[PDF] Chapitre 3 Méthode du simplexe





Previous PDF Next PDF



Chapitre 3 Méthode du simplexe

Dans ce cas la solution sera optimale car les coefficients (pour x1 à x4) de la dernière ligne sont tous négatifs ou nuls. On ne peut améliorer la solution en 



LES ÉTAPES DE LALGORITHME DU SIMPLEXE

Contraintes de type () : Pour chaque contrainte de ce type on retranche une variable d'excédent



1. Méthode du simplexe et son analyse

Cette solution est la seule pour le système précédent lorsque y = u = 0 puisque la matrice des coefficients des variables x p et h est non singulière. • Par 



Le simplexe pour les nuls

12 déc. 2005 Le simplexe pour les nuls ... 2 Algorithme du simplexe ... déterminer pour chaque ligne Lj de la matrice A la valeur vj = ?LjUi.





Méthode du simplexe

De cette façon on est sûr que w restera nul. Lorsque le problème est dégénéré



Chapitre 3 Méthode du simplexe : un aperçu par lexemple

tous négatifs ou nuls on déduit que la solution réalisable voyons une deuxi`eme méthode pour l'aborder et qui consiste `a placer les calculs en tableau.



Introduction au Compressed sensing. Méthode du simplexe

l'algorithme du simplexe qui est un algorithme itératif de marche sur les sommets tableau n'ayant que des coefficients négatifs ou nuls (sauf pour b0).



Méthode du simplexe pour les problèmes de première espèce 1

Dans le TP précédent il n'était pas encore question de la méthode du simplexe. On appliquait la transformation de G -J à une matrice intégrant uniquement 



Optimisation linéaire Algorithme du simplexe

Si x est une solution de base admissible non dégénérée la jième direction de base en x est admissible



Chapitre 3 Méthode du simplexe - Université Laval

Méthode du simplexe CommetoujoursonsupposequeA unematricedeformatm n etb 2Rm Onnoterales colonnesdeA par[a 1;a 2;:::;a n] Aussionferal’hypothèsequelerangdelamatriceA est égalàm Selonlechapitreprécédentnoussavonsquelasolutionoptimaleduproblèmed’optimisation linéaire max z = ctx; Ax = b; x 0: (3 1)



Programmation linéaire - Méthodes et applications

Avant que l’algorithme du simplexe puisse être utilisé pour résoudre un programme linéaire ce programme linéaire doit être converti en un programme équivalent où toutes les contraintes technologiques sont des équations et toutes les variables sont non négatives a Contraintes de type



1 Méthode du simplexe et son analyse - Université de Montréal

Méthode du simplexe – forme algébrique • Les contraintes constituent un système de 3 équations comportant 5 variables Exprimons 3 des variables en fonction des 2 autres: u = 30 – 5x – 3y p = 24 – 2x – 3y h = 18 – 1x – 3y z = 0 – 8x – 6y • En fixant x et y nous retrouvons les valeurs des autres variables



2 Méthode du simplexe et son analyse

Méthode du simplexe – forme algébrique • Les contraintes constituent un système de 3 équations comportant 5 variables Exprimons 3 des variables en fonction des 2 autres: u = 30 – 5x – 3y p = 24 – 2x – 3y h = 18 – 1x – 3y z = 0 – 8x – 6y • En fixant x et y nous retrouvons les valeurs des autres variables



Searches related to méthode du simplexe pour les nuls PDF

CHAPITRE 1 L’ALGORITHME DU SIMPLEXE On appellera forme simpliciale une expression des contraintes égalités sous la forme [1 H] xB xH = b avec b? 0 (1 4) On a alors une solution directe: ˆ xB = b xH = 0 1 4 2 Cas où la forme simpliciale n’est pas évidente Lorsqu’il n’existe pas de forme simpliciale de départ évidente pour le

Comment fonctionne l’algorithme du simplexe ?

L’algorithme du simplexe est mis en œuvre selon deux méthodes, la méthode des dictionnaires et la méthode des tableaux. La première méthode permet de bien comprendre le déroulement du simplexe alors que la méthode des tableaux est plus algébrique et elle conduit à la mise en œuvre effective de l’algorithme du simplexe.

Qu'est-ce que la méthode du simplexe?

1 - Principe Lorsque nous sommes en présence de plus de deux produits, la méthode du simplexe est la seule méthode permettant de trouver la combinaison de produits qui rend optimal la fonction économique.

Comment résoudre un problème de minimisation en utilisant la méthode de simplexe ?

Il y a deux manières de résoudre un problème de minimisation en utilisant la méthode de simplexe. La première méthode nécessite le changement de la règle de choix de la variable entrante. Dans un problème de maximisation la règle est de choisir comme variable entrante celle qui a le plus grand effet net positif non nul.

Qui a inventé le simplexe ?

Ce terme a été introduit pendant la Seconde Guerre mondiale et systématiquement utilisé à partir de 1947 lorsque G. Dantzig inventa la méthode du simplexe pour résoudre les problèmes de programmation linéaire.

Chapitre 3

Méthode du simplexe

Comme toujours, on suppose queAune matrice de formatmnetb2Rm. On notera les colonnes deApar[a1;a2;:::;an]. Aussi, on fera l"hypothèse que le rang de la matriceAest

égal à m.

Selon le chapitre précédent, nous savons que la solution optimale du problème d"optimisation

linéairemaxz=ctx; Ax=b; x0:(3.1) se trouve en un sommet de l"ensemble convexe des solutions admissiblesK=fx0jAx= bg. De plus, nous savons que les sommets sont étroitement reliés aux solutions de base admis- sibles. Concrètement, cela signifie que si on choisit une liste de m variables dites de base B=fxj1;xj2;:::;xjmgassociées à des colonnesfaj1;aj2;:::;ajmgqui forment une base de l"espace-colonne, on peut calculer l"unique solution de bases du système Ax B=b en imposant que les variables hors-basexi= 0pour tous lesi6=j1;j2;:::;jm. SixB0, la

solution est admissible et sera appellée solution de base admissible ou réalisable. D"après le

chapitre précédent, la solution de basexBcorrespond à un sommet deK. Par conséquent, il suffit de calculer tous les sommets deKpour trouver la solution optimale.

Mais le nombre de sommets est de l"ordre

n!m!(nm)!ce qui est beaucoup trop pour desnetm relativement grands. Le principe de la méthode du simplexe est d"éviter de calculer tous les sommets. A partir d"un sommet donné, la méthode calculera une suite de sommets adjacents l"un par rapport au précédent et qui améliore la fonction objective.

3.1 Solutions de base adjacentes

Définition

3.1.1 Deux sommetsxetysont dits adjacents si les variables de base ne

diffèrent que d"un seul élément. 1

2CHAPITRE 3. MÉTHODE DU SIMPLEXE

Reprenons le problème modèle du premier chapitre écrit sous la forme canonique maxz= 5x1+ 4x2 x

1+x3= 6

x

1=4 +x2+x4= 6

3x1+ 2x2+x5= 22

x

1;x2;x3;x4;x50

Le sommetx= (4;5;2;0;0)correspond aux variables de basefx1;x2;x3g. De même, le sommety= (6;2;0;2:5;0)est associé aux variables de basefx1;x2;x4g. Les deux sommets sont adjacents ce qui est conforme au graphique de l"ensembleKprojeté dansR2.

Le système s"écrit

2 6

641 0 1 0 0

1=4 1 0 1 0

3 2 0 0 13

7 752
6 6664x
1 x 2 x 3 x 4 x 53
7

7775=2

6 646
6 223
7 75
Pour calculer la solution de base(4;5;2;0;0), il suffit d"extraire les 3 colonnes de la matriceA

et de résoudre le système carré par la méthode d"élimination de Gauss. Toutefois, lorsque que

l"on voudra calculer la nouvelle solution de base(6;2;0;2:5;0), il faudra recommencer l"éli- mination de Gauss avec les nouvelles colonnes de base. Il est plus avantageux de poursuivre élimination de Gauss à partir du premier calcul.

Voici un exemple de calcul.

a)

En premier, on forme la matrice augmen tée

2 6

641 0 1 0 0 6

1=4 1 0 1 0 6

3 2 0 0 1 223

7 75
b) On applique l"élimination de Gauss-Jordan p ourles v ariablesde base fx1;x2;x3g. 2 6

641 0 04=5 2=5 4

0 1 0 6=51=10 5

0 0 1 4=52=5 23

7 75
Donc x

1= 4 + 4=5x42=5x5

x

2= 56=5x4+ 1=10x5

x

3= 24=5x4+ 2=5x5

En posant les variables hors-basesx4=x5= 0, on obtient bien la solution de base x= (4;5;2;0;0).

3.2. MÉTHODE DU SIMPLEXE : PHASE II3

c) Main tenant,on désire calculer la solution de base adjacen tel iéesaux v ariablesd ebase fx1;x2;x4g. Pour cela, on poursuit l"élimination de Gauss-Jordan à partir du pivot a 3;42 6

641 0 1 0 0 6

0 13=2 0 1=2 2

0 0 5=4 11=2 5=23

7 75:
Donc x

1= 6x3

x

2= 2 + 3=2x31=2x5

x

4= 5=25=4x3+ 1=2x5

En posant les variables hors-basesx3=x5= 0, on obtient bien la solution de base y= (6;2;0;2:5;0). d) P oursuivonsà u nautre sommet adjacen tz= (6;0;0;4:5;4)dont les variables de base sontfx1;x4;x5g. Ce sommet est adjacent àymais pas àx. Poursuivons l"élimination de Gauss-Jordan à partir du pivota2;5 2 6

641 0 1 0 0 6

0 23 0 1 4

0 11=4 1 0 9=23

7 75:

On obtient les relations

x

1= 6x3

x

5= 42x2+ 3x3

x

4= 9=2x2+ 1=4x3

En posant les variables hors-basesx2=x3= 0, on obtient bien la solution de base z= (6;0;0;4:5;4). L"opération décrite ci-dessus est aussi connue sous le nom de pivotement. Cette stratégie sera à la base de la méthode du simplexe.

3.2 Méthode du simplexe : Phase II

Dans cette section, nous allons présenter la Phase II de la méthode du simplexe. La Phase

I qui sert plus à initialiser la Phase II, sera aborder plus tard. Cette phase s"applique à des

problèmes du type maxz=ptx; Cxb; x0:ouminz=ptx; Cxb; x0:(3.2)

4CHAPITRE 3. MÉTHODE DU SIMPLEXE

oùCest une matrice de formatmn. On fera l"hypothèse queb0. Cette supposition est cruciale pour la Phase II. Ceci garantie que02K=fx0jCxbg. De plus, nous savons que le point0est un sommet. Ce point servira de point de départ de l"algorithme du simplexe. En gros, l"algorithme va pivoter autour de ce point pour trouver un meilleur sommet. On poursuit l"algorithme jusqu"à l"obtention de la solution optimale.

La méthode débute avec la forme canonique du problème (3.2) que l"on écrira sous la forme

maxz=ctx; Ax=b; x0:(3.3) Attention, nous avons inclus les variables d"écart dans la liste des variables, i.e.x2Rm+n.

La matriceAetcsont données par

A= [C I]c=p

0

L"idée de base de la méthode du simplexe consiste à appliquer l"élimination de Gauss-Jordan

à partir du système augmenté obtenu en ajoutant au systèmeAx=bla relation linéaire z=ctxAx=b; c txz= 0 Ce système peut s"écrire sous la forme matricielle A0 c t1 x z =b 0

Nous allons illustrer la méthode sur l"exemple

maxz=x1+ 2x2 sous les contraintes 8< :2x1+x22; x

1+ 3x23;

x

1;x20:

Au préalable, on écrit le problème sous la forme canonique maxz=x1+ 2x2 sous les contraintes 8< :2x1+x2+x3= 2; x

1+ 3x2+x4= 3;

quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33
[PDF] methode simplexe exemple

[PDF] exercices corrigés de recherche opérationnelle méthode du simplexe

[PDF] minimiser simplexe exemple

[PDF] commencer la numérotation ? la page 3 word

[PDF] supprimer numéro de page word

[PDF] word commencer pagination page 3

[PDF] méthode singapour ce1 pdf

[PDF] commencer la numérotation des pages plus loin dans votre document

[PDF] comment numéroter les pages sur word 2007 ? partir dune page

[PDF] commencer numérotation page 3 word 2007

[PDF] numérotation pages mac

[PDF] equation 2 inconnues exercices substitution

[PDF] résolution numérique équation différentielle second ordre

[PDF] résolution numérique équation différentielle non linéaire

[PDF] test de psychologie pdf