Chapitre 3 Méthode du simplexe
Dans l'exemple ci-dessus il s'agit d'introduire une variable artificielle x0 et de considérer le problème de minimisation min z = x0
Untitled
10 avr. 1983 L'exemple de minimisation le plus courant pour des physiciens est ... on continue avec ce nouveau simplexe. Si f(P*)<f(PL) on prend un pas plus ...
LES ÉTAPES DE LALGORITHME DU SIMPLEXE
Contraintes de type () : Pour chaque contrainte de ce type on retranche une variable d'excédent
Cours 7 Algorithme du simplexe Méthode des deux phases
Elles doivent être réduites à zéro pour espérer obtenir une solution de base réalisable au modèle de programmation linéaire. Phase II minimiser Z = 3x1 + 4x2.
SOLUTIONNAIRE : DUAL EXERCICES 1 Formulation du dual
−x1 + x2. ≤ −2. Page 4. où x1 ≥ 0 et x2 ≥ 0. – Il y a trois variables dans le modèle dual. – Il y a deux contraintes dans le modèle dual. DUAL : Minimiser.
MOD 4.4: Recherche opérationnelle
Algorithme du Simplexe. Cours 2: Dualité et Analyse de sensitivité Exemple: • V = {1...
Dualité en Programmation Linéaire Algorithmes primal et dual du
Confirmer votre réponse en résolvant (P) par l'algorithme du simplexe. Que Exemple : si le pharmacien fait varier ses demandes en vitamines A B
Chapitre 4 Dualité
Par exemple il faudra 3 heures de travail par hectare pour ensemencer avec Il s'agit de minimiser le prix à payer : minz = bty. Pour cela
Chapitre 6 Problèmes de transport
Il s'agit de minimiser le coût de transport. La fonction objective s'écrit : z = ∑ ij Reprenons notre exemple du début. Pour chaque case
Chapitre 6 : Programmation linéaire Algorithme du simplexe
Forme standard d'un programme linéaire : Exemple. Maximiser y. s.c.. 20x − 50y Algorithme du simplexe (Version minimisation). Entrées: Un programme linéaire ...
[PDF] Chapitre 3 Méthode du simplexe - Cours
Dans l'exemple ci-dessus il s'agit d'introduire une variable artificielle x0 et de considérer le problème de minimisation min z = x0 x1 + x2 ? x0 ? 10 ?
[PDF] Méthode du simplexe
Exemple : Un problème comportant 10 équations et 20 inconnues le calcul de toutes les solutions de base pourrait ainsi exiger la résolution d'env
[PDF] LES ÉTAPES DE LALGORITHME DU SIMPLEXE
Contraintes de type () : Pour chaque contrainte de ce type on retranche une variable d'excédent tel que est une variable positive ou nulle Exemple : 3 2 2
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3 2 1 L'algorithme du simplexe dans le cas non-linéaire Notre modèle mathématique consiste à minimiser cette fonction dite fonction objectif par
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Puisque nous cherchons à minimiser z il est avantageux d'augmenter la On peut démontrer que la méthode du simplexe circule autour du
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Il y a deux contraintes dans le modèle dual (nombre de variables dans le PPL) DUAL : Minimiser w = 8y1 ? 6y2 + 2y3 sujet aux contraintes y1 + 2y2 + y3
[PDF] Chapitre 6 : Programmation linéaire Algorithme du simplexe - ENSIIE
Forme standard d'un programme linéaire : Exemple Maximiser Algorithme du simplexe (Version minimisation) Entrées: Un programme linéaire (P) sous forme
[PDF] FSJES-AC RECHERCHE OPERATIONNELLE Semestre 6 Filière
Développer un nouveau tableau III – Méthode du simplexe « MINIMISATION » On procédera à l'illustration de la méthode sur l'exemple suivant : = 24 + 20
[PDF] MOD 44: Recherche opérationnelle - CNRS
Minimisation/ maximisation d'une fonction linéaire sous des con- Principe de l'algorithme du simplexe: Se promener de points extrêmes
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18 mar 2008 · Il a la forme suivante : maximiser (ou minimiser) z avec Alg `ebre lin éaire Algorithme du simplexe R ésum é Exemple
An example of the dual simplex method
An example of the dual simplex method Suppose we are given the problem Minimize z = 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 + 5x 4 subject to 8 x 1 x 2 +x 3 x 4 10; x 1 2x 2 +3x 3 4x 4 6; 3 x 1 4 2 +5 3 6 4 15 x 1; x 2; x 3; x 4 0:
94 THE SIMPLEX METHOD: MINIMIZATION - Afe Babalola University
Basic y1 y2 y3 s1 s2 b Variables 60 12 10 1 0 0 12 s1 ? Departing 60 6 30 0 1 0 15 s2 00 0 ? Entering Basic y1 y2 y3 s1 s2 b Variables 10y1 0 –6 20 –11 s 2 ? Departing 024–40 5 0 ?
ENSIIE - Module de Recherche Opérationnelle
Dimitri Watel (dimitri.watel@ensiie.fr)
20181
Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex
Objectif
Résoudre un programme linéaire quelconque de la formeMinimisercx
s.c.Ax=b x2(R+)n 2Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex
Forme standard d"un programme linéaire
Théorème
Tout programme linéaire à variables continues peut être réécrit sous laforme standardsuivante :Minimisercx s.c.Ax=b x2(R+)nPreuve au tableau 3Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex
Forme standard d"un programme linéaire : ExempleMaximisery
s.c.20x50y 150 (1)2x+3y18 (2)
2x8 (3)
y5 (4) x;y2R 4Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex
Variables d"écart
Toute inéquation
Xa ijxibj peut être transformée en une égalité en rajoutant unevariable d"écarts0 :X(aijxi) +s=bj (Explication graphique au tableau) 5Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex
Notations
Minimiserctx
s.c.Atx=tb x2(R+)n n: nombre de variables.n=jxj=jcj=nb colonnes deA m: nombre de contraintes.m=jbj=nb lignes deA L i: ligneideA C j: colonnejdeA On supposemEnsemble des solutions réalisables
Définition
Une solution est diteréalisablesi elle satisfait toutes les contraintesd"égalité et que toutes les variables sont positives.Unesolution optimaleest une solution réalisable minimisant
l"objectif. SoitSl"ensemble des solutions réalisables.ThéorèmeSest convexe.(Preuve au tableau)
7Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex
Solution de base
Définition
Unesolution de baseest un pointxde(R)nsatisfaisantAx=bnmcoordonnées dexsont nullessoitB= (i1;i2;:::;im)les indices des autres coordonnées,
alors les colonnes(Ci1;Ci2;:::;Cim)sont linéairement indépendantes.Best la base associée àx. 8Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex
Solution de base : exemple
Minimiserx
s.c.x+y+s=1 (1) x;y;s2R+ (Explication graphique au tableau) 9Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex
Solution de base : notations
Soitxune solution de base oùB=fi1;i2;:::;imget, pour tout j62B,xj=0.B=fi1;i2;:::;imgN=J1;nKnB
AB= (Ci)i2BAN= (Ci)i2N
xB= (xi)i2BxN= (xi)i2N=0
Ax=ABxB+ANxN=ABxB=b
ABest carrée et inversible :xB= (AB)1b.
Remarque : siyn"est pas une solution de base associée àB, alors yN6=0 etyB= (AB)1b(AB)1(AN)yN.
10Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex
Solution de base réalisable
Définition
Une solution de base est diteréalisablessi toutes ses composantes sont positives.Autrement dit une solution de base réalisable est une solution de base qui est réalisable. (Explication graphique au tableau) 11Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex
Point extrême
Définition
Unpoint extrêmedeSest un point qui ne peut s"exprimer comme combinaison linéaire convexe d"autres points deSCombinaison linéaire convexe :x=pP i=1 iyi,Pi=1,0i1.Théorème
L"ensemble des solutions de bases réalisables et des points extrêmes deSsont identiques.(Preuve au tableau) 12Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex
Solution de base optimale
Théorème
SiSest borné, tout point deSpeut s"exprimer comme combinaison linéaire convexe de points extrêmes.Théorème SiSest borné, il existe toujours une solution optimale qui est solution de base réalisable.(Explication graphique et preuve au tableau) 13Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex
Solution de base dégénérée
Définition
Une solution de base(xB;xN)est ditedégénéréesi une des composantes dexB=0.On dit que le programme est dégénéré si certaines de ses solutions de base réalisables sont dégénérées. (Explication graphique au tableau) 14Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex
Coût réduit
Définition
Soitx= (xB;xN)une solution de base réalisable associée àB.Pour toutj2N, lecoût réduitjdexest :
j=cjX i2Bc iaij oùaijest la composante(i;j)de la matrice(AB)1AN.(Intuition graphique au tableau) 15Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex
Coût réduit et Kuhn Tucker (Version minimisation)Théorème
Si le programme est non dégénéré, une solution de base réalisable (xB;xN)vérifiant j0 pour toutj2Nest optimale.(Démonstration à l"aide des conditions de Kuhn-Tucker au tableau.) 16Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex
Algorithme du simplexe (Version minimisation)
Entrées:Un programme linéaire(P)sous forme standardSorties:Une solution optimale de(P)
1:Trouver une solution de base réalisablex= (xB;xN)de(P)
2:Boucle
3:A ((AB)1AN)
4:b ((AB)1b)
5:j Coûts réduits dex
6:Si8j;j0Alors
7:Renvoyerx
8:e= argmin(eje2N)
9:s= argminnbiaieji2B;aie>0o
10:Dans la baseB, remplacerspare
11:x La solution de base (réalisable) associée àBFonctionne si le programme est non dégénéré et siSest borné.
17Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex
Comment trouver une solution de départ?
Pour l"instant,
au hasard on vous l"a donnée vous avez déjà lu la fin du cours 18Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex
Méthode des tableaux
Idée : présenter les calculs différemment afin de les simplifier.Au programme, vu en TD...
19Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex
Méthode des 2 phases
Méthode des 2 phases
La méthode des 2 phases permet detrouver une solution debase réalisabled"un programme linéaire(P)quelconque.Idée : transformer le programme linéaire(P)en un autre(Q)tel
que(Q)a une solution de base réalisable triviale(P)a une solution réalisable ssi les solutions optimales de(Q)
ont pour fonction objective 0dans ce cas, on peut trouver une solution de base réalisable de (P)à partir d"une solution optimale de(Q) 20Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex
Méthode des 2 phases : transformer le programme linéaireOn veut résoudre ce programme :
Minimiserctx
s.c.Atx=tb(P) x2(R+)nHypothèse :
tb0. (Si ce n"est pas le cas, il suffit de multiplier toutes les contraintes oùbi<0 par1) 21Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex
Méthode des 2 phases : transformer le programme linéaireMinimiserctx
s.c.Atx=tb(P) x2(R+)nMinimiser
P'i s.c.Atx+t'=tb(Q) x;'2(R+)n (Preuve que(Q)vérifie bien les 3 propriétés énoncées 2 slides plus tôt au tableau) 22Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex
Méthode des 2 phases : algorithme
Entrées:Un programme linéaire sous forme standard(P)oùb0Sorties:Une solution optimale de(P)
1:Transformer(P)en un programme linéaire(Q)comme expliqué
précédemment.2:Résoudre(Q)avec l"algorithme du simplexe ((Q)a une solution
de base réalisable triviale à partir de laquelle on peut démarrer)3:xQ;'Q une solution optimale de(Q)
4:Si'Q6=0Alors
5:(P)n"a pas de solution réalisable, on s"arrête.
6:Sinon
7:xQest une solution de base réalisable de(P)
8:Résoudre(P)avec l"algorithme du simplexe.Phase 1 : lignes 1 à 3
Phase 2 : lignes 4 à 8
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