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SOMMAIRE Prérequis et rappels de définitions : 1 Espaces topologiques : 2 Limites - Continuité : 5 Espaces métriques : 8 Topologie produit :

  • Comment définir une topologie ?

    En mathématiques, le mot topologie désigne l'étude des propriétés de continuité des fonctions, de limite des suites,etc Mais ceci correspond aussi à une définition très précise : Définition : Soit O une famille de parties d'un ensemble X .

  • Quelles sont les 5 relations topologiques ?

    Les relations topologiques exploitées dans ce contexte sont l'adjacence, la connectivité, l'inclusion et l'intersection.

  • Qui a inventé la topologie ?

    Henri Poincaré (1854-1912) est considéré comme l'inventeur de la topologie algébrique et différentielle.
  • Définition 1. On appelle espace topologique un couple (X,T ) où X est un ensemble et T une famille de parties de X vérifiant : (T1) ??T , X ? T , (T2) Une intersection finie d'éléments de T appartient à T , (T3) Une reunion quelconque d'éléments de T appartient à T . On appelle T la topologie sur X.
Introduction à la topologie algébrique Garantir le type dhomotopie d

Introduction

Introduction `a la topologie alg´ebrique

Condition suffisante pour "Etoil´e"

Discr´etisation

Introduction `a la topologie alg´ebrique

Garantir le type d"homotopie d"un ensemble via le

calcul par intervallesNicolas Delanoue, Luc Jaulin, Bertrand Cottenceau Groupe ensembliste - Universit´e d"Angers - LISA

Jeudi 3 F´evrier 2005

Nicolas Delanoue, Luc Jaulin, Bertrand CottenceauGarantir le type d"homotopie d"un ensemble - 1

Introduction

Introduction `a la topologie alg´ebrique

Condition suffisante pour "Etoil´e"

Discr´etisation

Fig.:Exemples de graphes g´en´er´es par l"algorithmeC.I.A.(Connexity via Interval Analysis.) Nicolas Delanoue, Luc Jaulin, Bertrand CottenceauGarantir le type d"homotopie d"un ensemble - 2

Introduction

Introduction `a la topologie alg´ebrique

Condition suffisante pour "Etoil´e"

Discr´etisation

Objectif :

Construire une triangulation du mˆeme type d"homotopie que : S=s? i=1r i?

Introduction

Introduction `a la topologie alg´ebrique

Condition suffisante pour "Etoil´e"

Discr´etisation

S=?

rithmeHomotopy via Interval Analysis.Nicolas Delanoue, Luc Jaulin, Bertrand CottenceauGarantir le type d"homotopie d"un ensemble - 4

Introduction

Introduction `a la topologie alg´ebrique

Condition suffisante pour "Etoil´e"

Discr´etisation

Plan de l"expos´e

1Introduction `a la topologie alg´ebrique

2Condition suffisante pour "Etoil´e"

3Discr´etisation

Nicolas Delanoue, Luc Jaulin, Bertrand CottenceauGarantir le type d"homotopie d"un ensemble - 5

Introduction

Introduction `a la topologie alg´ebrique

Condition suffisante pour "Etoil´e"

Discr´etisationHom´eomorphime

Invariant topologique

Le groupe fondamental

Ensemble du mˆeme type d"homotopie

Triangulation

D´efinition - Hom´eomorphisme

SoientXetYdes espaces topologiques. On dit quef:X→Y est un hom´eomorphisme si1fest continue.2fest bijective.3f -1est continue.D´efinition - Espaces hom´eomorphes Deux espaces topologiquesXetYsont dits hom´eomorphes s"il

existe un hom´eomorphismef:X→Y.Nicolas Delanoue, Luc Jaulin, Bertrand CottenceauGarantir le type d"homotopie d"un ensemble - 6

Introduction

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Condition suffisante pour "Etoil´e"

Discr´etisationHom´eomorphime

Invariant topologique

Le groupe fondamental

Ensemble du mˆeme type d"homotopie

Triangulation

Exemples d"hom´eomorphismes

Fig.:Exemple d"ensembles hom´eomorphes.

Nicolas Delanoue, Luc Jaulin, Bertrand CottenceauGarantir le type d"homotopie d"un ensemble - 7

Introduction

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Condition suffisante pour "Etoil´e"

Discr´etisationHom´eomorphime

Invariant topologique

Le groupe fondamental

Ensemble du mˆeme type d"homotopie

Triangulation

Exemples d"hom´eomorphismes

Exemple d"ensembles hom´eomorphes.

On noteraX≂=Y≂=Z.Nicolas Delanoue, Luc Jaulin, Bertrand CottenceauGarantir le type d"homotopie d"un ensemble - 8

Introduction

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Discr´etisationHom´eomorphime

Invariant topologique

Le groupe fondamental

Ensemble du mˆeme type d"homotopie

Triangulation

Exemples d"hom´eomorphismes

Exemple d"ensembles hom´eomorphes.

Nicolas Delanoue, Luc Jaulin, Bertrand CottenceauGarantir le type d"homotopie d"un ensemble - 9

Introduction

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Condition suffisante pour "Etoil´e"

Discr´etisationHom´eomorphime

Invariant topologique

Le groupe fondamental

Ensemble du mˆeme type d"homotopie

Triangulation

Invariant topologique

Nombre de composantes connexes par arc.

Soitπ0la fonction suivante :

0:{Espaces "gentils"} →N

X?→Nombre de composantes

connexes par arcs deXNicolas Delanoue, Luc Jaulin, Bertrand CottenceauGarantir le type d"homotopie d"un ensemble - 10

Introduction

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Discr´etisationHom´eomorphime

Invariant topologique

Le groupe fondamental

Ensemble du mˆeme type d"homotopie

Triangulation

Fig.:π

0(X)etπ0(Y).Nicolas Delanoue, Luc Jaulin, Bertrand CottenceauGarantir le type d"homotopie d"un ensemble - 11

Introduction

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Discr´etisationHom´eomorphime

Invariant topologique

Le groupe fondamental

Ensemble du mˆeme type d"homotopie

Triangulation

Fig.:π

0(X)etπ0(Y).Nicolas Delanoue, Luc Jaulin, Bertrand CottenceauGarantir le type d"homotopie d"un ensemble - 12

Introduction

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Discr´etisationHom´eomorphime

Invariant topologique

Le groupe fondamental

Ensemble du mˆeme type d"homotopie

Triangulation

Fig.:π

0(.)est un invariant topologique.Nicolas Delanoue, Luc Jaulin, Bertrand CottenceauGarantir le type d"homotopie d"un ensemble - 13

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Invariant topologique

Le groupe fondamental

Ensemble du mˆeme type d"homotopie

Triangulation

Fig.:π

0(.)est un invariant topologique.Nicolas Delanoue, Luc Jaulin, Bertrand CottenceauGarantir le type d"homotopie d"un ensemble - 14

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Discr´etisationHom´eomorphime

Invariant topologique

Le groupe fondamental

Ensemble du mˆeme type d"homotopie

Triangulation

Fig.:π

0(.)est un invariant topologique.Nicolas Delanoue, Luc Jaulin, Bertrand CottenceauGarantir le type d"homotopie d"un ensemble - 15

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Discr´etisationHom´eomorphime

Invariant topologique

Le groupe fondamental

Ensemble du mˆeme type d"homotopie

Triangulation

Fig.:π

0(.)est un invariant topologique.Nicolas Delanoue, Luc Jaulin, Bertrand CottenceauGarantir le type d"homotopie d"un ensemble - 16

Introduction

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Discr´etisationHom´eomorphime

Invariant topologique

Le groupe fondamental

Ensemble du mˆeme type d"homotopie

Triangulation

0(.)est un invariant topologique car

SiX≂

=Yalorsπ0(X)=π

0(Y)SiXetYdeux espaces topologiques, tels queπ0(X)?=π

0(Y) alorsX?

≂=Y.Nicolas Delanoue, Luc Jaulin, Bertrand CottenceauGarantir le type d"homotopie d"un ensemble - 17

Introduction

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Discr´etisationHom´eomorphime

Invariant topologique

Le groupe fondamental

Ensemble du mˆeme type d"homotopie

Triangulation

Il existe des ensembles topologiques tels que

X?≂=Yetπ0(X) =π0(Y)Fig.:π

0(.)n"est pas un invariant assez fort.Nicolas Delanoue, Luc Jaulin, Bertrand CottenceauGarantir le type d"homotopie d"un ensemble - 18

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Discr´etisationHom´eomorphime

Invariant topologique

Le groupe fondamental

Ensemble du mˆeme type d"homotopie

Triangulation

D´efinition - Fonctions homotopes

Deux fonctions continuesf,g:X→Ysonthomotopes,f≂g s"il existe une fonction continueF:X×[0,1]→Y, telle que :

F(x,0) =f(x) etF(x,1) =g(x),?x?X.Nicolas Delanoue, Luc Jaulin, Bertrand CottenceauGarantir le type d"homotopie d"un ensemble - 19

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Invariant topologique

Le groupe fondamental

Ensemble du mˆeme type d"homotopie

Triangulation

f≂gNicolas Delanoue, Luc Jaulin, Bertrand CottenceauGarantir le type d"homotopie d"un ensemble - 20

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Invariant topologique

Le groupe fondamental

Ensemble du mˆeme type d"homotopie

Triangulation

Fig.:Toutes ces fonctions sont homotopes.

Nicolas Delanoue, Luc Jaulin, Bertrand CottenceauGarantir le type d"homotopie d"un ensemble - 21

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Invariant topologique

Le groupe fondamental

Ensemble du mˆeme type d"homotopie

Triangulation

f≂f0Nicolas Delanoue, Luc Jaulin, Bertrand CottenceauGarantir le type d"homotopie d"un ensemble - 22

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Invariant topologique

Le groupe fondamental

Ensemble du mˆeme type d"homotopie

Triangulation

D´efinition duπ1d"un ensembleSoitYun espace topologique connexe par arcs, ety0?Y,

1(Y,y0) ={f:S1→Y, fcontinue,f(x0) =y0}/≂Fig.:f

1etf 0. Poincar´e, H. "Analysis situs", J. Ecole polytech. (2)1, 1-121 (1895). Nicolas Delanoue, Luc Jaulin, Bertrand CottenceauGarantir le type d"homotopie d"un ensemble - 23

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Invariant topologique

Le groupe fondamental

Ensemble du mˆeme type d"homotopie

Triangulation

D´efinition duπ1d"un ensembleSoitYun espace topologique connexe par arcs, ety0?Y,

1(Y,y0) ={f:S1→Y, fcontinue,f(x0) =y0}/≂Fig.:f

2Poincar´e, H. "Analysis situs", J. Ecole polytech. (2)1, 1-121 (1895).

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Discr´etisationHom´eomorphime

Invariant topologique

Le groupe fondamental

Ensemble du mˆeme type d"homotopie

Triangulation

Propri´et´es

1(Y,y0)est un groupe.f

0×f

1≂f

1. Nicolas Delanoue, Luc Jaulin, Bertrand CottenceauGarantir le type d"homotopie d"un ensemble - 25

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Discr´etisationHom´eomorphime

Invariant topologique

Le groupe fondamental

Ensemble du mˆeme type d"homotopie

Triangulation

Propri´et´es

1(Y,y0)est un groupe.f

1×f

-1≂f

0Nicolas Delanoue, Luc Jaulin, Bertrand CottenceauGarantir le type d"homotopie d"un ensemble - 26

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Triangulation

Fig.:π

1(.)est un invariant topologique.Nicolas Delanoue, Luc Jaulin, Bertrand CottenceauGarantir le type d"homotopie d"un ensemble - 27

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