netcn= 1. Alors

a n=nX k=1b kcnk: (b) +1X n=1x nn =ln(1x)et+1X n=1x n=11x. Donc+1X n=1a nxn=ln(1x)1x. Exercice 4Soit(an)une suite de nombres réels déterminée par la donnée dea0= 0, a

1= 1et la relation de récurrencean=an1+an2pourn2. On considère la série

entière +1X n=0a nzn.

1. Montrer que l"on a pourn1,0< an2n1. En déduire que le rayon de

convergenceRde la série entière est minoré par un réel positif que l"on précisera.

2. On pose pourjzj< R,f(z) =+1X

n=0a nzn. Montrer que l"on a(1zz2)f(z) =z. En déduire queRest majoré par un réel positidf que l"on précisera.

3. Soientz1etz2les deux racines dez2+z1 = 0. Calculer les coefficientsanen

fonction dez1etz2en décomposantf(z)en éléments simples. Trouver le rayon de convergenceR.

Réponse.

1. Par récurrence.R1=2: en effet sijxj<1=2, alors

X njanjjxjn12 X n(2jxj)n<+1:

A. Popier4

2. Pour toutjzj< R,

(1zz2)f(z) = (1zz2)+1X n=0a nzn=+1X n=0a nzn+1X n=0a nzn+1+1X n=0a nzn+2 +1X n=0a nzn+1X m=1a m1zm+1X m=2a m2zm =a0+a1za0z++1X n=2(anan1an2)zn=z cara0= 0eta1= 1etanan1an2= 0.

3. Les racines sont :z1= (p51)=2etz2= (p51)=2. Avecz1+z2=1etz1z2=1. Notons

quejz1j=z11z+z2z 2z11z 2z 1z

1z211(z=z1)1z

1z211(z=z2)

1z 1z2" 1X n=0(z=z1)n1X n=0(z=z2)n# Donc elle est bien défini et est analytique sur le disque de rayonR=z1. Commez1z2=p5et 1z

1= 21p51= 2p5 + 1

4 =p5 + 1 2 ;1z 2= 21 p51=1p5 2

Et par identification :

a n=1p5 1 +p5 2 n 1p5 2 n# Exercice 5étant un nombre réel positif, on donne la série+1X n=1n xn.

1. Calculer le rayon de convergence de cette série. On désigne parg(x)la somme

de cette série en un pointxdu disque de convergence. Établir pourjxj<1une relation entreg+1etg0.

2. Montrer que pourjxj<1, on a :gp(x) =xQp(x)(1x)p+1pour tout entierp,Qpétant

un polynôme de degré(p1)pourp1. En déduire un mode de calcul par récurrence des polynômesQp.

3. Donner un équivalent de la somme en1.

4. Calculer la somme de la série

+1X n=1n 42
n.

Réponse.

A. Popier5

1. Le critère de D"Alembert donneR= 1. En dérivant pour toutjxj<1,xg0(x) =g+1(x).

2. Par récurrence :

g

0(x) =x1x; g1(x) =xg00(x) =x(1x)2:

DoncQ0Q11. Ensuite

xg

0p(x) =xQp(x)(1x)p+1+x2Q0p(x)(1x)p+1+x2(1 +p)Qp(x)(1x)p+2=xQp(x)(1x) +x(1x)Q0p(x) + (1 +p)Qp(x)(1x)p+2

Donc Q p+1(x) = (1x)(Qp(x) +xQ0p(x)) + (p+ 1)xQp(x):

Par récurrence on obtient le degré(p1).

3. On a :Qp+1(1) = (p+ 1)Qp(1), doncQp(1) =p!. Doncgp(x)(p!)=(1x)p+1.

4.Q2(x) = 1+x,Q3(x) = 1+4x+x2etQ4(x) = 1+11x+11x2+x3, donc+1X

n=1n 42
n= 24Q4(1=2) = 150. Exercice 6Rayon de convergence de la série entièreXa nxnoùan=(3n)!n!n2n. Étude aux bornes de l"intervalle de convergence.

Réponse.On au

n+1u n = 3(3n+ 1)(3n+ 2)(n+ 1)21 1 +1n

2njxj !27e

2jxj: Rayon de convergencee2=27. Six=e2=27,junj=(3n)!n!n2ne 2n3

3ne2n3

3nn2ne

3n(3n)3np6ne

nnnpn =p3. Donc divergence.Exercice 7Soitf:]R;R[!R(avecR >0) de classeC1vérifiant

8n2N;8x2]R;R[; f(2n)(x)0:

Montrer la convergence de la série

X

1n!f(n)(0)xn

pour toutx2]R;R[.

Réponse.L"idée est de se débarrasser des dérivées d"ordre impair en zéro sur lesquelles on n"a pas

d"information. Or pour les fonctions paires, ces dérivées sont nulles! PosonsF(x) =f(x) +f(x). Cette fonction est paire et donc pour toutk2N,F(2k+1)(0) = 0. Donc en appliquant la formule de Taylor avec reste intégral pour toutx2[0;r],r < R

F(x) =F(0) +x22!

F00(0) +:::+x2n(2n)!F(2n)(0) +Rn(x)

A. Popier6

avec R n(x) =Z x

0(xt)2n+1(2n+ 1)!F(2n+2)(t)dt:

De plus pour toutk,F(2k)(0) = 2f(2k)(0)0. Ainsi0Rn(r)F(r). Il faut maintenant montrer queRn(x)!0lorsque0x < r. Remarquons que pour tout0tx < r,

0xtbtxb

<1: Donc

0Rn(x) =Z

x 0 xtbt

2n+1(bt)2n+1(2n+ 1)!F(2n+2)(t)dtxb

2n+1Zx

0(bt)2n+1(2n+ 1)!F(2n+2)(t)dt

xb 2n+1R n(r)xb

2n+1F(r):

DoncRn(x)!0pour tout0x < ret ainsi

(1)8x2[0;r[; F(x) =+1X n=0x

2n(2n)!F(2n)(0):

CommeFest paire, c"est vrai aussi sur]r;r[.

Revenons àf. Pourx2]r;r[

f(x) =2n+1X k=0x kk!f(k)(0) +rn(x); rn(x) =Z x

0(xt)2n+1(2n+ 1)!f(2n+2)(t)dt:

Or0f(2n+2)(t)f(2n+2)(t) +f(2n+2)(t) =F(2n+2)(t):Doncjrn(x)j Rn(jxj). Ainsi si S n(x) =nX k=0x kk!f(k)(0); alorsf(x) = limn!1S2n+1(x):Comme S

2n(x)S2n1(x) =x2n(2n)!f(2n)(0) =12

x

2n(2n)!F(2n)(0)

est le terme général d"une série convergence (voir (1)), elle tend vers zéro. Donc lim n!+1S2n(x) =f(x) = limn!+1Sn(x): À titre d"exemple, on peut considérer la fonction tangente, qui est de classeC1sur]=2;=2[, qui satisfait les hypothèses.1.2 Développement en série entière

Exercice 8Déterminer les DSE en 0 de :

-f:x7!ex1 +x; -g:x7!ln(1 +x+x2);

A. Popier7

-h:x7!1(1x)(1 +x2); -i:x7!ln(x+px

2+ 1);

Réponse.

- Pour toutx2]1;1[,ex1 +x=+1X n=0(1)n

1 +11!

+:::+1n! x n. - Pour toutx2]1;1[,ln(1 +x+x2) = lnj1x3j lnj1xj=+1X n=1(x3)nn ++1X n=1x nn - Pour toutx2]1;1[,1(1x)(1+x2)=12

11x+x1+x2+11+x2

. Donc h(x) =12 +1X n=0x n+x+1X n=0(x2)n++1X n=0(x2)n! 12 +1X n=0x n++1X n=0(1)nx2n+1++1X n=0(1)nx2n! Pour la seconde somme, on distinguen= 2ppair etn= 2p+ 1impair : +1X n=0(1)nx2n+1=+1X p=0(1)2px4p+1++1X p=0(1)2p+1x4p+3=+1X p=0x

4p+1+1X

p=0x 4p+3:

Idem pour la troisième,npair ou impair

+1X n=0(1)nx2n=+1X p=0x 4p+1X p=0x 4p+2:

Enfin pour la première, on regardenmodulo 4 =

+1X n=0x n=+1X p=0x

4p++1X

p=0x

4p+1++1X

p=0x

4p+2++1X

p=0x 4p+3:

Ainsi en arrangeant le tout :

h(x) =12 +1X n=0x n++1X n=0(1)nx2n+1++1X n=0(1)nx2n! 12 +1X n=0 x4n+x4n+1: - Dériveri:i0(x) = (1 +x2)1=2. Donc

1p1 +x2=+1X

n=0(1)n135:::(2n1)246:::(2n)x2n: Attention par conventionk! = 0ce qui permet de faire démarrer la somme àn= 0. C"est

équivalent à

1p1 +x2= 1 ++1X

n=1(1)n135:::(2n1)246:::(2n)x2n:

Pour toutx2]1;1[,

i(x) =+1X n=0(1)n135:::(2n1)246:::(2n)x

2n+12n+ 1=+1X

n=0 14 n2n n x2n+12n+ 1:quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24

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