Principe du maximum et méthode de tir - Tizi Ouzou
Une équation différentielle est dite `a variables séparées si elle peut s'écrire sous la forme : ˙x = g(x)f(t). 5. Page 13. Généralités sur les Equations
méthodes de tir - Clément Mouhot
Cet article décrit une nouvelle méthode de résolution d'équation différentielle ordinaire aux limites asymp- totiques la méthode de tir
Ift 2421 Chapitre 6 Résolution des équations différentielles
Ordre d'une équation différentielle : dérivée la plus élevée. Équation méthode de tir comme une méthode de point fixe. X(3)=f(x'(1)). • peu de ...
Application de la méthode du tir au problème modèle y=y+1
Méthodes numériques appliquées – solutions des exercices c) L'équation différentielle reste la même seules les conditions aux limites changent. On trouve
Intitulé
3.2 Méthode de tir pour la résolution des équations différentielles solution de l'équation différentielle (2.1.1). La dérivée seconde de y(x) peut alors s ...
Méthodes numériques de résolution déquations différentielles
Dans Matlab (Octave) de puissant programmes (fonctions) existent sous le nom générique de ODEs (Ordinary Differential Equation Solvers). Ils résolvent les
PHQ 404 : Méthodes numériques et simulations
1 août 2018 12.1 Méthode du tir . ... l'équation différentielle aux points intérieurs seulement on trouve l'équation matricielle suivante :.
Chapitre 6 - Équations différentielles ordinaires
Des méthodes d'ordres différents ont des erreurs qui décroissent plus ou moins vite avec la taille du pas d'intégration. 6.1 EDO d'ordre 1. Comme mentionné
Contrôle optimal
D'autre part il existe de nombreuses méthodes pour discrétiser une équation différentielle ordinaire : mé- thode d'Euler (explicite ou implicite)
Analyse Numérique
équation différentielle. { y. ′. (t) = f(t y(t)) y(0) = y0. (avec f lipschitzienne ... méthode de Givens et on note M (i
Résolution déquations différentielles par des méthodes de tir
Le point de départ de ce stage était [BeLal]. Cet article décrit une nouvelle méthode de résolution d'équation différentielle ordinaire aux limites asymp-.
Application de la méthode du tir au problème modèle y=y+1
(0) = ?. La solution générale de l'équation différentielle a la même forme qu'en (a) : z = ?1 + Cex +
Principe du maximum et méthode de tir - Tizi Ouzou
Une équation différentielle est dite `a variables séparées si elle peut s'écrire sous la forme : ?x = g(x)f(t). 5. Page 13. Généralités sur les Equations
Ift 2421 Chapitre 6 Résolution des équations différentielles
Ordre d'une équation différentielle : dérivée la plus élevée. Appliquer la méthode de Taylor avec un pas h = 0.1 ... méthode de tir comme une.
Méthodes numériques de résolution déquations différentielles
La méthode Runge Kutta tire les avantages des méthodes de Taylor tout en gardant une simplicité d'exécution de la méthode d'Euler. En pratique Runge Kutta
PHQ 404 : Méthodes numériques et simulations
1 août 2018 3.2.1 Précision de la méthode d'Euler . ... 12.1 Méthode du tir . ... Par contre s'il s'agit d'une équation différentielle avec.
Analyse Numérique
D'où on tire : La méthode tire son nom de cette formule. ... Analyse Numérique des équations différentielles par M. Crouzeix et A.L. Mignot
Analyse de méthodes de résolution parallèles dEDO/EDA raides
23 mars 2010 7.1.3 Parallélisation classique des méthodes de tirs . ... Soit un système d'équations différentielles ordinaires en abrégé EDO
Équations différentielles ordinaires
Différentes méthodes correspondent à différents choix de méthode numérique et d'approximation de y(x0) pour la calcul de eIk. Erreurs. Les erreurs ont ici deux
LMAT1223 - Équations différentielles ordinaires
Systèmes d'équations différentielles ordinaires non linéaires Méthode de tir . ... Si une équation différentielle est censée modéliser un système ...
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES - maths et tiques
Propriété : Les solutions de l’équation différentielle ’’=9’+B (9 et B deux réels 9 non nul) sont les fonctions de la forme : # G(#)+H(#) où G est la solution particulière constante de l’équation différentielle ’’=9’+B et H est une solution quelconque de l’équation différentielle ’’=9’
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU SECOND ORDRE (COURS)
On dit qu’une équation différentielle de la forme y?(t) ?ay(t) = g(t) est homogène lorsque l’on considère comme second membre une fonction gidentiquement nulle ce que l’on note g?0 Dé?nition Soient Iun intervalle de R et a?I?R une fonction continue
Ift 2421 Chapitre 6 Résolution des équations différentielles
Ift2421 38 Chapitre 6 Méthode de tir Problème linéaire à résoudre x??(t) = t + (1 ? 0 2 t)x(t) Avec les conditions aux limites (frontières) : x(1) = 2 et x(3) = -1 On essaie un deuxième tir en remplaçant par les conditions initiales : x2(1) = 2 x’2(1) = - 3 Deuxième tir:
Equations Differentielles´ - École Polytechnique
Ce systeme diff` ´erentiel peut manifestement s’ ´ecrire comme une seule equation´ differentielle dans´ Rn: y?(t) = A(t)y(t)+b(t) ou` Aest la matrice des coef?cients aij et ou on a introduit les vecteurs de` Rny = (y1··· yn)y? ? (?y1 y?n) et b = (b1··· bn)
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Théorème 1 2 : méthode de variation de la constante Soit I un intervalle de Soit : (E) a(t) y’ + b(t) y = c(t) (où a b c sont trois fonctions définies et continues de I dans ou ) une équation différentielle linéaire scalaire d’ordre 1 et (EH) son équation homogène associée
Comment résoudre une équation différentielle?
Une solution particulière de l’équation est une fonction gqui vérifie l’équation. Résoudre l’équation différentielle c’est trouver la solution générale de (E) qui est formée par l’ensemble de toutes les fonctions solutions de (E). 2.
Quels sont les différents types d'équations différentielles?
Résolution numérique des équations différentielles Rappels: 2 grandes classes: 1. Les équations différentielles ordinaires: une seule variable. 2. Les équations aux dérivées partielles: plusieurs variables. (équation de la chaleur, des ondes, ...)
Comment calculer l’équation différentielle d’ordre 2?
Équation différentielle d’ordre 2 y??(t) = f (t,y(t),y?(t)) Avec les 2 conditions limites : y(t0 )= y0 et y(t1 )= y1 Type différent de celles données avec des conditions initiales. Les méthodes vues précédemment ne s’appliquent pas car nous ne connaissons pas y?(t0 )
Quelle est la différence entre les équations différentielles ordinaires et partielles?
Les équations différentielles ordinaires: une seule variable. 2. Les équations aux dérivées partielles: plusieurs variables. (équation de la chaleur, des ondes, ...)
Ift24211 Chapitre 6Ift 2421
Chapitre 6
Résolution
des équations différentielles:Conditions initiales
Ift24212 Chapitre 6Résolution numérique des équations différentiellesRappels:
2 grandes classes:
1. Les équations différentielles ordinaires:
une seule variable.2. Les équations aux dérivées partielles:
plusieurs variables. (équation de la chaleur, des ondes, ...) Ordre d'une équation différentielle : dérivée la plus élevée. Équation différentielle linéaire :émission radioactive : dRtdtRt()()=-l Équation différentielle non linéaire :Variation de population : dNtdtaNtbNt()()().=-17Convection : dutdtkutT()(())=--5
4 nécessite des conditions initiales. Ift24213 Chapitre 6Résolution numérique des équations différentiellesExemple du pendule :
Équation différentielle non linéaire
du second ordre.Impossible de trouver une solution analytique.
Pour de petit mouvements :
Sin()qq»
Équation du pendule:
t: temps q: Position angulaired dtg LSin 2 20qq+=()
Conditions initiales usuelles:qq
qq() ()t t00 00= =¢qqL Ift24214 Chapitre 6Méthode des séries de TaylorOrdre 1:¢=ytftyt()(,())
yty()00=Développement de Taylor au voisinage de
ttjhj=+0426()()()()
426(,)(,)(,)()
Remarques:1. L'ordre local est en h
4.2. Pas d'estimée de l'erreur.
3. Les dérivées de la fonction f(t,y(t)) se font:df
dtftyf tf yyf tf4. Si l'ordre local est en hn , l'ordre global sera en hn-1.
Ift24215 Chapitre 6Exemple:
Appliquer la méthode de Taylor avec un pas h = 0.1 et un ordre local en h3 pour:¢==-ytftyttyt()(,())()2
yty()001==Solution analytique: ytt()=+222
Le pas est h = 0.1, nous allons calculer les valeurs de y(t)pour t = 0, t = 0.1, t = 0.2, ..., etc.Si nous utilisons un ordre local en h
3, nous avons:yyhythytOhjjjj+=+¢+¢¢+12
32()()()
Exprimons ¢¢yt()
or¢==-ytftyttyt()(,())()2
donc¢¢=-+--ytyttyttyt()()()()(())222
¢¢=-+ytyttyt()()()2232
Ift24216 Chapitre 6La formule de Taylor d'ordre local h3 devient alors:yyhtythyttytOhjjjjjjj+=+-+-++122
223322(())(()())()
pour tth10=+ yyhtytyttyto1002 02 2 02300122=-+-+().(()())
y1100050995=-=..
Valeur exacte: y(.)......012
20122010995024872=+=»
pour tth202=+ yyhtythyttyt2112 12 2 1123122=-+-+()(()())y
222y
209802486=....
Valeur exacte: y(.)......0222022
20409803921562=+=»
pour tth303=+ Etc.Ordre global h2.
Ift24217 Chapitre 6Méthode d'Euler (ordinaire)
Ordre 1:¢=ytftyt()(,())
yty()00=Méthode d'Euler = Méthode de Taylor
d'ordre local en h2.Ordre global en h.
yyhytOhjjj+=+¢+12()() yyhftytOhjjjj+=++12(,())()Interprétation géométrique:x
0x 0+hxySolution
analytiquey 0y 1 Ift24218 Chapitre 6Erreur globale vs Erreur locale Y n = Valeur calculée en xn. y n = Valeur exacte en xn. eyYnnn=- = erreur en Yn; Yyennn=+Avec la méthode d'Euler, nous avons:
YYhftYnnnn+=+1
En utilisant les séries de Taylor:yyhftyhynnnnn+=++¢¢122(,)()x avec xxhnnn££+x[]eyYyYhfxyfxYhynnnnnnnnnn+++=-=-+-+¢¢11122(,)(,)()xeehfxyfxY
yYyYhynnnnnn nnnnn+=+-ûú-+¢¢12
2(,)(,)
()()()xeehfxehynnynnnn+=++¢¢122(,)()hx avec hnnnentreyetYehKehynnn+£++¢¢1212()()x
Ift24219 Chapitre 6Erreur globale vs Erreur locale (suite) e 00= ehKehyhy102 0 2 012102 1 2 0111
221
21£+¢¢é
[]ehhKyhKyy322 []ehhKyhKyynnn n£+¢¢++¢¢++¢¢-- -1211121 0211()()()()()xxxK
[]ehMhKhKnnn£+++++--12111212()()KSachant que :1
1121++++=-
sssssn n KNous obtenons :ehMhK
hKnn +-1 211112
() Û e hMKhK hMKn
10+<>hKeKhK()
()()e hMKe hMKhM Ke hMKeOhnhKnnhKxxKn£-=-=-=-2221210()()()
Ift242110 Chapitre 6Méthode d'Euler modifiéeTaylor d'ordre local en h
3 :yyhftyhftyOhjjjjjj+=++¢+12
32(,)(,)()
Différence avant pour évaluer f' :¢
ftyftyftyhOhjjjjjj (,)(,)(,)()11 Formule d'Euler modifiée :[]yyhftyftyOhjjjjjj+++=+++11132(,)(,)() []yyhyyOhjjjj++=+¢+¢+1132()x 0x 0+hxySolution
analytiquey 0y 1Ift242111 Chapitre 6Méthode d'Euler ordinaire
Algorithme
y0 donné
yyhftytjjjj+=+1Une seule étape de calcul
Ordre global en h.Méthode d'Euler modifiée
Algorithme
y0 donné~(,())yyhftytjjjj+=+1[]yyhftyftyjjjjjj+++=++1112(,)(,~)
Deux étapes de calcul:
1. la prédiction.
2. La correction.
Ordre global en h
2.Méthode d'Euler ordinairePour résoudre:
=-yttyt()()2y()01= t jyjerreur0.11.0000-5.0 10-30.20.9900-9.6 10-30.30.9704-1.3 10-2
0.40.94215-1.6 10-2Méthode d'Euler modifié
Pour résoudre:
=-yttyt()()2y()01= t jyj prédityj corrigéerreur0.11.0000000.9950002.5 10-50.20.9851000.9803464.6 10-50.30.9611240.9568786.0 10-5
0.40.9294100.9258686.0 10-5
0.50.8915790.8888513.8 10-5
0.60.8474580.8474585.2 10-8Note: L'étape de correction peut être répétée 2 à 3 fois, au delà,
il est préférable de réduite h. Ift242112 Chapitre 6Méthode d'Euler ordinaire¢ =-yttyt()()2y()01= h =0.5 t jyj010.511.0.75
1.50.46875
2.0.303955
2.50.211566
3.0.155616
3.50.119291
Méthode d'Euler Modifié
h =0.5 t jyj010.50.8751.0.662472
1.50.479149
2.0.345942
2.50.254107
3.0.191201
3.50.147512
4.0.1164970.511.522.533.5400.20.40.60.81
Ift242113 Chapitre 6Méthode de Runge Kutta
Développement à l'ordre 2
y0 donnékhfxynn1=(,)khfxhyknn21=++(,)ab
yyakbknn+=++112Trouver les valeurs de : a, b, a et b.Développement de Taylor :yyhfxyhfxyOhnnnnnn+=++¢+12
32(,)(,)()
or¢=+¢ =+fxyffy fffnnxyn xyn(,)() ()yyhfxyhfffOhnnnnxyn+=++++1232(,)()()(1)
Algorithme de Runge Kutta d22ordre 2 :
yyahfxybhfxhyhfxynnnnnnnn+=++++1 (,)(,(,))abDéveloppons au premier ordre :
Ift242114 Chapitre 6Méthode de Runge Kutta : développement à l'ordre 2 y0 donnékhfxynn1=(,)khfxhyknn21=++(,)ab
yyakbknn+=++112Trouver les valeurs de : a, b, a et b.yyhfxyhfffOhnnnnxyn+=++++12En forçant (1) = (2), nous avons :ab
b b+= =1 1 2 12a bOrdre local en h 3Ordre global en h
2.Choix Courants :abet=®===121
21ab ® Type I : Euler modifiéabet=®===0112ab ® Type IIabet=®===231
332ab ® Type III
Ift242115 Chapitre 6Méthode de Runge Kutta d'ordre global 2Le plus courant :
y0 donnékhfxynn1=(,)khfxhyknn21323
2=++(,)yykkOhnn+=+++1123231
3()Méthode de Runge Kutta d'ordre global 4
Le plus courant :
y0 donnékhfxynn1=(,)khfxhyknn21121
2=++(,)khfxhyknn32121
3131
6() Ift242116 Chapitre 6Les méthodes de Runge Kutta sont très efficaces car :
1. Elles suivent de près la
solution analytique.2. Avec une valeur du pas
relativement élevé.3. Moins coûteux que les
autres méthodes pour unO(hn) donné.Pas encore d'approximation
de l'erreur commise.Nécessité de choisir le pas en
fonction de l'erreur maximale recherchée.Solution : calculer avec un
pas égal à h, h/2, ...Jusqu'à la stabilité de la
solution.Coût élevé !
Les méthodes qui ajustent le
pas sont dites méthodes à pas adaptatif.Méthode de RungeKutta d'ordre global h
4 : =-yttyt()()2y()01= h =0.1 t jyjyj Réel0110.10.99502490.99502490.20.98039220.9803922
0.30.95693770.9569378
0.40.92592580.92592590.511.5h=1.0
2.533.5400.20.40.60.81
20.511.522.533.5400.20.40.60.81h=0.5
Ift242117 Chapitre 6Algorithme de Runge Kutta Merson d'ordre global 4 avec estimé de l'erreur. y0 donné khfxynn1=(,)khfxhyknn21131
3=++(,) khfxhykknn312131
616=+++(,)khfxhykknn413121
838=+++(,) khfxhykkknn5134123
22=++-+(,)yykkkOhnn+=++++11455162
316()Ekkkk»-+-é
ûú1
153104
151
301345Algorithme de Runge Kutta Fehlberg
d'ordre global 5 avec estimé de l'erreur. y0 donné khfxynn1=(,)khfxhyknn211
414=++(,) khfxhykknn3123
83329
32=+++(,)khfxhykkknn412312
131932
21977200
21977296
2197=++++(,)khfxhykkkknn51234439
21683680
513845
4104=++-+-(,)khfxhykkkkknn6123451
282723544
25651859
410411
40=+-+-+-(,)yykkkkOhnn+=+++++11345625
2161408
2565231
6()Ekkkkk»--++é
ûú1
360128
42752197
752401
5025513456
Ift242118 Chapitre 6Exemple : Algorithme de Runge Kutta Fehlberg d'ordre global 5 avec estimé de l'erreur. =-yttyt()()2y()01= h =0.1 t jyjErreur010.00.10.950257.47241 10-80.20.9803921.97673 10-7
0.30.9569382.75904 10-7
0.40.9259262.98256 10-7
0.50.8888892.69385 10-7
0.60.8474572.01399 10-7y
6 = 0.847457Méthode efficace et populaire
avec contrôle de l'erreur.Ift242119 Chapitre 6Méthodes à pas unique
utilisent seulement le pas précédent : y net¢y nExemples :
Méthodes de Taylor et de
Runge Kutta.Méthodes à pas multiples
(multistep methods) utilisent plusieurs pas précédents : y net¢y n et aussi yn-1et¢- yn1 yn-2et¢- yn2 possible)Méthodes ouvertes n'utilisent que les valeurs précédentes y n, yn-1, yn-2 ...Méthodes fermées (de type prédiction correction) utilisent autant les valeurs précédentes y n, yn-1, yn-2 ... que les valeurs suivantes yn+1, yn+2 ..Exemple : méthode d'Euler
modifiée.Ift242120 Chapitre 6Méthode d'Adams
Équations différentielles sous la forme
dyfxydx=(,)à intégrer sur [xn, xn+1] :
dyfxydxxx xx nn nn++òò=11
remplacer la fonction f(x,y(x)) par un polynôme de collocation : xn, xn-1, xn-2, ... Polynôme quadratique de Newton Grégory descendant :Psfsfssfssshfnnn212Calcul des intégrales :[]yyhfffOh
y hfffOhnnnnn nnnn+-- =+-++112 241241
25
121223165DD()
()Note : Le résultat sera d'ordre local n+2 pour un polynôme de degré n. Attention : Degré trop élevé Þ erreurs d'arrondis.Ift242121 Chapitre 6Méthodes d'Adams[]yyhfffOh
y hfffOhnnnnn nnnn+-- =+-++112 241241
25
121223165DD()
Remarques :
1. Pour démarrer, les valeurs de ¢y
0, ¢y
1 et ¢y
2 (donc f0, f1, et f2) sont nécessaires.Amorçage : méthode de Runge Kutta.
2. Pas question d'adapter le pas directement.
3. Problème : extrapolation avec le polynôme de collocation ;
moins précis qu'interpolation.Adams (ordre local en h
3) []yyhffOhnnnn+-=+-+11323()Adams (ordre local en h
5)Ift242122 Chapitre 6Méthodes d'Adams Moulton
(prédiction correction)2 étapes :
1. une étape de prédiction
où nous extrapolonsÞ approximation de yn+1
2. une étape de correction
où nous interpolons pour trouver yn+1 en se servant de fn+1 tel que prédit par la première étape.Méthode d'Adams Moulton
(d'ordre local en h4) y0,y1,y2 donnés[]~
()yyhfffOhnnnnn+--=+-++11241223165Calcul de ~(,~)ffxynnn+++=111
[]yyhfffOhnnnnn++-=++-+11141258~()Ift242123 Chapitre 6Méthodes d'Adams Moulton
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