SOLUTIONNAIRE : DUAL EXERCICES 1 Formulation du dual PDF

Chapitre 3 Méthode du simplexe

Dans l'exemple ci-dessus il s'agit d'introduire une variable artificielle x0 et de considérer le problème de minimisation min z = x0

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10 avr. 1983 L'exemple de minimisation le plus courant pour des physiciens est ... on continue avec ce nouveau simplexe. Si f(P*)<f(PL) on prend un pas plus ...

LES ÉTAPES DE LALGORITHME DU SIMPLEXE

Contraintes de type () : Pour chaque contrainte de ce type on retranche une variable d'excédent

Cours 7 Algorithme du simplexe Méthode des deux phases

Elles doivent être réduites à zéro pour espérer obtenir une solution de base réalisable au modèle de programmation linéaire. Phase II minimiser Z = 3x1 + 4x2.

MOD 4.4: Recherche opérationnelle

Algorithme du Simplexe. Cours 2: Dualité et Analyse de sensitivité Exemple: • V = {1...

Dualité en Programmation Linéaire Algorithmes primal et dual du

Confirmer votre réponse en résolvant (P) par l'algorithme du simplexe. Que Exemple : si le pharmacien fait varier ses demandes en vitamines A B

Chapitre 4 Dualité

Par exemple il faudra 3 heures de travail par hectare pour ensemencer avec Il s'agit de minimiser le prix à payer : minz = bty. Pour cela

Chapitre 6 Problèmes de transport

Il s'agit de minimiser le coût de transport. La fonction objective s'écrit : z = ∑ ij Reprenons notre exemple du début. Pour chaque case

Chapitre 6 : Programmation linéaire Algorithme du simplexe

Forme standard d'un programme linéaire : Exemple. Maximiser y. s.c.. 20x − 50y Algorithme du simplexe (Version minimisation). Entrées: Un programme linéaire ...

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Dans l'exemple ci-dessus il s'agit d'introduire une variable artificielle x0 et de considérer le problème de minimisation min z = x0 x1 + x2 ? x0 ? 10 ?

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Exemple : Un problème comportant 10 équations et 20 inconnues le calcul de toutes les solutions de base pourrait ainsi exiger la résolution d'env

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Contraintes de type () : Pour chaque contrainte de ce type on retranche une variable d'excédent tel que est une variable positive ou nulle Exemple : 3 2 2

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3 2 1 L'algorithme du simplexe dans le cas non-linéaire Notre modèle mathématique consiste à minimiser cette fonction dite fonction objectif par

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Puisque nous cherchons à minimiser z il est avantageux d'augmenter la On peut démontrer que la méthode du simplexe circule autour du

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Il y a deux contraintes dans le modèle dual (nombre de variables dans le PPL) DUAL : Minimiser w = 8y1 ? 6y2 + 2y3 sujet aux contraintes y1 + 2y2 + y3

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Forme standard d'un programme linéaire : Exemple Maximiser Algorithme du simplexe (Version minimisation) Entrées: Un programme linéaire (P) sous forme

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Développer un nouveau tableau III – Méthode du simplexe « MINIMISATION » On procédera à l'illustration de la méthode sur l'exemple suivant : = 24 + 20

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Minimisation/ maximisation d'une fonction linéaire sous des con- Principe de l'algorithme du simplexe: Se promener de points extrêmes

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18 mar 2008 · Il a la forme suivante : maximiser (ou minimiser) z avec Alg `ebre lin éaire Algorithme du simplexe R ésum é Exemple

An example of the dual simplex method

An example of the dual simplex method Suppose we are given the problem Minimize z = 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 + 5x 4 subject to 8 x 1 x 2 +x 3 x 4 10; x 1 2x 2 +3x 3 4x 4 6; 3 x 1 4 2 +5 3 6 4 15 x 1; x 2; x 3; x 4 0:

94 THE SIMPLEX METHOD: MINIMIZATION - Afe Babalola University

Basic y1 y2 y3 s1 s2 b Variables 60 12 10 1 0 0 12 s1 ? Departing 60 6 30 0 1 0 15 s2 00 0 ? Entering Basic y1 y2 y3 s1 s2 b Variables 10y1 0 –6 20 –11 s 2 ? Departing 024–40 5 0 ?

SOLUTIONNAIRE : DUAL

EXERCICES

1 Formulation du dual

(1) PROBLÈME-PPL : Maximiserz=x1+ 7x2sujet aux contraintes x -2x x oùx

1≥0etx2≥0.

DUAL : Le nombre de variables est déterminé par le nombre de contrainte du primal : il y a donc 3 variables dans le modèledual.Le nombre de contraintes dans le dual est égal au nombre de variables dans le primal : il y a deux contraintes. DUAL : Minimiser w= 8y

1+ 6y2+ 2y3

sujet aux contraintes y

1-2y2+y3≥1

1+ 3y2-y3≥7

avecy i≥0pouri= 1,2,3. -La premième contrainte est déterminée par les coefficient de la première variable (x

1) dans

chacune des contraintes du primal (du PPL original) sous forme standard.x

1a comme

coefficient 1 pour la première contrainte (y

1), -2 pour la deuxième contrainte (y2) et 1 pour

la troisième contrainte (y 3). -La deuxième contrainte est déterminée par les coefficient de la deuxième variable (x 2) dans chacune des contraintes du primal (du PPL original) sous forme standard.x 2a comme coefficient 1 pour la première contrainte (y

1), 3 pour la deuxième contrainte (y2)

et -1 pour la troisième contrainte (y 3). (2) PROBLÈME-PPL : Maximiserx

1-3x2=zsujet aux contraintes

x -2x

1+ 3x2≥6

x oùx

1≥0etx2≥0.

DUAL : Le modèle n'est pas sous forme canonique : il est plus simple de considérer la forme canonique pour construire le dual. FORME CANONIQUE DU PPL : Maximiserx1-3x2=zsujet aux contraintes x 2x x oùx

1≥0etx2≥0.

-Il y a 3 contraintes dans le PPL donc il y a 3 variables dans ledual -Il y a 2 variables de décision dans le PPL donc il y a deux contraintes dans le dual.

DUAL : Minimiser

w= 8y

1-6y2+ 2y3

sujet aux contraintes y

1+ 2y2+y3≥1

1-3y2-y3≥ -3

avecy

1≥0,y2≥0ety3≥0.

-La premième contrainte est déterminée par les coefficient de la première variable (x

1) dans

chacune des contraintes du primal (du PPL original) sous forme standard.x

1a comme

coefficient 1 pour la première contrainte (y

1), 2 pour la deuxième contrainte (y2) et 1 pour

1), -3 pour la deuxième contrainte (y2)

et -1 pour la troisième contrainte (y 3). (3) PROBLÈME-PPL : Maximiserz= 6x

1+ 5x2sujet aux contraintes

x -2x x avecx i≥0 Le problème est déjà sous forme canonique. -Il y a 3 contraintes dans le PPL donc 3 variables dans le modèledual -Il y a deux variables de décision dans le PPL donc deux contraintes dans le dual.

DUAL : Minimiser

w= 8y

1+ 6y2+ 2y3

sujet aux contraintes y

1-2y2+y3≥6

1+ 3y2-y3≥5

avecy

1≥0,y2≥0ety3≥0.

-La premième contrainte est déterminée par les coefficient de la première variable (x

1) dans

chacune des contraintes du primal (du PPL original) sous forme standard.x

1a comme

coefficient 1 pour la première contrainte (y

1), -2 pour la deuxième contrainte (y2) et 1 pour

la troisième contrainte (y 3). -La deuxième contrainte est déterminée par les coefficient de la deuxième variable (x 2) dans chacune des contraintes du primal (du PPL original) sous forme standard.x2a comme coefficient 1 pour la première contrainte (y

1), 3 pour la deuxième contrainte (y2)

et -1 pour la troisième contrainte (y 3). (4) PROBLÈME-PPL : Maximiserz= 5x

1+ 5x2sujet aux contraintes

x -2x

1+ 3x2≥6

x oùx

1≥0etx2≥0.

Le modèleprimalsous sa forme canonique est donné par :

Maximiserz= 5x

1+ 5x2sujet aux contraintes

x 2x x oùx

1≥0etx2≥0.

-Il y a 3 variables dans le modèledual(nombre de contraintes dans le PPL) -Il y a deux contraintes dans le modèle dual (nombre de variables dans le PPL).

DUAL : Minimiser

w= 8y

1-6y2+ 2y3

sujet aux contraintes y

1+ 2y2+y3≥5

1-3y2-y3≥5

avecy

1≥0,y2≥0ety3≥0.

-La premième contrainte est déterminée par les coefficient de la première variable (x

1) dans

chacune des contraintes du primal (du PPL original) sous forme standard.x

1a comme

coefficient 1 pour la première contrainte (y

1), 2 pour la deuxième contrainte (y2) et 1 pour

1), -3 pour la deuxième contrainte (y2)

et -1 pour la troisième contrainte (y 3). (5) PROBLÈME - PPL : Maximiserz= 6x

1+ 5x2sujet aux contraintes

1+x2≥8

-2x

1+ 3x2≥6

1-x2≥2

oùx

1≥0etx2≥0.

DUAL : La forme canonique du modèleprimalest de maximiserz= 6x

1+ 5x2sujet aux

contraintes -x 2x -x oùx1≥0etx2≥0. -Il y a trois variables dans le modèledual -Il y a deux contraintes dans le modèle dual.

DUAL : Minimiser

w=-8y

1-6y2-2y3

sujet aux contraintes -y

1+ 2y2-y3≥6

-y

1-3y2+y3≥5

avecy i≥0, pouri= 1,2,3... -La premième contrainte est déterminée par les coefficient de la première variable (x

1) dans

chacune des contraintes du primal (du PPL original) sous forme standard.x

1a comme

coefficient -1 pour la première contrainte (y

1), 2 pour la deuxième contrainte (y2) et -1

pour la troisième contrainte (y 3). -La deuxième contrainte est déterminée par les coefficient de la deuxième variable (x 2) dans chacune des contraintes du primal (du PPL original) sous forme standard.x 2a comme coefficient -1 pour la première contrainte (y

1), -3 pour la deuxième contrainte (y2)

et 1 pour la troisième contrainte (y 3). (6) PROBLÈME : Une compagnie fabrique deux types d'acier : Acier trempé (T) et l'acier détrempé (D). Le profit pour une tonne d'acier est de 6k$ et 4k$ pour l'acier T et D respectivement. Il faut 2 et 3 tonnes de matières premières pour les aciers T et D respectivement tandis que le temps de production est respectivement de 6 et 4 unités. La compagnie dispose de 120 tonnes de matières premières et de 100 unités de temps. PPL : Le problème de programmation linéaire sous forme canonique est de maximiser z= 6x

1+ 4x2

sujet aux contraintes 2x 6x etx i≥0pouri= 1,2. -Ledualcomprend 2 variables -Le dual comprend 2 contraintes

DUAL : Minimiser

w= 120y

1+ 100y2

sujet aux contraintes 2y

1+ 6y2≥6

1+ 4y2≥4

avecy

1≥0ety2≥0.

(7) PROBLÈME : Un constructeur automobile doit livrer son modèle AA à 4 concessionnaires à partir de trois usines de production. Les disponibilités aux usines sont respectivement de

80, 40 et 100 unités tandis que les démandes des vendeurs sont de 40, 75, 25 et 60 pour les

concessionnaires I, II, III et IV respectivement. Les coûts de livraison des automobiles, en centaine de $, sont donnés par le tableau suivant :

Concessionnaire

I II III IV

14 2 6 4

Usines2

quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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