Groupes anneaux
anneaux
Groupes sous-groupes
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00020.pdf
Algèbre 1
3 Ordre d'un élément classes modulo un sous-groupe 4.2 Groupe quotient
Cours dAlgèbre I et II avec Exercices CorrigésOM DE VOTRE
Exercices Corrigés. 28. Chapitre 4. Structures Algébriques avec Exercices Corrigés. 35. 1. Lois De Composition Internes. 35. 2. Groupes.
Morphisme sous-groupe distingué
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00021.pdf
Groupes Examen final + corrigé
11?/05?/2016 L2 parcours spécial – Algèbre ... Groupes. Examen final + corrigé. Durée: 2 heures ... Les questions de cet exercice sont indépendantes.
P. Charollois - 1.2 feuille 1 - groupes abéliens
Préparation à l'écrit d'algèbre de l'Agrégation Exercice 1. corrigé #Cl# [Z/nZ +
SUJET + CORRIGE
06?/05?/2010 L'exercice porte sur une gestion simplifiée de groupes d'étudiants et ... Groupe. ](?[Cours :C1] × ?[Cours :C2])). -- Algebre relationnelle.
algebre4 exercicescorriges
Algèbre 4. Structures Algébriques. Exercices Corrigés Exercice 2.1 Soient G un groupe H et K deux sous-groupes de G tels que H = G et K = G.
Corrigé de lEXAMEN PARTIEL mars 2009
Université de Nice Sophia-Antipolis. Alg`ebre et Arithmétique L3. Corrigé de l'EXAMEN PARTIEL mars 2009. Exercice (Le groupe H8).
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Exercice 1 1 On munit de la loi de composition interne définie par : ( )( ) Montrer que est commutative non associative et que est élément neutre
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11 mai 2016 · L2 parcours spécial – Algèbre Groupes Examen final + corrigé Durée: 2 heures Les questions de cet exercice sont indépendantes
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Exercice 1 Groupes diédraux Soit Pn un polygone régulier du plan à n cotés (représenté par exemple par les racines n-ièmes de l'unité dans le plan
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Exercice 1 On dispose d'un échiquier et de dominos Les dominos sont posés sur l'échiquier soit horizontalement soit verticalement de façon à couvrir deux
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Exercice 7 Soit G un groupe et K ? H ? G deux sous-groupes On suppose que H est distingué dans G et que K est caractéristique dans H (i e stable par
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3 4 Classes à gauche et à droite modulo un sous-groupe 43 Corrigé des exercices du chapitre 1 nant d'une matrice en algèbre linéaire
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GROUPES Exercices corrigés de Algebra 1 Hungerford Thomas W Adem¨Oztürk et2 Fabien Trihan 8 2005 1Reprint of the 1974 original
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Morphismes de groupes Exercice 1 [ 02218 ] [Correction] Soient n ? N? et f : R? ? R définie par f(x) = xn Montrer que f est un morphisme du groupe
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2 Rappel généraux sur les groupes : le cours Exercice 3 Groupe quotient Soit G un groupe H un sous-groupe de G On définit les relations d'équivalences
C'est quoi un groupe en algèbre ?
En mathématiques, un groupe est une des structures algébriques fondamentales de l'alg?re générale. C'est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément symétrique.Comment montrer que c'est un groupe abélien ?
Définition 1.2 On dit que G est abélien (ou commutatif) si on a de plus xy = yx pour tous x, y de G. Dans ce cas on notera souvent + la loi, 0 le neutre, et ?x le symétrique de x qu'on appelle alors l'opposé de x. Remarques : Si (G, +) est un groupe abélien, on peut noter x ? y pour x + (?y) = (?x) + y.Comment montrer que le centre d'un groupe est un sous-groupe ?
Le centre Z(G) = {z ? G : ?x ? G zx = xz} est bien un sous-groupe de G : — 1G ? Z(G), car 1G commute avec tous les éléments de G ; — si z1,z2 ? Z(G) alors pour tout x ? G (z1z2)x = z1xz2 = x(z1z2) donc z1z2 ? Z(G) ; — si z ? Z(G) alors pour tout x ? G z?1x = (x?1z)?1 = (zx?1)?1 = xz?1 donc z?1 ? Z(G). Soit z ? Z(G).- Il existe une autre technique, c'est de montrer qu'un sous-ensemble d'un groupe est lui-même un groupe : c'est la notion de sous-groupe. Soit (G,?) un groupe. Une partie H ? G est un sous-groupe de G si : – e ? H, – pour tout x, y ? H, on a x? y ? H, – pour tout x ? H, on a x?1 ? H.
Enoncés : Michel Emsalem,
Corrections : Pierre DèbesExo7
Groupes, sous-groupes, ordre
Exercice 1
On dispose d"un échiquier et de dominos. Les dominos sont posés sur l"échiquier soit horizontalement, soit
verticalement de façon à couvrir deux cases contiguës. Est-il possible de couvrir ainsi entièrement l"échiquier
à l"exception des deux cases extrèmes, en haut à gauche et en bas à droite? Reprendre cette question dans le
cas où l"on exclut deux cases quelconques à la place des deux cases extrèmes ci-dessus.(I) SoitXun ensemble etP(X)l"ensemble des parties deXordonné par l"inclusion. Soitjune application
croissante deP(X)dans lui-même. (a) Montrer que l"ensembleEdes partiesAdeXqui vérifientj(A)Aest non vide et admet un plus petitélémentA0.
(b) Montrer quej(A0) =A0. (II) Soit deux ensemblesXetYmunis de deux injectionsgdeXdansYethdeYdansX. (a) Montrer que l"application deP(X)dans lui-même défini par j(A) =Xh(Yg(A)) est croissante. (b) Déduire de ce qui précède qu"il existe une bijection deXsurY.SoitXun ensemble non vide et ordonné. Montrer qu"il existe une partieYtotalement ordonnée deXqui vérifie
la propriété8x=2Y9y2X xetynon comparables
L"ensembleYest-il unique?
Un jardinier doit planter 10 arbres en 5 rangées de 4 arbres. Donner une disposition possible. Quel est le
nombre minimal d"arbres dont il doit disposer pour planter 6 rangées de 5 arbres? Généraliser.
Soitnetpdeux entiers,p6n. Démontrer, grâce à un dénombrement, la formule suivante:06k6pCknCpk
nk=2pCpn 1 Soitnun entier impair non divisible par 3. Montrer que 24 divisen21.OnconsidèresurRlaloidecompositiondéfinieparx?y=x+yxy. Cetteloiest-elleassociative, commutative?
Admet-elle un élément neutre? Un réelxadmet-il un inverse pour cette loi? Donner une formule pour la
puissancen-ième d"un élémentxpour cette loi.SoitEun monoïde unitaire. On dit qu"un élémentadeEadmet uninverse à gauche(resp.inverse à droite)
s"il existeb2Etel queba=e(resp.ab=e).(a) Supposons qu"un élémentaadmette un inverse à gauchebqui lui-même admet un inverse à gauche. Montrer
queaest inversible. (b) Supposons que tout élément deEadmette un inverse à gauche. Montrer queEest un groupe.SoitEun ensemble muni d"une loi?associative
(i) admettant un élément neutre à gauchee(i.e.8x2E e?x=x) et (ii) tel que tout élément possède un inverse à gauche (i.e.8x2E9y2E y?x=e).Montrer queEest un groupe pour la loi?.
Les rationnels non nuls forment-ils un sous-groupe multiplicatif deR?Montrer que l"ensemblef2njn2Zgest un sous-groupe multiplicatif deQ, ainsi que l"ensemblef1+2m1+2njn;m2
Zg.Montrer que l"ensemble des matrices carrées ànlignes etncolonnes de déterminant non nul est un groupe pour
la multiplication. On considère l"ensembleEdes matrices carrées à coefficients réels de la forme a0 b0 ;a2R;b2R muni du produit des matrices. (a) Montrer queEest ainsi muni d"une loi de composition interne associative. (b) Déterminer tous les éléments neutres à droite deE. (c) Montrer queEn"admet pas d"élément neutre à gauche. 2(d) Soiteun élément neutre à droite. Montrer que tout élément deEpossède un inverse à gauche pour cet
élément neutre, i.e.
8g2E9h2E hg=e
SoitGun groupe vérifiant
8x2G x2=e
Montrer queGest commutatif. Déduire que siGest fini, alors l"ordre deGest une puissance de 2. SoitGun groupe d"ordre pair. Montrer qu"il existe un élémentx2G,x6=etel quex2=e.SoitGun groupe d"ordre impair. Montrer que l"applicationfdeGsur lui-même donnée parf(x) =x2est une
bijection. En déduire que l"équationx2=ea une unique solution, à savoirx=e.SoientGun groupe fini etmun entier premier à l"ordre deG. Montrer que pour touta2Gl"équationxm=a
admet une unique solution. SoitGun groupe etH(b) Un élémentxd"un groupe est dit d"ordre fini s"il existe un entierktel quexk=eG. Montrer quefk2Zjxk=
eGgest alors un sous-groupe non nul deZ. On appelle ordre dexle générateur positif de ce sous-groupe.
(c) Soitxun élément d"un groupeG. Montrer quexest d"ordredsi et seulement si le sous-groupe
On poseSL2(Z) =fa b
c d ja;b;c;d2Z;adbc=1g. (a) Montrer queSL2(Z)est un sous-groupe du groupe des matrices inversibles à coefficients dansZ. (b) On considère les deux matrices 01 1 0 0 1 11 Démontrer queAetBsont d"ordres finis mais queABest d"ordre infini.SoitGun groupe abélien etaetbdeux éléments d"ordres finis. Montrer queabest d"ordre fini et que l"ordre
deabdivise le ppcm des ordres deaetb. Montrer que si les ordres deaetbsont premiers entre eux, l"ordre de
abest égal au ppcm des ordres deaet deb.SoitGun groupe commutatif. Montrer que l"ensemble des éléments d"ordre fini deGforme un sous-groupe de
G.Déterminer tous les sous-groupes dem2m2.
SoientGun groupe fini et commutatif etfGigi2Ila famille des sous-groupes propres maximaux deG. On pose
F=T i2IGi. Montrer queFest l"ensemble des élémentsadeGqui sont tels que, pour toute partieSdeG contenantaet engendrantG,Sfagengendre encoreG.Déterminer tous les groupes d"ordre65. En déduire qu"un groupe non commutatif possède au moins 6
éléments. Montrer que le groupe symétriqueS3est non commutatif.Le centre d"un groupeGest l"ensembleZ(G)des éléments deGqui commutents à tous les éléments deG.
Vérifier queZ(G)est un sous-groupe abélien deG. Montrer que siGpossède un unique élément d"ordre 2,
alors cet élément est dans le centreZ(G).SoientGun groupe etHetKdeux sous-groupes deG.
4 (a) Montrer que l"ensembleHK=fxyjx2H;y2Kgest un sous-groupe deGsi et seulement siHK=KH. (b) Montrer que siHetKsont finis alorsjHKj=jHjjKjjH\Kj. Déterminer tous les sous-groupes du groupe symétriqueS3.Montrer que dans un groupe d"ordre 35, il existe un élément d"ordre 5 et un élément d"ordre 7.
SoitGun groupe d"ordre 2pavecpun nombre premier. Montrer qu"il existe un élément d"ordre 2 et un élément
d"ordrep. Soientn>0 un entier etpun nombre premier tels quepdivise 22n+1. Montrer quepest de la forme p=k2n+1+1 oùkest un entier. Montrer que tout entiern>0 divise toujoursj(2n1)(oùjest la fonction indicatrice d"Euler). Indication pourl"exer cice1 NConsidérer la couleur des cases exclues.Indication pour
l"exer cice2 NPour la question (II) (b) on considèrera la partieA0minimale associée àjet l"on montrera queA0eth(Y
g(A0))forment une partition deX. La bijection sera définie pargsurA0et parh1surh(Yg(A0)).Indication pourl"exer cice4 NNe voir dans le mot "rangée" qu"une condition d"alignement.
Indication pour
l"exer cice5 NCompter, dans un ensembleEànéléments, le nombre de parties àpéléments obtenues en réunissant une partie
Xàkéléments à une partie àpkéléments du complémentaire deXdansE,kdécrivantf0;:::;pg.Indication pourl"exer cice6 Nn
21= (n1)(n+1)et 24=233.Indication pourl"exer cice7 NLes premières questions ne présentent aucune difficulté.
Pourladernière, leplusdifficile(etleplusintéressant)estdedevinerlaformule. Pourcela, calculerlapuissance
n-ième pourn=1;2;3;4;5:::. (La formule est donnée dans la page "Corrections").Indication pourl"exer cice9 NOn pourra montrer les points suivants:
(a)x?y=e)y?x=e (b) L"élément neutre à gauche est unique. (c) L"élément neutre à gauche est un élément neutre à droite aussi. (d) Tout élément est inversible.Indication pourl"exer cice10 NOui.Indication pour
l"exer cice11 NAucune difficulté.
Indication pour
l"exer cice12 NPour l"existence d"un inverse pour toute matricennde déterminant non nul, noter que det(A)6=0 entraîne
que la matriceAest inversible (comme matrice) et que la matriceA1, qui est de déterminant 1=det(A)6=0 est
alors l"inverse deApour le groupe en question.Indication pourl"exer cice13 NAucune difficulté.Indication pour
l"exer cice15 NConsidérer la partition deGen sous-ensembles du typefx;x1g.Indication pourl"exer cice16 N
6 On commence par montrer quefest surjective, en notant que sijGj=2m+1, alors pour touty2Gon a y= (ym+1)2.Indication pourl"exer cice17 Nx m=a,x=auoùum+vjGj=1.Indication pourl"exer cice19 NStandard.Indication pour
l"exer cice22 NPour le (c), introduire le morphismeZ!qui associenxà tout entiern2Z. Ce morphisme est surjectif
et de noyaudZoùdest l"ordre dex.Indication pourl"exer cice23 NAucune difficulté. Indication pour
l"exer cice25 NConséquence de l"exercice24 .
Indication pour
l"exer cice26 Nf1g;m2f1g;f1gm2;f(1;1);(i;i)g;m2m2.Indication pourl"exer cice28 NStandard.
Indication pour
l"exer cice29 NPour la seconde question, noter que sixest d"ordre 2 dansG, alorsyxy1l"est aussi, pour touty2G.Indication pourl"exer cice32 NCommencer par analyser l"ordre possible des éléments deG.Indication pourl"exer cice34 NTrouver l"ordre de 2 dans(Z=pZ).Indication pourl"exer cice35 NTrouver l"ordre de 2 modulo 2
n1.7 Correction del"exer cice2 N(I) (a)E6=/0 carX2E. L"ensembleA0=T A2EAest de manière évidente le plus petit élément deE. (b) On aj(A0)A0puisqueA02E. On déduit, par la croissance dej, quej(j(A0))j(A0), ce qui donne j(A0)2Eet doncA0j(A0). (II) (a) La croissance dejest immédiate.(b) Considérons la partieA0associée àj. D"après le (b) du (I), on aXnh(Xng(A0)) =A0. Autrement dit, les
partiesA0eth(Xng(A0))constituent une partition deX. Considérons l"applicationf:X!Xdéfinie comme
étantgsurA0eth1surh(Yng(A0)). On voit sans difficulté quefest une bijection (noter que les images
respectives des deux restrictions précédentes sontg(A0)etYng(A0)et qu"elles constituent une partition deY).Correction del"exer cice3 NPour toutx2X, posonsC(x) =fy2Xjxetysont comparablesget considéronsY=T
x2XC(x). La partieYest totalement ordonnée puisque dès quey;y02Y, alorsy02C(y)et doncyety0sont comparables. De plus,
pour toutx=2Y, il existey2Xtel quex=2C(y), c"est-à-dire,yetxnon comparables.Il n"y a pas unicité de l"ensembleYen général. En effet, dans un ensemble ordonné où il existe un élémenty
qui n"est comparable qu"à lui-même, on peut prendreY=C(y) =fyg. Il est facile de construire des ensembles
ordonnés possédant plusieurs tels élémentsy(penser à la relation d"égalité, dont le graphe est la diagonale).Correction del"exer cice7 NPour la dernière question, vérifier par récurrence quex?n=nå
k=1(1)k1Cknxk.Correction del"exer cice8 N(a) Désignant parbl"inverse à gauche deaet parcl"inverse à gauche deb, on aab= (cb)(ab) =c(ba)b=
cb=e. L"élémentbest donc l"inverse dea.(b) découle immédiatement de (a).Correction del"exer cice9 N(a) Pourx;y2Equelconques, notonsx0ety0leurs inverses à gauche respectifs. Sixy=e, on a aussiyx=
(x0x)yx=x0(xy)x=x0x=e.(b) Soitfun élément neutre à gauche. On a doncfe=e. D"après (a), on a aussief=e, c"est-à-diref=e.
(c) Pour toutx2E, on axe=x(x0x) = (xx0)x=xpuisque d"après (a),xx0=e.(d) résulte alors de (a), (b) et (c).Correction del"exer cice14 NPour tousx;y2G, on axyx1y1=xyxy= (xy)(xy) =1 c"est-à-direxy=yx. DoncGest abélien. SiGest
fini, il peut être considéré comme espace vectoriel sur le corpsZ=2Z, et est alors nécessairement de dimension
finie, ce qui donneGisomorphe comme espace vectoriel à(Z=2Z)net doncjGj=2n.Correction del"exer cice15 NEn groupant chaque élémentx2Gavec son inversex1, on obtient une partition deGen sous-ensembles
fy;y1gqui ont deux éléments sauf siy=y1, c"est-à-dire siy2=e. L"élément neutreeest un tel élémenty.
Ce ne peut pas être le seul, sinonGserait d"ordre impair.Correction del"exer cice18 NPour touth2H, on aha=khbpour un certainkh2K. En écrivantha=h(ea) =hkeb, on obtientkh=hke, ce
qui donneh=kh(ke)12K. 8Correction del"exer cice20 N(a) Supposons queH[Ksoit un sous-groupe deGet queHne soit pas inclus dansK, c"est-à-dire, qu"il existe
h2Htel queh=2K. Montrons queKH. Soitk2Kquelconque. On ahk2H[K. Maishk=2Kcar sinon h= (hk)k12K. D"oùhk2Het donck=h1(hk)2H.(b) découle immédiatement de (a).Correction del"exer cice21 NSoitHune partie finie non vide deGstable par la loi de composition. Pour montrer queHest un sous-groupe,
il reste à voir que pour toutx2H,x12H. Les puissancesxkoùk2Nrestant dansH, il existem;n2Ntels quem>netxm=xn. On a alorsxmn1x=1, soitx1=xmn1, ce qui montre quex12H.SiHest infini, la propriété précédente n"est pas vraie en général. Par exempleNest une partie stable deZpour
l"addition mais n"en est pas un sous-groupe.Correction del"exer cice24 NSoienta;b2Gd"ordre respectifsmetn. Posonsm=ppcm(m;n). On a(ab)m=ambm=ee=e(am=bm=e
résultant du fait quemetndivisentm). L"ordre deabdivise doncm. Supposons que pgcd(m;n)=1. Soitk2Ztel que(ab)k=1, soitak=bk. On en déduit queank=eetbmk=e.D"oùmjnketnjmk. L"hypothèse pgcd(m;n) =1 donne alorsmjketnjket donc ppcm(m;n)jk. Cela combiné à
la première partie montre queabest d"ordre ppcm(m;n) =mn.Correction del"exer cice27 NEtant donnéa2F, soitSune partie deGcontenantaet engendrantG. Si
Contradiction, donc6=G.
Inversement, supposons quea=2F, c"est-à-dire, il existei2Itel quea=2Gi. Alors pourS=Gi[fag, on a =G(par maximalité deGi) mais
1H1=KH. D"oùHKKH. L"autre inclusion s"obtient similairement.
(() On vérifie aisément en utilisant l"hypothèseHK=KHque(HK)(HK)HKet que(HK)1HK. (b) Etant donnésh0;h2Hetk0;k2K, on ah0k0=hksi et seulement sih10h=k0k1. Cet élément est nécessairement dans l"intersectionH\K. On a donch0k0=hksi et seulement s"il existeu2H\Ktel queh=h0uetk=u1k0. Pour chaque élément fixéh0k02HK, il y a doncjH\Kjfaçons de l"écrirehkavec
(h;k)2HK. D"où le résultat.Correction del"exer cice31 ND"après le théorème de Lagrange, les sous-groupes deS3sont d"ordre 1, 2, 3 ou 6. Les sous-groupes d"ordre
1 et 6 sont les sous-groupes triviauxf1getS3respectivement. Comme 2 et 3 sont premiers, les sous-groupes
d"ordre 2 et 3 sont cycliques. Un sous-groupe d"ordre 2 est tout sous-groupe engendré par une transposition: il
y en a 3. Il existe un seul sous-groupe d"ordre 3, celui engendré par le 3-cycle(123).Correction del"exer cice32 NLes éléments différents de 1 sont d"ordre 5, 7 ou 35. S"il existe un élémentgd"ordre 35 (i.e., si le groupe est
cyclique d"ordre 35), alorsg5est d"ordre 7 etg7est d"ordre 5. Supposons que le groupe n"est pas cyclique
et qu"il n"existe pas d"élément d"ordre 7. Tout élément différent de 1 serait alors d"ordre 5 et le groupe serait
réunion de sous-groupes d"ordre 5. Mais de tels sous-groupes sont soit égaux soit d"intersectionf1g(car 5 est
9premier). On aurait alors 35=4n+1 avecnle nombre de sous-groupes distincts d"ordre 5, ce qui donne la
contradiction cherchée. Le raisonnement est le même s"il n"existe pas d"élément d"ordre 5.Correction del"exer cice33 NSip=2 alorsjGjest d"ordre 4:Gest le groupe de Klein(Z=2Z)2dont tous les éléments différents de 1 sont
d"ordre 2. On peut donc supposer pour la suite quepest impair. En procédant comme dans l"exercice32 , on
montre qu"il existe forcément dansGun élément d"ordre 2. Enfin si tous les éléments différents de 1 étaient
d"ordre 2, alors d"après l"exercice 14 , l"ordre deGserait une puissance de 2. Il existe donc aussi un élément d"ordrep.Correction del"exer cice34 NOn a 22n 1 modulop. On en déduit que 22n+11 modulop. Ces deux conditions donnent que l"ordre de 2
dans(Z=pZ)est 2n+1. Cet ordre devant diviser l"ordre de(Z=pZ), c"est-à-direp1, on obtient le résultat
souhaité.Correction del"exer cice35 NComme 2 n1 modulo 2n1, l"ordre de 2 modulo 2n1, disonsm, divisen. Sim[PDF] structures algébriques usuelles mp
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