[PDF] algebre4 exercicescorriges Algèbre 4. Structures Algé

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Université Mohamed V- Agdal

Faculté des Sciences

Département de Mathématiques

Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014, Rabat, Maroc

Filières SM et SMI

Algèbre 4

Structures Algébriques

Exercices Corrigés

Azzouz Cherrabi ElMostafa Jabbouri

Année 2007-2008

ii

Table des matières

1 Arithmétique1

2 Groupes7

3 Anneaux et corps15

4 Divisibilité dans un anneau principal19

5 Anneaux de Polynômes23

6 Sujets d"examens31

6.1 Côntrole final (2006-2007) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 31

6.2 Rattrapage (2006-2007) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 34

6.3 Côntrole final (2007-2008) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 37

6.4 Rattrapage (2007-2008) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 40

iii ivTABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1Arithmétique

Exercice 1.1On se propose de montrer de deux façons différentes que?n?N?,?s,t?N: n= 2 s(2t+ 1).

1) Première méthode

: Utiliser une récurrence généralisée surn.

2) Deuxième méthode

: En considérant l"ensembleA={m?N: 2m/n},montrer queA possède un plus grand élément notéset quen= 2 s(2t+ 1).

Solution

1) * Pourn= 1, n= 2

0(2.0 + 1).

* Supposons que cette propriété est vraie pour toutk < n. * Pourn: on distingue les deux cas suivants : - Sinest impair, alors?t?N:n= 2t+ 1d"oùn= 2

0(2t+ 1).

- Sinest pair, alors?k?N ?:n= 2ket puisquek < n, il résulte de l"hypothèse de récurrence quek= 2 s?(2t+ 1)avecs?,t?N. Ainsin= 2s?+1(2t+ 1).

2) On aA={m?N: 2

m/n} ?N, A?=∅car0?AetAest majoré, car?m?A, sket puisque2 s+1?n,kest impair, i.e.,?t?N:k= 2t+ 1doncn= 2s(2t+ 1).

Exercice 1.2

1) Montrer que sia?Netpest un nombre premier, alorsp/aoup?a= 1.

2) En déduire que sipetqsont deux entiers naturels premiers et distincts, alorsp?q= 1.

3) Montrer que tout entiern≥2admet un diviseur premier (Ind : Considérer l"ensemble

D={d?N/ d≥2etd/n}, montrer queDpossède un plus petit élémentpet quepest premier).

4) En déduire que l"ensemble des nombres premiers est infini.(Ind : on suppose que l"ensem-

blePdes nombres premiers est fini, i.e.,P={p

1,...,pn}, avecpiles nombres premiers,

considérer l"entierm=p

1...pn+ 1et utiliser 3)).

Solution

1) Soitd=p?a. Puisqued/petpest premier,d= 1oud=p. Ainsip?a= 1oup/a.

2) D"après la question précédente,p?q= 1oup/qet puisqueqest premier etp?=q,

p?q= 1.

3) Soientn≥2etD={d?N:d≥2etd/n}. On aD?=∅(n?D)etD?N, d"oùD

possède un plus petit élément qu"on notep. Alorspest premier, sinon,?d /? {1,p}tel qued/p et par suited/n, ce qui contredit le fait quepest le plus petit élément deD. 1

2CHAPITRE 1. ARITHMÉTIQUE

4) Supposons queP={p

1,...,pn}est fini et considéronsm=p1...pn+ 1. On am≥2,

d"où, d"après 3),?ppremier :p/met puisquep=p i, alorsp/p1...pndoncp/1 =m-p1...pn, ce qui est absurde.

Exercice 1.3Soienta,b?N.

1) Montrer que sia?b= 1, alorsa?(a+b) =b?(a+b) = 1etab?(a+b) = 1.

2) En déduire que sia?b=d, alors(a+b)?(a?b) =d.

Solution

1) Sid/aetd/a+b, alorsd/(a+b)-a=bet par suited= 1. On utilise le même

raisonnement pour vérifier queb?(a+b) = 1. On a aussiab?(a+b) = 1. En effet, supposons queab?(a+b)?= 1,?ppremier tel que p/abetp/(a+b), alors(p/aetp/(a+b))ou(p/betp/(a+b))et donca?(a+b)?= 1ou b?(a+b)?= 1.

2) Posonsa=da

?etb=db?, alorsa??b?= 1et donc (a+b)?(a?b) = ((da ?+db?)?(da??db?)) = (d(a?+b?)?d(a?b?)) =d.((a?+b?)?(a?b?))et puisque a ??b?= 1, on a, d"après la question précédente,(a?+b?)?(a?b?) = 1, d"où(a+b)?(a?b) =d.

Exercice 1.4

1) Soitn?N- {0,1}. Montrer que tous les entiers suivants ne sont pas des nombres

premiers :n! + 2,n! + 3,...,n! +n.

2) Donner100entiers consécutifs non premiers.

Solution

1) On remarque que2/n! + 2,3/n! + 3,...etn/n! +n.

2) On prendn= 101etn

100 entiersn

ksont des entiers non premiers. Exercice 1.5Soitp?N-{0,1}.Montrer que si(p-1)!≡ -1(modp), alorspest un nombre premier. SolutionSupposons quepn"est pas premier, alors?d? {2,...,p-1}:d/p.Commed? {2,...,p-1},d/(p-1)!, i.e.,(p-1)!≡0 (modd). Or, on a(p-1)!≡ -1 (modd)card/p, contradiction. Exercice 1.6Soientn?N- {0,1}etpun nombre premier. Sip/n, on appellep-valuation den, et on la notev p(n), l"exposant de la plus grande puissance depdivisantn. i.e.,vp(n) = sup{α?N ?/ pα/n}.Sip?n, on convient quevp(n) = 0.

1) Déterminerv

2(104),v3(243)etv5(81).

2) Montrer que sin,m?N- {0,1}, alorsv

p(nm) =vp(n) +vp(m).

3) Montrer quev

2(1000!) = 994.

Solution

1) On a104 = 2

3.13, d"oùv2(104) = 3.De même,v3(243) = 5etv5(81) = 0.

2) Posonsv

p α+β+1?nm, sinonpα+1/noupβ+1/m, alorsvp(nm) =vp(n) +vp(m).

3)1000! = 1.(2.1).3.(2.2).....999.(2.500) = 2

500.500!.kavec2?k, donc, en utilisant 2),

v

2(1000!) = 500 +v2(500!). Aussi,v2(500!) = 250 +v2(250!),v2(250!) = 125 +v2(125!),

v

2(125!) = 62 +v2(62!), v2(62!) = 31 +v2(31!), v2(31!) = 15 +v2(15!), v2(15!) = 7 +v2(7!),

v

2(7!) = 3 +v2(3!) = 4et ainsiv2(1000!) = 500 + 250 + 125 + 62 +31 +15 +7 + 3 +1 = 994.

3

Exercice 1.7Montrer que :

1)11/2

123+ 3121

2)7/32n+1+ 2n+2

Solution

1) On a2

5≡ -1 (mod11), d"où210≡1 (mod11).Aussi, on a35≡1 (mod11), alors

2

123+ 3121= (210)12.23+ (310)12.3≡23+ 3≡0 (mod11).

2)3

2n+1+ 2n+2= (32)n.3 + 2n.4≡2n(3 + 4)≡0 (mod7).

Exercice 1.8

1) Soienta,b?Z

?. On suppose qu"il existeq,c?Ztels queb=aq+c. Montrer que a?b=a?c.

2) Soitk?N. Montrer que(5k+3)?(2k-1)divise11et que (5k+3)?(2k-1) = 1si,

et seulement si,k+ 5n"est pas congru à0modulo11(Ind : Appliquer deux fois la réduction issue de 1)).

3) Soienta= 327etb= 823. Résoudre l"équation :ax+by= 36.

Solution

1) Posonsd=a?betd

?=a?c. On ad/aqetd/bd"oùd/b-aqdoncd/c. Puisqued/c etd/a, alorsd/d ?. De même, on vérifie qued?/det ainsid=d?.

2) * On a5k+ 3 = 2(2k-1) + (k+ 5). Posonsb= 5k+ 3,a= 2k-1etc=k+ 5. En

utilisant 1), on a :(5k+3)?(2k-1) = (2k-1)?(k+5). On a aussi2k-1 = 2(k+5)-11, alors(2k-1)?(k+ 5) = (k+ 5)?11et ainsi(5k+ 3)?(2k-1) = (k+ 5)?11divise11. * On a(k+ 5)?11 = 1si, et seulement si,k+ 5?≡0 (mod11), car11est premier, d"où (5k+ 3)?(2k-1) = 1si, et seulement si,k+ 5?≡0 (mod11).

3) On prendk= 164,a= 2k-1 = 327etb= 5k+ 3 = 823;k+ 5 = 169≡4 (mod11)

d"où, d"après 2),a?b= 1. On a(k+ 5)?11 = 1. Utilisons l"algorithme d"Euclide pour déterminers,t?Ztels que s(k+5)+11t= 1;k+5 = 169 = 11×15+4,q

1= 15,r1= 4;11 = 4×2+3,q2= 2,r2= 3;4 =

3×1+1,q

3= 1,r3= 1, alors1 = (1+q2q3)(k+5)+11(-q1-q3-q1q2q3) = 3(k+5)-46.11;

on prends= 3ett=-46. Utilisons la réduction 1) pour détermineru,v?Ztels queub+va= 1. On as(k+5)+11t=

1, alors1 =s(b-2a)+t[2(k+5)-a] =s(b-2a)+t[(2b-4a)-a] = (s+2t)b+(-2s-5t)a

et ainsi, on prendu=s+ 2t=-89etv=-2s-5t= 224, d"où36ub+ 36va= 36, alors (x-36v)a+(y-36u)b= 0(*), ainsib/(x-36v)aet par suiteb/(x-36v), cara?b= 1. Alors, x= 36v+mb, oùm?Z. En remplaçantxpar36v+mbdans (*), on obtienty= 36u-ma. On vérifie facilement quex= 36v+mbety= 36u-maest solution de l"équation et ainsi S={(36v+mb,36u-ma)/m?Z}={(8064 +mb,-3204-ma)/m?Z}.

Exercice 1.9

1) Déterminerx

1,x2?Ztels que?x1≡1 (modulo28)

x

1≡0 (modulo19)et?x

2≡0 (modulo28)

x

2≡1 (modulo19).

2) Déterminerx?Ztel que?x≡13 (modulo28)

x≡9 (modulo19).

4CHAPITRE 1. ARITHMÉTIQUE

Solution

1) On a28?19 = 1, d"où19.3+(-2).28 = 1. En posantc

1= 19u= 57etc2= 28v=-56,

on obtient?c

1≡1 (modulo28)

c

1≡0 (modulo19)et ainsix1≡c1(modulo28.19 = 532). De même,x2≡c2

(modulo28.19 = 532).

2) Posonsb

1= 13etb2= 9alors?x≡13 (modulo28)

x≡9 (modulo19)si, et seulement si,x≡b1c1+b2c2 (modulo28.19 = 532), i.e,x≡13.57-9.56 = 237(modulo28.19 = 532).

Exercice 1.10

1) Soitpun nombre premier.

a) Montrer que pour tout entier naturel non nulk < p,on ap|C kp. b) En déduire le petit théorème de Fermat : sipest premier, alors pour tout entierx tel quex?≡0 (modp), on ax p-1≡1 (modp).

2) Soitn?N

?. On appelleIndicateur d"Eulerdenle nombre, noté?(n), des entiersm a) Calculer?(6),?(8),?(13)et?(p)sipest premier. b) Montrer que sipetqsont deux nombres premiers distincts, alors

Solution

1) a) On apC k-1p-1=kCkpd"oùp/kCkpet puisquep?k= 1(k < petppremier), alorsp/Ckp. b) Utilisons maintenant une récurrence finie sur{1,...,p-1}pour montrer quex p≡x (modp). Le résultat est évident pourx= 1, supposons que le résultat est vrai pourx. Alors, (x+1) p=xp+ p-1? k=1 (modp).

Ainsi, pour tout entierx,p/x

p-x=x(xp-1-1), commep?x= 1,p/(xp-1-1), i.e., x p-1≡1 (modp). 2) a)?(6) = 2, ?(8) = 4, ?(13) = 12et puisque?k? {1,...,p-1},k?p= 1, ?(p) =p-1. dans{1,...,pq}. Les multiples depdans{1,...,pq}sontp,2p,...,qpet par suite, leur nombre estq. De même, le nombre des multiples deqdans{1,...,pq}estp.Puisquepqest le seul multiple pq-(p+q-1) = (p-1)(q-1)et donc?(pq) = (p-1)(q-1). Exercice 1.11 (Le cryptosystème RSA inventé par Rivest, Shamir et Adelman en 1977) Une personneAveut utiliser le cryptosystème RSA, il prend deux nombres premierspetq distincts, et posen=pq. Il choisit un entiereavec1< e < ?(n)ete??(n) = 1.

1) Montrer qu"il existe un, et un seul, entierdtel que :1< d < ?(n)eted≡1 (mod?(n))

(utiliser l"identité de Bezout). 5 - Le couple(n,e)s"appellela clef publique de A(cette clef est publiée sur Internet). - Le couple(n,d)s"appellela clef privée de A(p,qetddoivent rester secrets).

2) Montrer que pour tout entier x tel que1< x < n, on a(x

e)d≡x(modn). (Ind : montrer le résultat moduloppuis moduloqen utilisant l"exercice précédent).

3) Application

: on prendp= 7,q= 17,e= 11,n= 119et?(n) = 96. a) Trouverdtel que1< d <96eted≡1 (mod96). b) On veut envoyer le messagex= 5à la personne A. Calculery≡x e(modn)(on chiffre le messagexavec la clef publique de A). c)Areçoit le message cryptéy. Calculery d(modn), et montrer que A peut retrouver le message originalx(A déchiffre le message codéyavec sa clef privée).

Solution

1) D"après le théorème de Bezout,?d

1,d2?Z:ed1+?(n)d2= 1. Soitdle résidu ded1

maintenant qu"il existe un entierd ?: 1< d ?< ?(n)eted ?≡1 (mod?(n)), alors?(n)/e(d-d et par suite?(n)/(d-d ?), care??(n) = 1.Comme|d-d ?|< ?(n), on ad ?=d

2) Puisqueed≡1 (mod?(n)),?d

??Ztel queed+?(n)d?= 1. Il est évident qued??Z- et par suite posonsd?=-d ???Z-. Distinguons les deux cas suivants : * Six?n= 1, on ax p-1?≡0 (modq), sinonq/xet par suitex?n?= 1. Alors, en utlisant le petit théorème de Fermat,(x p-1)q-1≡1 (modq). De même,(xq-1)p-1= 1 (modp), d"où q/x ?(n)-1etp/x?(n)-1. Puisquepetqsont premiers et distincts, alorsn=pq/x?(n)-1et ainsix ?(n)≡1 (modn).

Commeed-?(n)d" = 1,(x

e)d=x1(x?(n))d"≡x(modn), carx?(n)≡1 (modn). * Six?n?= 1, alorsxest un multiple depouxest un multiple deq.Remarquons d"abord quexne peut pas être un multiple commun depet deq, sinon,n/xce qui est impossible car

1< x < n. Supposons quep/xet queq?x(de même siq/xetp?x), alorsx

p-1?≡0 (modq) d"où(x p-1)q-1≡1 (modq).Ainsi,(xe)d=x1(x?(n))d"≡x(modq), carx?(n)≡1 (modq)et comme(x e)d≡x≡0 (modp),(xe)d≡x(modn). 3) a)e??(n) = 1. ?(n) = 96 = 11.8 + 8,q

1= 8,r1= 8,e= 11 = 8.1 + 3,q2= 1,r2= 3,

r

1= 8 = 3.2+2,q3= 2,r3= 2,r2= 3 = 2.1+1,q4= 1,r4= 1, alorsr4= 1 =r2-r3q4=r2-

(r

1-r2q3)q4=-r1+r2(1+q3q4) =-r1+(e-r1q2)(1+q3q4) =e(1+q3q4)-r1(1+q2+q2q3q4) =

e(1+q

3q4)-(?(n)-eq1)(1+q2+q2q3q4) =e(1+q1+q1q2+q3q4+q1q2q3q4)+?(n)(-1-q2-q2q3q4)

et par suite, on ad= 1 +q

1+q1q2+q3q4+q1q2q3q4= 35.

b) Calcul de5

11(mod119) : pour simplifier les calculs, on écrit l"exposant 11 en binaire :

11 = (1011)

2, d"où511= 523.521.51≡67.25.5≡45 (mod119).

c) Calcul dey d= (45)35(modn). on écrit l"exposant 35 en binaire :35 = (100011)2, d"où y d≡4525.452.45≡18.2.45≡5 (mod119).

Lorsque A reçoit le message y, il calculey

d(modn)et obtientx, caryd= (xe)d≡x (modn).

6CHAPITRE 1. ARITHMÉTIQUE

Chapitre 2Groupes

Exercice 2.1SoientGun groupe,HetKdeux sous-groupes deGtels queH?=GetK?=G.

Montrer queH?K?=G.

Solution

SiH?K(resp.K?H), alorsH?K=K?=G(resp.H?K=H?=G). Supposons queH?Ket queK?H, alors?h?H:h /?Ket?k?K:k /?H. On ahk?G, mais hk /?H?Kcar sihk?H, alorsk=hquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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