[PDF] Contrôle et Optimisation de trajectoire de mise en orbite GEO pour





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Contrôle et Optimisation de trajectoire de mise en orbite GEO pour

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Phases de lancement d’Ariane 5 - ac-guyanefr

la fusée pendant la première phase de décollage suivie de confrontations des résultats obtenus Les di?érentes stratégies de conversion de m/s vers km/h doivent être rédigées par les élèves et ensuite misesencommun 4ème étape : Laquestion2 peutêtreproposéeenpremiertempscommetravailentempslibre On



/ 25 Mécanique : Décollage de la fusée Ariane V

Étudions le mouvement de la fusée lors de son décollage Lors du lancement la fusée est posée verticalement le long d’une rampe I - Le référentiel 1- Quelle sera la nature de la trajectoire de la fusée lors de son décollage si le référentiel choisi est le centre de la terre ? trajectoire rectiligne (droite)



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Comment calculer la trajectoire d'une fusée ?

Pour calculer une trajectoire il faut se servir de la 2nde loi de Newton: Dans un référentiel galiléen, la variation de la quantité de mouvement est égale à la somme des forces extérieures qui s'exercent sur le solide Nous venons de décrire le calcul de la trajectoire d'une fusée.

Comment la dynamique du vol affecte-t-elle le comportement de la fusée?

Dynamique du vol L’évolution de ces trois forces va régir le comportement de la fusée : •le mouvement de la fusée autour de son Centre de Masse va définir sa stabilité. •le mouvement du Centre de Masse de la fusée dans l'espace va définir sa trajectoire,

Comment savoir si une fusée est maintenue dans l'axe de la rampe?

Pendant cette phase où la fusée est maintenue dans l'axe de la rampe, on a : On ne tient plus compte de la rampe de lancement lorsque l’altitude Zi- Z0devient supérieure à L.sin(?0) (L étant la longueur de la rampe de lancement).

Comment s'exerce la force de vol d'une fusée ?

Chacune de ces trois force s'exerce de manières différentes sur la trajectoire du vol de la fusée, -LLe poids s'exerce en fonction de la constante gravitationelle et de la masse de la fusée, qui attire la fusée vers le sol. Le poids s'applique au niveau du centre de gravité de la fusée, et cette force est exercée verticalement par rapport au sol.

Contrôle et Optimisation de trajectoire de mise en orbite

GEO pour une mission Ariane 5

Ludovic Goudenège

ENSTA - Module MO102

Décembre 2016

Ludovic GoudenègeProjet ENSTA Ariane 5ENSTA

Plan

1Modélisation du problème

2Dynamique du vol

3Calcul numérique des trajectoires

4Optimisation des trajectoires

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Quelques chiffres

Un projet de type Ariane 5 met en jeu une charge lourde et un gros budget pour chaque décollage.150 millions d"euros

10 tonnes de charge utile (2 satellites de 5 tonnes)

750 tonnes sur le pas de tir, dont 650 de carburant

25 minutes entre le décollage et la libération des satellites

Il est alors nécessaire d"optimiser la trajectoire de la fusée afin de minimiser les coûts principalement de carburant. On cherche alors à calculer le guidage optimal de la fusée afin d"atteindre l"altitude et la vitesse demandées pour la mise en orbite des satellites. C"est un problème de commande optimale en grande dimension.

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Orbite géostationnaire (GEO)

L"orbite GEO est une orbite circulaire située à environ 36 000 km (c"est la plus peuplée avec environ 300 satellites). La principale particularité de cette

orbite assure que le satellite reste immobile par rapport au sol terrestre.Un lancement direct est difficile du fait de l"altitude élevée. On va réaliser

un premier lancer sur une orbite de transfert (GTO) puis opérer une manoeuvre de circularisation.

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Modélisation du problème

Modélisation du problème

On commence par écrire les équations du problème. Il faut prendre en compte la gravitation, la poussée des moteurs, la perte de masse due au carburant consommé et l"ejection des moteurs vides. Le vol est séparé en plusieurs phases qui dépendent du nombre de moteurs encore rattachés à la fusée. En fin de vol, tout le carburant des moteurs a été consommé et le satellite utilise son propre carburant pour la procédure de circularisation. On ne prendra pas en compte cette étape. On cherche donc simplement à rejoindre l"orbite GTO. Lorsqu"on possède les équations mise en oeuvre dans le mouvement, il reste une inconnue : c"est notre contrôle de la fusée. En effet la direction qu"on applique aux moteurs afin d"incliner la fusée durant son ascension est la seule donnée inconnue qu"on va chercher à optimiser.

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Modélisation du problème

Modélisation du problème

On noteergla fonction décroissante de quantité de carburant (des ergols) erg: [0;+1[![0;+1[ t7!erg(t) Ainsierg(0)est la quantité de carburant au décollage. On noteTl"instant où tout le carburant a été consommé. C"est-à-dire l"instant oùerg(T) =0. La commande (un angle) notéecest une fonction continue du temps telle que c: [0;+1[![;][=2;=2] t7!c(t): On noteFc(t)la trajectoire de la fusée étant donnée une commandec. F c: [0;T]!R3 t7!Fc(t) Mathématiquement cela revient à résoudre le problème suivant inf c2C0([0;+1[;[;])erg(0);sous la conditionFc(T)2GTO:Ludovic GoudenègeProjet ENSTA Ariane 5ENSTA

Modélisation du problème

Modélisation du problème

L"espace des fonctions continues étant de dimension infinie, et les équations complètement non-linéaires, on est face à un problème insoluble analytiquement. On va donc simplifier le problème pour le ramener à un problème en très grande dimension mais accessible par résolution numérique. De fait c"est la commandecqui doit être simplifiée, mais heureusement c"est notre facteur de contrôle. On peut tout à fait décider de n"autoriser que des commandes aux caractéristiques préalablement spécifiées, et donc se donner un espace de commande de la dimension qu"on souhaite.

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Modélisation du problème

Modélisation du problème

On noteC=C0([0;+1[;[;])etCNun sous-espace deCde dimension

N. Il est clair que

infc2Cerg(0)infc2CNe(0); toujours sous la conditionFc(T)2GTOpourc2 CouCN. On va donc chercher à prendreNsuffisamment grand pour que les infimum soient assez proches. C"est un équilibre à trouver entre résolution possible du problème

en temps raisonnable, et le coûterg(0)obtenu pour le lancement.Ludovic GoudenègeProjet ENSTA Ariane 5ENSTA

Modélisation du problème

Trajectoires admissibles

Toutefois il est numériquement très compliqué de résoudre ce problème de contrôle. La difficulté mathématique est cachée dans la CONTRAINTE F c(T)2GTO; car la trajectoire doit rejoindre "exactement" l"orbite GTO à l"instantT. En réalité, il reste toujours un peu de carburant, ne serait-ce que pour parer à certains imprévus en cours de vol, et on accepte des erreurs de positionnement sur l"orbite GTO. On va donc se fixer un certain coût en carburant, et chercher s"il existe une commande qui permet de rejoindre approximativement l"orbite GTO. Afin de discriminer les trajectoires (et donc les commandes) admissibles, on introduit une mesure de qualité de la trajectoire obtenue.

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Modélisation du problème

Exemple de résultats

On trace une trajectoire obtenue sur ordinateur. La fusée ne libère pas exactement les satellites sur l"orbite GTO. Il nous faut essayer d"optimiser la commande pour trouver une meilleure trajectoire.-1 -0.5 0 0.5 1 x 10 7 -5 0 5 10 x 10 6

Trajectoire de la fusee

Terre Orbite GTOLudovic GoudenègeProjet ENSTA Ariane 5ENSTA

Modélisation du problème

Trajectoires admissibles

Lorsque la fusée a épuisé tout son carburant, les satellites sont libérés au pointFc(T). Soumis à la force gravitationnelle, ils suivent alors une trajectoire elliptique caractérisée par un demi-grand-axea(Fc(T))et une ellipticitée(Fc(T)). Les paramètres optimaux sont notésaGTOeteGTO, et la mesure de qualité de la commandecest alors calculée par

Q:CN![0;+1[

c7!(a(Fc(T))aGTO)2a

2GTO+(e(Fc(T))eGTO)2e

2GTO:

Le problème est maintenant le suivant

inf c2CNQ(c): On doit donc résoudre un problème d"optimisation SANS contrainte.

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Dynamique du vol

Équations de la dynamique du vol

Variables d"état

r: position (dimension 2 pour une trajectoire plane) v: vitesse (même dimension que r) m: masse (lanceur + carburant + satellites)

Dynamique du vol

(Eq)8 :_r=v _v= (W+T)=m _m=d

W: poids,T: poussée,d: débit de

carburant.

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Dynamique du vol

Séquence du vol

Un vol est donc constitué de 3 phases. Un vol avec les boosters et le premier étage en fonctionnement. Une deuxième phase avec seulement le premier étage. Et une troisième phase avec l"étage 2, jusqu"à la libération.

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Dynamique du vol

Paramètres du lanceur

Pour une trajectoire plane le poidsWet la pousséeP, ce sont des vecteurs deR2définis par :

W=mkrk32

rx r y ;P=g0d ispcos(c) sin(c) oùest le paramètre gravitationnel standard (398 600km3:s2),g0 l"accélération de la pesanteur au sol (9:81m:s2) etispest l"impulsion spécifique du moteur (en secondes).

On donne les paramètres suivants :Masse Poids ergolsispDébitdActivationBoosters75t500t300s4t=sPhase 1

Étage 115t150t500s0:3t=sPhase 1 & 2

Étage 25t15t500s0:015t=sPhase 3Ludovic GoudenègeProjet ENSTA Ariane 5ENSTA

Dynamique du vol

Structure du lanceur

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Calcul numérique des trajectoires

Calcul de la trajectoire : Schéma d"Euler

Étant donnée une commande de guidagec, on cherche à résoudre l"équation (Eq) de la dynamique du vol. Or il existe des méthodes numériques pour résoudre n"importe quelle équation différentielle de degré

1. Il faut donc en premier lieu se ramener à une équation différentielle de

degré 1 sous la forme : (r;v;m)solution de(Eq)()_z(t) =f(t;z(t)); z(t0) =z0: oùfest une fonction à déterminer etz0est la donnée initiale z

0= (rx(0);ry(0);vx(0);vy(0);m(0)).

Pour résoudre cette équation, on applique un schéma d"Euler.

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Calcul numérique des trajectoires

Calcul de la trajectoire : Schéma d"Euler

N: nombre de pas de discrétisation en temps. C"est la dimension de notre espaceCN. h=tnalt0N : taille du pas de discrétisation en temps.

Zest un tableau de tailleN+1.

Initialisation :t=t0etZ[0] =z0

Pourj=1:::N

Z[j] =Z[j1] +hf(t;Z[j1])

t=t+h Fin

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Calcul numérique des trajectoires

Conditions initiale et finales

Conditions initiales : Pas de tir de Kourou.

La trajectoire est supposée plane, on choisit les axes de telle sorte que r(t0) =RTerre 0 ;v(t0) =0

2RTerre=TTerre

Conditions finales : orbite GTO

a

GTO=24535135m;eGTO=0:7185206032

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