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Professeur I. Smith
Dr. P. Lestuzzi
Dynamique des
structuresSemestre d"automne 2013/2014
Laboratoire d"Informatique et de Mécanique Appliquées à la ConstructionÉCOLE POLYTECHNIQUE
FÉDÉRALE DE LAUSANNEDestiné aux étudiants en génie civil1erSemestre master
A A ATable des matièresA
A1. IntroductionA.......................................................................................................A1
2. Notions de baseA.................................................................................................A2
2.1 MouvementsA.........................................................................................................A2
2.2 ......................................................................................A3
2.3 Définition de quelques grandeurs dynamiquesA.................................................A3
2.4 Rigidité de la structureA........................................................................................A4
2.5 ......................................................................A5
3. Systèmes à unAdegréAdeAlibertéA........................................................................A6
3.1 Oscillations non amortiesA...................................................................................A6
3.2 Oscillations amortiesA...........................................................................................A9
3.2.1 Amortissement faibleA:AA 3.2.2 AmortissementAfortA:AA>An.................................................................A12
3.2.3 Amortissement critique : A=An ..........................................................A12
3.3 Oscillations entretenues ou forcéesA..................................................................12
3.3.1 Amortissement faibleA:A
0 3.3.2 Avec amortissementA:AA
0 3.4 TransmittanceA.....................................................................................................17
3.4.1 Résonance du système .......................................................................A19
3.4.2 Amortissement nul ..............................................................................A19
3.4.3 Remarque importante .........................................................................A19
3.5 Mouvement de la fondationA................................................................................20
3.6 Réponse à une charge arbitraire........................................................................21
3.6.1 Charges arbitrairesA..............................................................................A21
3.6.2 Force quelconqueA...............................................................................A22
3.6.3 Intégrale de DuhamelA..........................................................................A24
3.6.4 Réponse à une charge échelonA..........................................................A25
3.6.5 Réponse à une force augmentant linéairement...................................A25
3.6.6 Réponse à une force constante appliquée lentementA.........................A26
3.6.7 Réponse à une charge impulsionnelleA................................................A28
3.6.8 ..........................................................A35
3.6.9 Evaluation numériqueA.........................................................................A37
4. Systèmes à masse répartieA............................................................................A43
4.1 Corps rigidesA.......................................................................................................43
4.2 Corps flexiblesA....................................................................................................44
4.2.1 Travail virtuelAliéAàAlaArigiditéAenAflexionA................................................A45
4.2.2 ...................................................................A45
DYNAMIQUE DES STRUCTURESA
iiA 4.2.3 Travail virtuel lié aux forces extérieuresA..............................................A45
4.2.4 Valeurs équivalentesA...........................................................................A46
4.2.5 Charge critique de flambageA...............................................................A46
5. Systèmes à plusieurs degrés de libertéA........................................................A47
5.1 Analyse modaleA...................................................................................................48
5.1.1 Oscillations non-amortiesA....................................................................A49
5.1.2 Oscillations amorties et forcéesA..........................................................A52
5.1.2.1 Amortissement classiqueA.............................................................A53
5.1.2.2 Amortissement de RayleighA.........................................................A54
5.1.2.3 Amortissement non-classiqueA......................................................A54
5.2 Résolution numérique par la méthode de HolzerA.............................................62
5.3 Amortisseur massiqueA.......................................................................................63
6. Réponses et spectresA.....................................................................................A65
6.1 Méthode desAforcesAdeAremplacementA..............................................................65
6.2 Exemple pour une structure à un degré de libertéA...........................................66
6.3 Analyse des réponses dans le domaine fréquentielA.........................................67
6.3.1 Du domaine temporel auAfréquentielA...................................................A67
6.3.2 La transformée de FourierA...................................................................A68
6.3.3 Transformée de Fourier Discrète (TFD)A..............................................A69
6.3.4 Transformée de Fourier Rapide, Fast Fourier Transform (FFT)A..........A72
7. Vent...................................................................................................................A74
7.1 IntroductionA.........................................................................................................74
7.1.1 GénéralitésA..........................................................................................A74
7.1.2 Origine du ventA....................................................................................A77
7.2 Couche limite atmosphériqueA............................................................................77
7.2.1 ......................................A77
7.2.2 Profil vertical des vitesses moyennesA.................................................A78
7.2.3 Intensité de turbulenceA........................................................................A79
7.2.4 Macro-échelleAdeAlaAturbulenceA...........................................................A79
7.2.5 Fonction de densité spectrale énergétiqueA.........................................A79
7.2.5.1 CollinesA........................................................................................A80
7.3 Introduction à la norme SIA 261A........................................................................80
7.3.1 MéthodologieA.......................................................................................A80
7.3.2 Forces dues au vent, approche simpleA...............................................A81
7.3.3 Risques acceptésA................................................................................A82
8. ConclusionA.......................................................................................................A84
A. AnnexeA RappelAsurAlesAstructures...............................................................A85
A.1 RigiditéA................................................................................................................85
A.2 D :AapplicationA
A.3 Corps rigides ......................................................................95 B. Annexe mathématiqueA....................................................................................A96
B.1 Algèbre matricielleA..............................................................................................96
DYNAMIQUE DES STRUCTURESA
iiiA B.2 EquationsAdifférentiellesAhomogènesAduA2e ordreA..........................................A100
B.3 EquationsAdifférentiellesAnonAhomogènesAduA2e ordreA...................................A101
B.4 Formules trigonométriquesA..............................................................................A103
C Vent.................................................................................................................A104
C.1 IntroductionA.......................................................................................................A104
C.1.1 GénéralitésA........................................................................................A104
C.1.2 Origine du ventA..................................................................................A104
C.1.2.1 Circulation atmosphérique généraleA..........................................A105 C.1.2.2 MoussonA....................................................................................A108
C.1.2.3 Cyclones tropicauxA.....................................................................A108 C.1.3 Fonction de densité spectrale énergétiqueA.......................................A110 C.2 CoucheAlimiteAatmosphériqueA.........................................................................A111
C.2.1 Intensité de turbulenceA......................................................................A111
C.2.2 Macro-échelleAdeAlaAturbulenceA.........................................................A111
C.3 ........................................A112
C.3.1 GénéralitésA........................................................................................A112
C.3.2 Répartition des pressions autour des bâtimentsA...............................A113 C.3.3 Répartition des pressions sur les faces et les toitsA............................A114 C.4 Facteur dynamique dans le cas de la résonance dans le sens du ventA........A117 C.5 Références surAleAventA......................................................................................A119
A DYNAMIQUE DES STRUCTURESA
ivA NotationA
A A A A na AAvecteurApropreA
AApulsationArelative,AsoitAȦȦn
c A *c st AAdéplacementAstatiqueA
st Amou masseAsansAmouvementAdeAlaA
fondationA E AAmoduleAdeAYoungA(élasticité)A
xe AAvecteurAdeAdirectionA
nf AAfréquenceApropreA
F AAforceAappliquéeAauAsystèmeA
*F fondationA 0F AAforceAstatiqueA
maxTRF AforceAtransmiseA
I AAinertieA
k AArigiditéA
*k AA L AAquotesdbs_dbs7.pdfusesText_5
3.2.2 AmortissementAfortA:AA>An.................................................................A12
3.2.3 Amortissement critique : A=An ..........................................................A12
3.3 Oscillations entretenues ou forcéesA..................................................................12
3.3.1 Amortissement faibleA:A
03.3.2 Avec amortissementA:AA
03.4 TransmittanceA.....................................................................................................17
3.4.1 Résonance du système .......................................................................A19
3.4.2 Amortissement nul ..............................................................................A19
3.4.3 Remarque importante .........................................................................A19
3.5 Mouvement de la fondationA................................................................................20
3.6 Réponse à une charge arbitraire........................................................................21
3.6.1 Charges arbitrairesA..............................................................................A21
3.6.2 Force quelconqueA...............................................................................A22
3.6.3 Intégrale de DuhamelA..........................................................................A24
3.6.4 Réponse à une charge échelonA..........................................................A25
3.6.5 Réponse à une force augmentant linéairement...................................A25
3.6.6 Réponse à une force constante appliquée lentementA.........................A26
3.6.7 Réponse à une charge impulsionnelleA................................................A28
3.6.8 ..........................................................A35
3.6.9 Evaluation numériqueA.........................................................................A37
4. Systèmes à masse répartieA............................................................................A43
4.1 Corps rigidesA.......................................................................................................43
4.2 Corps flexiblesA....................................................................................................44
4.2.1 Travail virtuelAliéAàAlaArigiditéAenAflexionA................................................A45
4.2.2 ...................................................................A45
DYNAMIQUE DES STRUCTURESA
iiA4.2.3 Travail virtuel lié aux forces extérieuresA..............................................A45
4.2.4 Valeurs équivalentesA...........................................................................A46
4.2.5 Charge critique de flambageA...............................................................A46
5. Systèmes à plusieurs degrés de libertéA........................................................A47
5.1 Analyse modaleA...................................................................................................48
5.1.1 Oscillations non-amortiesA....................................................................A49
5.1.2 Oscillations amorties et forcéesA..........................................................A52
5.1.2.1 Amortissement classiqueA.............................................................A53
5.1.2.2 Amortissement de RayleighA.........................................................A54
5.1.2.3 Amortissement non-classiqueA......................................................A54
5.2 Résolution numérique par la méthode de HolzerA.............................................62
5.3 Amortisseur massiqueA.......................................................................................63
6. Réponses et spectresA.....................................................................................A65
6.1 Méthode desAforcesAdeAremplacementA..............................................................65
6.2 Exemple pour une structure à un degré de libertéA...........................................66
6.3 Analyse des réponses dans le domaine fréquentielA.........................................67
6.3.1 Du domaine temporel auAfréquentielA...................................................A67
6.3.2 La transformée de FourierA...................................................................A68
6.3.3 Transformée de Fourier Discrète (TFD)A..............................................A69
6.3.4 Transformée de Fourier Rapide, Fast Fourier Transform (FFT)A..........A72
7. Vent...................................................................................................................A74
7.1 IntroductionA.........................................................................................................74
7.1.1 GénéralitésA..........................................................................................A74
7.1.2 Origine du ventA....................................................................................A77
7.2 Couche limite atmosphériqueA............................................................................77
7.2.1 ......................................A77
7.2.2 Profil vertical des vitesses moyennesA.................................................A78
7.2.3 Intensité de turbulenceA........................................................................A79
7.2.4 Macro-échelleAdeAlaAturbulenceA...........................................................A79
7.2.5 Fonction de densité spectrale énergétiqueA.........................................A79
7.2.5.1 CollinesA........................................................................................A80
7.3 Introduction à la norme SIA 261A........................................................................80
7.3.1 MéthodologieA.......................................................................................A80
7.3.2 Forces dues au vent, approche simpleA...............................................A81
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8. ConclusionA.......................................................................................................A84
A. AnnexeA RappelAsurAlesAstructures...............................................................A85
A.1 RigiditéA................................................................................................................85
A.2 D :AapplicationA
A.3 Corps rigides ......................................................................95B. Annexe mathématiqueA....................................................................................A96
B.1 Algèbre matricielleA..............................................................................................96
DYNAMIQUE DES STRUCTURESA
iiiAB.2 EquationsAdifférentiellesAhomogènesAduA2e ordreA..........................................A100
B.3 EquationsAdifférentiellesAnonAhomogènesAduA2e ordreA...................................A101
B.4 Formules trigonométriquesA..............................................................................A103
C Vent.................................................................................................................A104
C.1 IntroductionA.......................................................................................................A104
C.1.1 GénéralitésA........................................................................................A104
C.1.2 Origine du ventA..................................................................................A104
C.1.2.1 Circulation atmosphérique généraleA..........................................A105C.1.2.2 MoussonA....................................................................................A108
C.1.2.3 Cyclones tropicauxA.....................................................................A108 C.1.3 Fonction de densité spectrale énergétiqueA.......................................A110C.2 CoucheAlimiteAatmosphériqueA.........................................................................A111
C.2.1 Intensité de turbulenceA......................................................................A111
C.2.2 Macro-échelleAdeAlaAturbulenceA.........................................................A111
C.3 ........................................A112
C.3.1 GénéralitésA........................................................................................A112
C.3.2 Répartition des pressions autour des bâtimentsA...............................A113 C.3.3 Répartition des pressions sur les faces et les toitsA............................A114 C.4 Facteur dynamique dans le cas de la résonance dans le sens du ventA........A117C.5 Références surAleAventA......................................................................................A119
ADYNAMIQUE DES STRUCTURESA
ivANotationA
A A A A naAAvecteurApropreA
AApulsationArelative,AsoitAȦȦn
c A *c stAAdéplacementAstatiqueA
stAmou masseAsansAmouvementAdeAlaA
fondationA EAAmoduleAdeAYoungA(élasticité)A
xeAAvecteurAdeAdirectionA
nfAAfréquenceApropreA
FAAforceAappliquéeAauAsystèmeA
*F fondationA 0FAAforceAstatiqueA
maxTRFAforceAtransmiseA
IAAinertieA
kAArigiditéA
*k AA L AAquotesdbs_dbs7.pdfusesText_5[PDF] principe d équivalence définition
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