résolution des systèmes déquations à 2 inconnues par la méthode
RÉSOLUTION DES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS À 2 INCONNUES. PAR LA MÉTHODE DES DÉTERMINANTS DE CRAMER. Système étudié à titre d'exemple: S{3x+4y=5. 6x+7y=8}.
Annexe C : Matrices déterminants et systèmes déquations linéaires
système de 2 équations à 2 inconnues en y et z : {–5y + 7z = –25. 2y + 2z = –14 qui fait appel à cette notation : c'est la méthode de Cramer.
CHAPITRE 1
Un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues est un ensemble de deux. ( )S équations de la forme : Résolution générale par la méthode de Cramer.
Systèmes déquations linéaires
de Gauss en inversant la matrice des coefficients
Math S2 PeiP Chapitre 3 Systèmes linéaires et méthode du pivot de
Par exemple • toutes les inconnues des systèmes triangulaires de Cramer sont 2 LA MÉTHODE DU PIVOT. 2. Ajouter à une équation Li un multiple d'une autre ...
Ift 2421 Chapitre 3 Résolution des systèmes déquations linéaires
2. On a l'associativité du produit : A.(B.C)=(A.B).C Méthode de Cramer ... inconnues du système pour avoir le pivot maximum en valeur absolue.
Chapitre V La méthode du pivot de Gauss et ses applications
Preuve : On fait passer les inconnues non principales dans le second membre et on résout le système triangulaire de Cramer en . 2. La méthode du pivot.
Systèmes linéaires
On considère le cas d'un système de 2 équations à 2 inconnues : ax + by = e substitution méthode de Cramer
SYSTEMES DEQUATIONS ET DROITES
5 + 3 = 2. A noter : Ici la méthode de substitution ne se prête pas à la résolution du système car en isolant une inconnue
RÉSOLUTION DES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS À 2 INCONNUES PAR LA
RÉSOLUTION DES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS À 2 INCONNUES PAR LA MÉTHODE DES DÉTERMINANTS DE CRAMER Système étudié à titre d'exemple: S{3x 4y=5 6x 7y=8} Appelons A la colonne 3 6 B la colonne 4 7 et C la colonne 5 8 Première étape Calcul du déterminant du système
HAPITRE Systèmes d'équations
Résolution générale par la méthode de Cramer C'est le mathématicien suisse Gabriel Cramer (1704-1752) qui a introduit l'expression générale de la solution d'un système linéaire de n équations à n inconnues
RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES - HEC Montréal
première équation par 2 pour que les U puissent s'annuler lors de l'addition des équations Il ne sera même pas nécessaire dans ce cas de multiplier la seconde équation 1 En multipliant la première équation par 2 les coefficients de U seront opposés (4 et 4 respectivement) ; 2 : 7 F 2
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2) Enoncer et dØmontrer les formules de Cramer dans le cas gØnØral d™un syst?me de nØquations à ninconnues à partir de la thØorie gØnØrale des dØterminants (voir le document "DØterminants" sur le site touteslesmaths fr) 1 Syst?mes de trois Øquations à trois inconnues ConsidØrons un syst?me (S) de trois Øquations linØaires
Méthode de Résolution d'un Système Par Les Formules de Cramer
Contexte
Complément
On peut ainsi retenir l'expression des solutions par la méthode de Cramer : (1)(1)(1) {ax+by=ca?x+b?y=c?begin{cases} ax+by=c a'x+b'y=c'end{cases}{ax+by=ca?x+b?y=c?? On forme par exemple : x=x=x=?cbc?b???aba?b??frac{begin{vmatrix} c & b c'& b'end{vmatrix}}{begin{vmatrix} a & b a' & b'end{vmatrix}}????aa??bb??????????cc??bb???????=cb??...
Comment appliquer la méthode de Cramer?
Résoudre le système suivant : On peut appliquer la méthode de Cramer du fait qu?on a 3 équations et 3 inconnues mais il faut vérifier que det A est non nul. La solution du système est donnée par (-2, 1, 2) Application : Résoudre le système suivant : Solution Résolution par la méthode du pivot de Gauss
Qui a conçu la méthode de Cramer ?
La méthode de Cramer a été conçue par Gabriel Cramer, un mathématicien genévois, en 1750, il a conçu un moyen pour résoudre un système d’équations linéaires en utilisant une équation matricielle et les déterminants des matrices qui en découlent. Nous allons maintenant étudier la méthode de Cramer et son utilisation.
Comment calculer la solution du système par la règle de Cramer ?
3multiplications et n2 2divisions . À titre de comparaison, le calcul de la solution du système par la règle de Cramer (voir la proposition A.61) requiert, en utilisant un développement brutal par ligne ou colonne pour le calcul des déterminants, de l'ordre de (n+1)! additions, (n+2)! multiplications et ndivisions.
Comment résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues en classe de troisième ?
En classe de troisième, on apprend la résolution des systèmes de 2 équations à 2 inconnues par la méthode des combinaisons ou par celle de la substitution. Hors des programmes scolaires actuels, les formules de Cramer donnent les solutions de façon automatique. C'est d'ailleurs la méthode de résolution qu'utilisent les calculatrices "collège".
![Ift 2421 Chapitre 3 Résolution des systèmes déquations linéaires Ift 2421 Chapitre 3 Résolution des systèmes déquations linéaires](https://pdfprof.com/Listes/18/5228-18Chapitre3_cor.pdf.pdf.jpg)
Ift24211 Chapitre 3Ift 2421
Chapitre 3
Résolution des systèmes
d'équations linéairesIft24212 Chapitre 3Introduction
Description:
U = R . I
Loi de Kirchhoff:Le voltage sur une boucle fermée est nul.Intensité entrante = intensité sortante.
donc 5 i1 + 5 i2 = V
i3 - i4 - i5 = 0
2 i4 - 3 i5 = 0
i1 - i2 - i3 = 0
5 i2 - 7 i3 - 2 i4 = 0
Ift24213 Chapitre 3Exemples de situations nécessitant la résolution d'un système d'équations linéaires.· Potentiel dans un circuit électrique
· Tension dans une structure
· Flot dans un réseau hydraulique
· Mélange de produits chimiques
· Vibration d'un système mécanique
· Élasticité
· Transfert de chaleur
· Réduction d'équation différentiellesIft 2450
Ift24214 Chapitre 3Notation :Considérons le système suivant :axaxb axaxb11112212112222+=
+=ìíîCe système sera noté par :(en notation matricielle) aa aax xb b1112 2122121
2é
ûúou aussi
A . x = b10 Rappels sur les matrices :
1. Multiplications entre matrices
conformes seulement : si A estKxL et B est MxN alors A.B
existe ssi L=M.2. On a l'associativité du produit :
A.(B.C)=(A.B).C
3. On n'a pas de façon générale de
commutativité : A.B ¹ B.A4. Un vecteur est une matrice dont
l'une des dimensions est 1.5. Une matrice 1x1 est associée de
façon bijective à un nombre réel.6. La transposée AT d'une matrice
A est obtenue en interchangeant
les lignes et les colonnes.7. Une matrice carrée NxN est dite
d'ordre N.8. La matrice Zéro (notée 0) est
entièrement composée de zéros.9. La matrice identité (notée I) a des
1 sur la diagonale et des zéros
ailleurs.10. La trace d'une matrice est la
somme des éléments de sa diagonale.Ift24215 Chapitre 3Méthode de Cramer
Si A . x = b est un système de n équations
avec n inconnues tel que det (A) ¹ 0 alors le système a une solution unique qui estx A AxA AxA Ann 1122===det()
det(),det() det(),,det() det()K avec Aj la matrice obtenue en remplaçant la jème colonne de A par le vecteur b.Ordre de la méthode:
O(n!) n > 205 fois la vie de l'univers.
Ift24216 Chapitre 3Système triangulaire :
· Inférieur
0éúúúúúSubstitution Avant
· Supérieur
0éúúúúúSubstitution Arrière
0Résoudre le système :
312077
002112
21421
2 3- úx x x et le système : 300
170
27213
22
191
2 3- úx x xMatrice augmentée :300 170
27213
22
19-
Ift24217 Chapitre 3Systèmes équivalents
2 systèmes sont équivalents
Ils peuvent être obtenus l'un
à partir de l'autre avec
uniquement des opérationsélémentaires.
Deux systèmes équivalents
ont la même solution.Opérations élémentaires surles lignes d'une matrice1. Multiplication d'unerangée par une constante
2. Les équations peuvent êtrepermutées.
3. Combinaison linéaire desrangées.
Exemple de système
Rxxx RxxxRxxx1123
212331233212
2311222:
312
123
22112
11 21
2 3- úx x xet de systèmes équivalents
262424
22232131123
31232313Rxxx
Rxxx RRxx: 624221
30224
2 131
2 3- úx x x
Ift24218 Chapitre 3Élimination de Gauss2 étapes :1. Transformation du système original en un système triangulaire supérieur.
2. Résolution du système triangulairepar substitution arrière.Exemple de système :
Rxxx RxxxRxxx1123
212331233212
2311222:
Premier pivot (a
11 = 3) :Rxxx
RRxxRRxx1123
212331233212
1 3737
37
2 34
37
36:
---=-Second pivot (a
22 = 7/3) :
Rxxx RxxRRx1123
2233233212
7373743732:
Substitution arrière :
x xx xxx3 231232
37773
3777321
1312213121223=
Ift24219 Chapitre 3Remarques sur la méthode de Gauss1. Un pivot est une valeur par laquelle on doit diviser pour résoudre le système linéaire.
2. On n'a pas utilisé la seconde opération élémentaire.
3. On peut aussi travailler avec la matrice augmentée.Coût :Ordre O(n
3/3) flops
(Floting point operations)Notes :Substitution arrière
Ordre O(n2/2) flops
négligeable lorsque n tend vers infini.Méthode de Gauss Jordan· fait disparaître les
coefficients en haut et en bas de la diagonale.· Pas de substitution arrière.
Coût :Ordre O(n
3/2) flops
déconseilléeIft242110 Chapitre 3PivotageTechnique de pivotage partiel :Permute 2 lignes pour avoir le pivot maximum en valeur
absolue.Technique de pivotage complet :Permute 2 lignes de la matrice augmentée, puis interchange 2inconnues du système pour avoir le pivot maximum en valeur
absolue.Raisons du pivotage
Division par un très petit pivotvaleurerreurPivotvaleurerreurvaleurerreur+=+=+-101010151515Exemple :043
41326371
3
2-é
úPivotage partiel (R
1 " R3)637
41320432
3
1-é
Suffisant pour éviter les
divisions par 0.Peut aussi améliorer la
précision des calculs.Ift242111 Chapitre 3Pivotage Complet
Étape 1 : (R1 " R2)4132
0436373
1 2-
Étape 2 : (C1 " C3)-
ú3214
3407363
1 2
Attention :Garder l'ordre des inconnues.
O = ( 3, 2, 1)
4132043
6374
0 61
4 332
3 73
1 2 32
3 71
4 34
0 63214
31
2 3123
321-
ú=-x
x xxxx xxx40 73631 23
2 1é úx x x
Ift242112 Chapitre 3Pivotage (autre exemple)
Cet exemple montre que la précision peut être améliorée par le pivotage. Considérons un système avec b= 10 et s = 4. (Arrondi à chaque opération)Soit le système A x = b tel que :
A=-ú000240004000
200029065387
300040313112...
... b=-ú7998
44814143.
La matrice triangulaire supérieure sans pivotage est : (augmentée)-
úú000240004000
039974005
0010007998
80020000...
ce qui donne la solution : x* = (-1496, 2.000, 0.000)Si on utilise le pivot partiel :
A=--ú300040313112
000240004000
200029065387...
... b=-ú4143
79984481.
La matrice triangulaire supérieure avec pivotage est :300040313112
039973998
0076814143
79957681...
ú ce qui donne x*=é
ú1000
10001000.
Ift242113 Chapitre 3Normalisation partielle
(Scaling)Diviser chaque élément d'une rangée de la matrice par l'élément maximum de la rangée.Exemple :
3210013100
121105
10221
2 3- úx x x
Sans normalisation
(b=10, s = 3) x1 = 1.00, x2 = 1.09, x3 = 0.94
Avec normalisation :
R1/100, R2/100, R3/2
003002100
001003100
050100050105
1021001
2 3... úx x x
Puis pivot partiel
x1 = 1.00, x2 = 1.00, x3 = 1.00Remarques :1. Peut détruire lasymétrie.
2. Surcroît de calcul : à employer seulementdans les cas difficiles.
3. Utiliser le pivotagepartiel dans la plupart
des cas.Ift242114 Chapitre 3Plusieurs membres de droite
312123
22112
11 2312
123
22114
14 21
2 31
2 3- úx x xety y y On a en fait deux systèmes avec la même matrice.
On travaille alors avec la
matrice augmentée de plusieurs membres de droite.312 12322112
11 214
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