[PDF] Thème 14: Statistique à 2 variables





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Statistiques descriptives et exercices

Rappels de cours et exercices corrigés sur la statistique descriptive 4.1 Représentation des séries statistiques à deux variables .



Exercices Corrigés Statistique et Probabilités

Dresser le tableau statistique de la distribution de la variable X II. Statistique descriptive bivariée. Exercice 1. On considère la série double ...



Série statistique à deux variables A

Dans tout l'exercice le détail des calculs n'est pas demandé. Les résultats pourront être obtenus à la calculatrice et seront arrondis à près. Partie A. Donner 



Thème 14: Statistique à 2 variables

On définit alors une série statistique à deux variables Exercice 14.2: À propos des élèves (garçons puis filles) de 4 classes de ECGC.



Résumé du Cours de Statistique Descriptive

15 déc. 2010 3.2.1 Représentation graphique de deux variables . ... On appelle série statistique la suite des valeurs prises par une variable X sur.



Statistique à deux variables

Une série statistique à deux variables est donnée sous forme d'un tableau : Avec les données de l'exercice précédent représenter à l'aide d'un tableur ...



LEÇON 06 : STATISTIQUE À DEUX VARIABLES

Plan du cours. I. Présentation de la série statistique double. II. L'ajustement. III. L'estimation. IV. Exercice de synthèse. Terminale A. Mathématiques 



Statistiques à deux variables MathsComp 1 Ajustement affine

On obtient alors une série statistique à deux variables quantitatives ou Tracer le nuage de points dans le repère donné en fin d'exercice (Durée x en ...



Exercice : Statistique à deux variables - Exercices

1° a) Représenter le nuage de cette double série statistique. b) Calculer les coordonnées du point moyen G et placer ce point dans le même repère. 2°Calculer le 



Statistiques à deux variables : les exercices

(Dans tout cet exercice les résultats concernant la population seront (a) le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique double de ...



STATISTIQUES À DEUX VARIABLES - maths et tiques

On considère la série statistique à deux variables données dans le tableau suivant : x i 5 10 15 20 25 30 35 40 y i 13 23 34 44 50 65 75 90 1) Dans un repère représenter le nuage de points (x i ; y i) 2) a) Déterminer une équation de la droite d’ajustement par la méthode des moindres carrés



STATISTIQUES À DEUX VARIABLES - maths et tiques

BTS DOMOTIQUE Statistiques à deux variables 2008-2010 1 Déterminer P(A) P(B) P(D/A) et P(D/B) 2 Calculer P(D A) et P(D B) 3 En remarquant que D = (D A) [(D B) et que les événements D A et D B sont incompatibles calculer P(D) et P(D¯) Exercice 3 On donne ci-dessous la proportion en pourcentage du nombre d’enfants nés hors



STATISTIQUE - maths et tiques

On considère la série statistique à deux variables données dans le tableau suivant : $ 1) Dans un repère représenter le nuage de points (! $; "$) 2) a) Déterminer une équation de la droite d’ajustement par la méthode des moindres carrés b) Vérifier à l’aide de la calculatrice b) Représenter la droite d’ajustement de " en !



EXERCICES SUR LES STATISTIQUES A DEUX VARIABLES

Exercices sur les statistiques à deux variables 3/11 1) Représenter le nuage de points M (xi; yi) associé à cette série statistique 2) Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage Placer le point G



Cours : Série statistique à deux variables (série statistique

Lorsque l’on s’intéresse à l’étude simultanée de deuxcaractères d’une même population on fait ce que l’on appelle des statistiques à deux variables en étudiant des séries statistiques doubles Définition d’une série statistique double Définition 1 : On considère une population d'effectif n si on étudie deux

Qu'est-ce que la série statistique à deux variables ?

#) forment une série statistique à deux variables. Dans ce chapitre, on va s’intéresser au lien qui peut exister entre ces deux variables. Définition : Dans un repère orthogonal, l’ensemble des points *+ de coordonnées (! $), avec 1?+?#, est appelé le nuage de pointsassocié à la série statistiques (! #) à deux variables. 2) Point moyen

Comment définir une série statistique double ?

Définition d’une série statistique double Définition 1 : On considère une population d'effectif n, si on étudie deux caractères X et Y de cette population, on dit que l'on étudie une série statistique double. Chaque individu de cette population est désigné par un nombre compris entre 1 et n. A chaque individu i ( 1 i n) correspond un couple (x

Comment découper une série statistique double ?

Etape 1 :OOn commence par « découper » la série statistique double en deux sous-séries bien distinctes, c’est-à-dire que l’on découpe le nuage de points Mi(x i, y i) en deux sous-nuages distincts et de même effectif (ou presque : si le nombre de points est pair, pas de souci.

Où et sont les moyennes des séries statistiques simples ?

Où et sont les moyennes des séries statistiques simples. Théorème de Huyghens-König : Propriété 1 : Soient ?, ?, ?’, ?’des constantes réelles , U et V les caractères statistiques définis par: U =? X +? et V =?’ X +?’. C'est-à-dire tels que pour tout i tel que1 i n : ui = ?xi + ? et vi = ?' yi + ?'

Thème 14: Statistique à 2 variables

STATISTIQUE À 2 VARIABLES 59

3EC - JtJ 2021

Thème 14: Statistique à 2 variables

14.1 Introduction et quelques définitions

Introduction :

Dans le chapitre 10 de statistique, nous nous sommes intéressés

à des questions du type:

Quelle est la taille moyenne de 50 professeurs du gymnase de

Morges ?

Quel est l'écart type du salaire annuel des employés d'une grande compagnie ? Lors d'une évaluation effectuée dans deux classes, laquelle semble être la plus homogène ? Dans toutes ces questions, nous étudions le comportement statistique d'une seule variable: taille, salaire, note lors d'une

évaluation.

Il existe cependant toute une gamme de problèmes statistiques où l'on s'intéresse à la relation entre plusieurs variables.

Par exemple:

• entre l'épaisseur d'un mur et sa résistance thermique; • entre la consommation de carburant et la vitesse d'une voiture; • entre le temps de fonctionnement d'un appareil et la fréquence des pannes.

Pour étudier d'éventuelles corrélations

1 , on est amené à s'intéresser simultanément à deux caractères X et Y d'une même population. On définit alors une série statistique à deux variables statistiques X et Y prenant des valeurs: x 1 , x 2 , ..., x n et y 1 , y 2 , ..., y n

14.2 Nuage de points

Pour étudier les relations ou corrélations entre deux variables statistiques, on peut associer au couple (x i ; y i ) de la série statistique double le point M i de coordonnées (x i ; y i

L'ensemble des points M

i ainsi obtenu est appelé nuage de points représentant la série statistique. 1

En statistiques, étudier la corrélation entre deux ou plusieurs variables statistiques numériques, c'est étudier l'intensité de la

liaison qui peut exister entre ces variables.

Modèle 1 :

dans un échantillon de 20 individus: Poids 67,1 60,7 54,9 58,8 64,7 60,4 63 62,5 71,5 70,8

Taille 173 175 176 178 178 180 182 186 189 196

Poids 63,1 74,8 71,1 73,1 63,5 69,4 70 82 76,5 84,6 tracer une droite (appelée droite d'ajustement mieux par ces points, ou plutôt dans une position que l'on qualifierait "d'au milieu du nuage de points

3 cas de figure :

entre les deux variables. orientation, on dira qu'il y a une absence de corrélation. Corrélation positive Corrélation négative

Absence de corrélation

taille [cm]

150160170180190200

poids [kg] 50
60
70
80
90
x y x y x y x y

STATISTIQUE À 2 VARIABLES 61

3EC - JtJ 2021

Remarques :

La qualité de la corrélation entre deux variables peut se mesurer par la dispersion des points autour de la droite d'ajustement:

Corrélation parfaite Bonne corrélation

(corrélation forte)

Mauvaise corrélation

(corrélation faible)

Modèle 1 :

Afin de comparer la taille des gymnasiens avec l'étendue de leurs bras, on a effectué les mesures sur 32 élèves qui a permis d'effectuer la représentation graphique du nuage de points suivant: a) Représenter une droite d'ajustement "à la règle". b) Proposer une équation de cette droite d'ajustement. c) Proposer quelques constats. x y x y x y

100120140160180200

taille [cm] 100
120
140
160
180
200

Étendue des bras [cm]

62 THÈME 14

3EC - JtJ 2021

Exercice 14.1:

Afin de faire un bilan sur la réussite des étudiants qui s'inscrivent dans les établissements d'enseignement pour adultes, les membres de la direction s'intéressent à la corrélation entre l'absentéisme aux différents cours (en heures) et la moyenne générale (en %) à la fin de l'année scolaire. Pour bien analyser le tout, ils ont regroupé les données dans le nuage de points suivant: a) Représenter une droite d'ajustement "à la règle". b) Proposer une équation de cette droite d'ajustement. c) Proposer quelques constats.

Exercice 14.2:

À propos des élèves (garçons puis filles) de 4 classes de ECGC d'un gymnase lausannois, on désire comparer une éventuelle corrélation entre leur taille et leur poids. Utiliser les 2 représentations graphiques des nuages de points: Que pouvez-vous constater à propos de la corrélation taille - poids pour les garçons (à gauche) et les filles (à droite) ? 02468
résultat "nal (%) 20 40
60
80
100

Nbre dheures dabsence

taille [cm]

150160170180190200

poids [kg] 40
50
60
70
80
90
taille [cm]

150160170180190200

poids [kg] 40
50
60
70
80
90

STATISTIQUE À 2 VARIABLES 63

3EC - JtJ 2021

3 démarches différentes vous seront proposées pour déterminer

au mieux une droite d'ajustement sur un nuage de points. On commence par représenter le nuage de points, puis on trace au jugé une droite d passant le plus près possible des points du nuage. Pour ce faire, on utilise une règle transparente et on la dispose suivant la direction constatée, en s'efforçant d'équilibrer les nombres de points situés de part et d'autre suivant les abscisses croissantes. À l'aide des coordonnées de 2 points choisis sur cette droite, on détermine alors une équation approximative de la droite d'ajustement. C'est cette démarche qui vous a été suggérée dans le paragraphe précédent. Lorsque l'on pense pouvoir réaliser un ajustement affine d'un nuage, il peut sembler intéressant, avant de tracer la droite, de placer le point dont l'abscisse est la moyenne des abscisses x i et dont l'ordonnée est la moyenne des ordonnées y i

On appelle d'un nuage de n points M

i (x i ; y i ) le point G de coordonnées: x G =x=1 nx i i=1n et y G =y= ny i i=n On commence par trier les points selon leurs abscisses croissantes, puis on détermine la médiane des x i afin de partager le nuage en deux parties ayant le même nombre de points. On détermine ensuite G 1 et G 2 , les points moyens respectifs de chacune de ces parties. La droite G 1 G 2 est appelée de la série statistique. Il est à noter que la droite de Mayer d'un nuage passe toujours par le point moyen, de ce nuage. x y G 1 G 2

Modèle 2 :

y i x i

Clinique C

C C C C C C C C C x i y i a) b) c) x

8090100110120130140150160170180190200

y 150
200

STATISTIQUE À 2 VARIABLES 65

3EC - JtJ 2021 Vérifier que le point moyen est sur la droite d'ajustement. Si une clinique contient 200 lits, estimer le nombre de postes nécessaires pour le personnel non médical.

Exercice 14.3:

Enfant 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Masse en kg 2,5 2,6 2,7 3 3,2 3,3 3,4 3,6 3,8 3,9

Taille en cm 45 46 48 50 51 52 53 54 54 57

a) b) c) d) e)

Exercice 14.4:

x i y i x i y i a) b) c) d)

STATISTIQUE À 2 VARIABLES 67

3EC - JtJ 2021

14.2.3 Méthode des moindres carrés

Méthode des moindres carrés :

Il existe une méthode plus "rigoureuse" pour déterminer la "meilleure" droite: c'est la méthode des moindres carrés. Elle consiste, dans sa version la plus simple, à trouver la droite qui minimise les carrés des écarts des points représentatifs à cette droite. Trouver la droite telle que la somme des carrés des écarts d 1 , d 2 , ... , dquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
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