Mathématiques de lingénieur
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MATHÉMATIQUESPOUR LES SCIENCESDE LINGÉNIEUR
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peut pas se dispenser de l'outil mathématique qui a permis à la thermo- matiques pour maîtriser parfaitement la thermodynamique de l'ingénieur.
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M. Bergounioux Mathématiques pour le traitement du signal
MATHÉMATIQUES SCIENCES DE L’INGÉNIEUR - Dunod
MATHÉMATIQUES POUR LES SCIENCES DE L’INGÉNIEUR Sous la direction de Frédéric Bertrand et Myriam Maumy-Bertrand Maîtres de conférences à l’université de Strasbourg (UdS) Sandie Ferrigno Maître de conférences à l’université de Lorraine Didier Marx Docteur en génie électrique agrégé de physique au lycée Fabert de Metz
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a b = c Relation exprimant que c est le résultat de l’opération interne effectuée sur a et b éléments de E On trouve aussi : a ? b; a * b; a + b; a b a e = e a = a e est l’élément neutre de l’opération a a ? = e a et a sont des éléments symétriques dans l’opération EF? {FE? ? ? ? ? ? ? Arithmétique
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Ce document est inspiré de divers cours enseignés par l’auteur àl’Uni- versité de Caenet de divers manuels classiques de Mathématiques tels que [Rud95] [Car85] [Sch67] [Que64] [Dix76] Il était anciennement intitulé Mathématiques pour la Licence de Mécanique
Quels sont les fondamentaux de l’ingénierie pédagogique ?
Fondamentaux de l’ingénierie pédagogique et pratiques pédagogiques 1 (24 heures) : Découvrir et s’approprier les fondamentaux de l’ingénierie pédagogique en termes de définitions, de niveaux de formation (objectifs, espaces, lieux…), d’étapes (diagnostic, design, évaluation) et de moyens pour la formation (outils, méthodes, techniques, formats…).
Quels sont les différents modèles d’ingénierie pédagogique?
Il existe de nombreux modèles (c’est-à-dire des sortes de guides ou de recettes de cuisine) de l’ingénierie pédagogique : le SAT, MRK, ASSURE, SR, DC MISA, etc. (vous trouverez une liste exhaustive sur Wikipédia, si le sujet vous intéresse).
Quels sont les coûts de l’ingénierie pédagogique ?
Les coûts de l’ingénierie pédagogique sont en général inclus dans la prestation du formateur (tout comme dans celle du prof) alors que les cursus des adultes sont différents de ceux des enfants (répartis par classe d’âge).
Quels sont les chapitres de l’Ingénu?
Ce conte comporte 20 chapitres : les sept premiers se déroulent en Bretagne, le chapitre huit relate le voyage de L’Ingénu de Saint-Malo à Paris, les douze chapitres suivants se passent à Paris. Chapitre 1 A Saint-Malo, St Dunstan (Irlandais) fonde un prieuré.
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l"ingénieurAbdennebi ACHOUR,
Lotfi BELKOURA,
Michel DAMBRINE,
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Hugues MOUNIER,
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Illustration du livre des procédés ingénieux (Kitâb al-Hiyal) publié en 850 par les trois frères Ahmed, Mohamed et Hasan bin Mûsa ibn Shâkir, travaillant dans la maison de la sagesse (Bayt al-Hikma) à Bagdad. iTable des matières
1 Introduction aux Distributions 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Espaces des fonctions tests-Espaces des distributions . . . . . . . 2
1.3 Opérations sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Convolution des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Transformées de Fourier et de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 Travaux Dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7 Travaux Pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.8 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Optimisation et LMI 31
2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Minimisation sans contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Minimisation avec contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Optimisation convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5 Programmation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.6 Programmation semi-définie - LMI . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.7 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3 Systèmes stochastiques 77
3.1 Introduction aux probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3 Le théorème central de la limite et les lois fortes des grands nombres 99
3.4 Espérances conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.5 Loi de Poisson et loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.6 La loi du Chi deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.8 Processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.9 Processus de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.10 Processus de Wiener (ou mouvement brownien) . . . . . . . . . . 133
3.11 Problèmes et exercices pour l"Ingénieur . . . . . . . . . . . . . . . 136
iiTABLE DES MATIÈRESiii
4 EDO non-linéaire 153
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.2 Equations différentielles ordinaires sous forme implicite . . . . . . 157
4.3 Equations différentielles du premier ordre . . . . . . . . . . . . . 159
4.4 EDO Linéaire : des comportements simplistes . . . . . . . . . . . 170
4.5 EDO Non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4.7 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5 Calcul des variations 209
5.1 Quelques exemples introductifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.2 Formulation du Problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.3 Condition Nécessaire : équations d"Euler . . . . . . . . . . . . . . 213
5.4 Que faire dans d"autres cadres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.5 Quelques résultats annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
6 Systèmes à retard 235
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.2 Classes d"équations differentielles fonctionnelles . . . . . . . . . . 239
6.3 Le problème de Cauchy pour les EDR . . . . . . . . . . . . . . . 242
6.4 Méthode pas à pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.5 Stabilité des systèmes retardés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
6.6 Cas des systèmes de type neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
6.7 Modèles pour les systèmes linéaires stationnaires . . . . . . . . . 262
6.8 Quelques liens entre modélisation et stabilité . . . . . . . . . . . 265
6.9 Propriétés structurelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6.10 Compléments bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
6.11 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
7 Commande algébrique des EDPs 289
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
7.2 Motivations et méthodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
7.3 Notion de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
7.4 Notions de commandabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
7.5 Des systèmes à retards aux EDPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
7.6 Exemple de l"équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
7.7 Calcul opérationnel utilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
7.8 EDPs frontières comme systèmes de convolution . . . . . . . . . . 311
7.9 Systèmes du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
7.10 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
7.A Rappels d"algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
7.B Rappels sur les fonctions Gevrey . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
7.C Représentation des opérateursS(x)etC(x). . . . . . . . . . . . 331
ivTABLE DES MATIÈRES8 Platitude et algèbre différentielle 333
8.1 Systèmes plats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
8.2 Platitude différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
8.3 Entrées et dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
8.4 Systèmes entrée-sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
8.5 États généralisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
8.6 État de BrunovskÞ et forme de commande généralisée . . . . . . 347
8.7 Équivalence par bouclages quasi statiques . . . . . . . . . . . . . 348
8.8 Linéarisabilité par bouclages quasi statiques . . . . . . . . . . . . 350
8.9 Poursuite de trajectoires pour des systèmes plats . . . . . . . . . 352
8.10 Les systèmes linéaires tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
8.11 Observabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
8.12 Exemple: Une grue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
8.13 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
8.A Bases mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
1Introduction aux
Distributions
Lotfi Belkoura
1 1 LAGIS & INRIA-ALIEN, Université des Sciences et Technologies de Lille, Bât. P2, 59650 Villeneuve d"Ascq, France.E-mail:Lotfi.Belkoura@univ-lille1.fr
1.1 Introduction
La théorie des distributions permet, en se plaçant dans un cadre plus large que celui, classique, des équations différentielles ordinaires, de résoudre de nom- breuses équations issues de la physique, de la mécanique des fluides ou du traite- ment du signal. Elle permet ainsi, par exemple, de dériver, même indéfiniment, en un certain sens, une fonction qui n"est dérivable au sens usuel, et des infor- mations essentielles tels que les discontinuités des fonctions ne sont pas perdues par dérivation. Une des idées fondamentales de cette théorie consiste à définir les distributions au travers de leur action sur un espace de fonctions, dites fonctions tests. Ce chapitre limite son ambition à l"acquisition rapide de techniques de cal- culs puissantes, et les aspects tels que ceux relatifs aux propriétés topologiques des différents espaces ne sont as abordés. Il ne faut donc pas hésiter à consulter les ouvrages tels que celui de Laurent Schwartz, auteur de cette théorie, pour des développements et démonstrations plus complets. Les exemples et énon- cés sont pour la plus grande partie extraits des ouvrages cités en références [10, 7, 1, 9, 4, 2, 5, 12, 6, 11, 3, 8]. Bien que restreintes aux situations à une dimension (de la variablet), les représentations développées dans ce chapitre ad- mettent généralement une extension naturelle aux dimensions d"ordre supérieur, permettant d"appréhender les problèmes d"équation aux dérivées partielles. 11. Introduction aux Distributions
1.2 Espaces des fonctions tests-Espaces des
distributions Une distribution est une forme linéaire continue sur un espace vectoriel de fonctions, dites fonctions tests. Il existe différents types de distributions cor- respondant aux différents espaces de fonctions de test. Plus les conditions dequotesdbs_dbs3.pdfusesText_6[PDF] mathematique de l'ingenieur
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