résolution des systèmes déquations à 2 inconnues par la méthode
RÉSOLUTION DES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS À 2 INCONNUES. PAR LA MÉTHODE DES DÉTERMINANTS DE CRAMER. Système étudié à titre d'exemple: S{3x+4y=5. 6x+7y=8}.
Annexe C : Matrices déterminants et systèmes déquations linéaires
système de 2 équations à 2 inconnues en y et z : {–5y + 7z = –25. 2y + 2z = –14 qui fait appel à cette notation : c'est la méthode de Cramer.
CHAPITRE 1
Un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues est un ensemble de deux. ( )S équations de la forme : Résolution générale par la méthode de Cramer.
Systèmes déquations linéaires
de Gauss en inversant la matrice des coefficients
Math S2 PeiP Chapitre 3 Systèmes linéaires et méthode du pivot de
Par exemple • toutes les inconnues des systèmes triangulaires de Cramer sont 2 LA MÉTHODE DU PIVOT. 2. Ajouter à une équation Li un multiple d'une autre ...
Ift 2421 Chapitre 3 Résolution des systèmes déquations linéaires
2. On a l'associativité du produit : A.(B.C)=(A.B).C Méthode de Cramer ... inconnues du système pour avoir le pivot maximum en valeur absolue.
Chapitre V La méthode du pivot de Gauss et ses applications
Preuve : On fait passer les inconnues non principales dans le second membre et on résout le système triangulaire de Cramer en . 2. La méthode du pivot.
Systèmes linéaires
On considère le cas d'un système de 2 équations à 2 inconnues : ax + by = e substitution méthode de Cramer
SYSTEMES DEQUATIONS ET DROITES
5 + 3 = 2. A noter : Ici la méthode de substitution ne se prête pas à la résolution du système car en isolant une inconnue
RÉSOLUTION DES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS À 2 INCONNUES PAR LA
RÉSOLUTION DES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS À 2 INCONNUES PAR LA MÉTHODE DES DÉTERMINANTS DE CRAMER Système étudié à titre d'exemple: S{3x 4y=5 6x 7y=8} Appelons A la colonne 3 6 B la colonne 4 7 et C la colonne 5 8 Première étape Calcul du déterminant du système
HAPITRE Systèmes d'équations
Résolution générale par la méthode de Cramer C'est le mathématicien suisse Gabriel Cramer (1704-1752) qui a introduit l'expression générale de la solution d'un système linéaire de n équations à n inconnues
RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES - HEC Montréal
première équation par 2 pour que les U puissent s'annuler lors de l'addition des équations Il ne sera même pas nécessaire dans ce cas de multiplier la seconde équation 1 En multipliant la première équation par 2 les coefficients de U seront opposés (4 et 4 respectivement) ; 2 : 7 F 2
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2) Enoncer et dØmontrer les formules de Cramer dans le cas gØnØral d™un syst?me de nØquations à ninconnues à partir de la thØorie gØnØrale des dØterminants (voir le document "DØterminants" sur le site touteslesmaths fr) 1 Syst?mes de trois Øquations à trois inconnues ConsidØrons un syst?me (S) de trois Øquations linØaires
Méthode de Résolution d'un Système Par Les Formules de Cramer
Contexte
Complément
On peut ainsi retenir l'expression des solutions par la méthode de Cramer : (1)(1)(1) {ax+by=ca?x+b?y=c?begin{cases} ax+by=c a'x+b'y=c'end{cases}{ax+by=ca?x+b?y=c?? On forme par exemple : x=x=x=?cbc?b???aba?b??frac{begin{vmatrix} c & b c'& b'end{vmatrix}}{begin{vmatrix} a & b a' & b'end{vmatrix}}????aa??bb??????????cc??bb???????=cb??...
Comment appliquer la méthode de Cramer?
Résoudre le système suivant : On peut appliquer la méthode de Cramer du fait qu?on a 3 équations et 3 inconnues mais il faut vérifier que det A est non nul. La solution du système est donnée par (-2, 1, 2) Application : Résoudre le système suivant : Solution Résolution par la méthode du pivot de Gauss
Qui a conçu la méthode de Cramer ?
La méthode de Cramer a été conçue par Gabriel Cramer, un mathématicien genévois, en 1750, il a conçu un moyen pour résoudre un système d’équations linéaires en utilisant une équation matricielle et les déterminants des matrices qui en découlent. Nous allons maintenant étudier la méthode de Cramer et son utilisation.
Comment calculer la solution du système par la règle de Cramer ?
3multiplications et n2 2divisions . À titre de comparaison, le calcul de la solution du système par la règle de Cramer (voir la proposition A.61) requiert, en utilisant un développement brutal par ligne ou colonne pour le calcul des déterminants, de l'ordre de (n+1)! additions, (n+2)! multiplications et ndivisions.
Comment résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues en classe de troisième ?
En classe de troisième, on apprend la résolution des systèmes de 2 équations à 2 inconnues par la méthode des combinaisons ou par celle de la substitution. Hors des programmes scolaires actuels, les formules de Cramer donnent les solutions de façon automatique. C'est d'ailleurs la méthode de résolution qu'utilisent les calculatrices "collège".
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frSYSTÈMES D'ÉQUATIONS ET DROITES
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/sWaHnxqUve0Exemple d'introduction :
Soit deux équations à deux inconnues í µ et í µ :2í µ-í µ=0 et 3í µ-4í µ=-5.
Elles forment ce qu'on appelle un système de deux équations à deux inconnues.Et on note : *
2í µ-í µ=0
3í µ-4í µ=-5
Un couple de nombres qui vérifie les deux équations est appelé solution du système.Ici, le coupe (1 ; 2) est solution. En effet :
2×1-2=0
3×1-4×2=-5
Dans ce chapitre, on verra deux méthodes permettant de résoudre de tels systèmes.Partie 1 : Méthode de substitution
Méthode : Résoudre un système d'équations par la méthode de substitutionVidéo https://youtu.be/24VsDZK6bN0
Vidéo https://youtu.be/tzOCBkFZgUI
Résoudre le système d'équations par la méthode de substitution :*3í µ+2í µ=0
í µ-4í µ=14Correction :
3í µ+2í µ=0
í µ-4í µ=143í µ+2í µ=0
í µ=14+4í µOn isole facilement l'inconnue í µ dans la 2
eéquation.
314+4í µ
+2í µ=0 í µ=14+4í µOn remplace í µ par 14+4í µ dans la 1
reéquation (substitution).
42+12í µ+2í µ=0
í µ=14+4í µOn résout la 1
reéquation pour trouver y.
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr14í µ=-42
í µ=14+4í µ 2 4214 =-3 í µ=14+4í µ í µ=-3 í µ=14+4×(-3)
On remplace í µ par -3 dans la 2
eéquation.
í µ=-3 í µ=2 La solution du système est le couple (2;-3) et on note : í µ={(2;-3)} Partie 2 : Méthode des combinaisons linéairesMéthode : Résoudre un système d'équations par la méthode des combinaisons linéaires
Vidéo https://youtu.be/Zw-qI9DFv54
Vidéo https://youtu.be/UPIz65G4f48
Vidéo https://youtu.be/V3yn_oEdgxc
Résoudre les systèmes d'équations par la méthode des combinaisons linéaires : a) *3í µ-2í µ=11
6í µ+3í µ=15
b) *3í µ-2í µ=7
5í µ+3í µ=-1
Correction
Remarque : Ici, la méthode de substitution ne se prête pas à la résolution du système car en
isolant une inconnue, on ferait apparaitre des fractions. Ce qui complique les calculs. a) *3í µ-2í µ=11
6í µ+3í µ=15
3í µ-2í µ=11
6í µ+3í µ=15
6í µ-4í µ=22
6í µ+3í µ=15
... pour obtenir le même coefficient devant une des inconnues.Ã—í µ On multiplie la 1
reéquation par 2...
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr6í µ-4í µ=22
6í µ+3í µ=15
6í µ-6í µ-4í µ-3í µ=22-15
-4í µ-3í µ=22-15 -7í µ=7 7 -7 í µ=-1 3í µ-2í µ=11On remplace í µ par -1 dans une des deux équations (au choix).3í µ-2×(-1)=11
3í µ+2=11 On résout l'équation pour trouver í µ.
3í µ=11-2
3í µ=9
í µ=3 La solution du système est le couple (3;-1) et on note : í µ={(3;-1)} b) *3í µ-2í µ=7
5í µ+3í µ=-1
3í µ-2í µ=7×5
5í µ+3í µ=-1×3
15í µ-10í µ=35
15í µ+9í µ=-3
... pour obtenir le même coefficient devant une des inconnues.15í µ-10í µ=35
15í µ+9í µ=-3
15í µ-15í µ-10í µ-9í µ=35+3
-10í µ-9í µ=35+3 -19í µ=38 38-19 í µ=-2
3í µ-2í µ=7 On remplace í µ par -2 dans une des deux équations (au choix).
3í µ-2×
-2 =73í µ+4=7
3í µ=7-4
3í µ=3
í µ=1 La solution du système est le couple (1;-2) et on note : í µ={(1;-2)} On soustrait les deux équations pour éliminer í µ.On multiplie la 1
reéquation par 5,
et la 2 eéquation par 3...
On soustraie les deux équations pour éliminer í µ.4 sur 5
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frPartie 3 : Résolutions graphiques
1) Système admettant une unique solution
Méthode : Résoudre graphiquement un système d'équationsVidéo https://youtu.be/-LV_5rkW0RY
On considère le système d'équations : *
-2í µ+í µ=04í µ-í µ=4
Déterminer graphiquement le couple solution.
Correction
Le système équivaut à : *
í µ=2í µ -í µ=-4í µ+4 í µ=2í µ í µ=4í µ-4 í µ=2í µ et í µ=4í µ-4 sont les équations de deux droites qu'on représente dans un repère. La solution du système est donc le couple (í µ;í µ) coordonnées du point d'intersection des deux droites. Par lecture graphique, on trouve le couple (2;4) comme solution du système.On note : í µ={(2;4)}
2) Système n'admettant pas de solution
Méthode : Démontrer qu'un système ne possède pas de solutionVidéo https://youtu.be/IYzK0zVr-Lk
On considère le système d'équations : *
-3í µ+í µ=16í µ-2í µ=6
Démontrer que ce système n'admet pas de solution.Correction
Le système équivaut à : *
í µ=3í µ+1 -2í µ=-6í µ+60 1 1 í µ=2í µ í µ=4í µ-4 2 4
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 2 í µ=3í µ+1 -6í µ -2 6 -2 í µ=3í µ+1 í µ=3í µ-3 Les droites d'équations í µ=3í µ+1 et í µ=3í µ-3 possèdent des coefficients directeurs égaux, elles sont donc parallèles, et même strictement parallèles. Elles n'ont pas de point d'intersection, donc le système n'a pas de solution.On note : í µ=∅
3) Système admettant une infinité de solutions
Méthode : Démontrer qu'un système admet une infinité de solutionsVidéo https://youtu.be/IYzK0zVr-Lk
Soit le système d'équations : *
-6í µ-3í µ=-62í µ+í µ=2
Démontrer que ce système admet une infinité de solutions.Correction
Le système équivaut à : *
-3í µ=6í µ-6 í µ=-2í µ+2 2 6 -3 6 -3 í µ=-2í µ+2 í µ=-2í µ+2 í µ=-2í µ+2 Les deux droites ont la même équation í µ=-2í µ+2, elles sont donc confondues et possèdent une infinité de points d'intersection. Le système admet donc une infinité de solutions : tous les couples (í µ;í µ) vérifiant í µ=-2í µ+2.Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales 0 1 1 í µ=3í µ+1 í µ=3í µ-3 0 1 1 í µ=-2í µ+2 2 í µ=-2í µ+2
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