Chapitre 6 : Programmation linéaire Algorithme du simplexe PDF

Chapitre 3 Méthode du simplexe

Dans l'exemple ci-dessus il s'agit d'introduire une variable artificielle x0 et de considérer le problème de minimisation min z = x0

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10 avr. 1983 L'exemple de minimisation le plus courant pour des physiciens est ... on continue avec ce nouveau simplexe. Si f(P*)<f(PL) on prend un pas plus ...

LES ÉTAPES DE LALGORITHME DU SIMPLEXE

Contraintes de type () : Pour chaque contrainte de ce type on retranche une variable d'excédent

Cours 7 Algorithme du simplexe Méthode des deux phases

Elles doivent être réduites à zéro pour espérer obtenir une solution de base réalisable au modèle de programmation linéaire. Phase II minimiser Z = 3x1 + 4x2.

SOLUTIONNAIRE : DUAL EXERCICES 1 Formulation du dual

−x1 + x2. ≤ −2. Page 4. où x1 ≥ 0 et x2 ≥ 0. – Il y a trois variables dans le modèle dual. – Il y a deux contraintes dans le modèle dual. DUAL : Minimiser.

MOD 4.4: Recherche opérationnelle

Algorithme du Simplexe. Cours 2: Dualité et Analyse de sensitivité Exemple: • V = {1...

Dualité en Programmation Linéaire Algorithmes primal et dual du

Confirmer votre réponse en résolvant (P) par l'algorithme du simplexe. Que Exemple : si le pharmacien fait varier ses demandes en vitamines A B

Chapitre 4 Dualité

Par exemple il faudra 3 heures de travail par hectare pour ensemencer avec Il s'agit de minimiser le prix à payer : minz = bty. Pour cela

Chapitre 6 Problèmes de transport

Il s'agit de minimiser le coût de transport. La fonction objective s'écrit : z = ∑ ij Reprenons notre exemple du début. Pour chaque case

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Dans l'exemple ci-dessus il s'agit d'introduire une variable artificielle x0 et de considérer le problème de minimisation min z = x0 x1 + x2 ? x0 ? 10 ?

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Exemple : Un problème comportant 10 équations et 20 inconnues le calcul de toutes les solutions de base pourrait ainsi exiger la résolution d'env

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Contraintes de type () : Pour chaque contrainte de ce type on retranche une variable d'excédent tel que est une variable positive ou nulle Exemple : 3 2 2

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3 2 1 L'algorithme du simplexe dans le cas non-linéaire Notre modèle mathématique consiste à minimiser cette fonction dite fonction objectif par

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Puisque nous cherchons à minimiser z il est avantageux d'augmenter la On peut démontrer que la méthode du simplexe circule autour du

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Il y a deux contraintes dans le modèle dual (nombre de variables dans le PPL) DUAL : Minimiser w = 8y1 ? 6y2 + 2y3 sujet aux contraintes y1 + 2y2 + y3

[PDF] Chapitre 6 : Programmation linéaire Algorithme du simplexe - ENSIIE

Forme standard d'un programme linéaire : Exemple Maximiser Algorithme du simplexe (Version minimisation) Entrées: Un programme linéaire (P) sous forme

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Développer un nouveau tableau III – Méthode du simplexe « MINIMISATION » On procédera à l'illustration de la méthode sur l'exemple suivant : = 24 + 20

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Minimisation/ maximisation d'une fonction linéaire sous des con- Principe de l'algorithme du simplexe: Se promener de points extrêmes

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18 mar 2008 · Il a la forme suivante : maximiser (ou minimiser) z avec Alg `ebre lin éaire Algorithme du simplexe R ésum é Exemple

An example of the dual simplex method

An example of the dual simplex method Suppose we are given the problem Minimize z = 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 + 5x 4 subject to 8 x 1 x 2 +x 3 x 4 10; x 1 2x 2 +3x 3 4x 4 6; 3 x 1 4 2 +5 3 6 4 15 x 1; x 2; x 3; x 4 0:

94 THE SIMPLEX METHOD: MINIMIZATION - Afe Babalola University

Basic y1 y2 y3 s1 s2 b Variables 60 12 10 1 0 0 12 s1 ? Departing 60 6 30 0 1 0 15 s2 00 0 ? Entering Basic y1 y2 y3 s1 s2 b Variables 10y1 0 –6 20 –11 s 2 ? Departing 024–40 5 0 ?

Chapitre 6 : Programmation linéaire, Algorithme du simplexe

ENSIIE - Module de Recherche Opérationnelle

Dimitri Watel (dimitri.watel@ensiie.fr)

2018
1

Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex

Objectif

Résoudre un programme linéaire quelconque de la forme

Minimisercx

s.c.Ax=b x2(R+)n 2

Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex

Forme standard d"un programme linéaire

Théorème

Tout programme linéaire à variables continues peut être réécrit sous laforme standardsuivante :Minimisercx s.c.Ax=b x2(R+)nPreuve au tableau 3

Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex

Forme standard d"un programme linéaire : Exemple

Maximisery

s.c.20x50y 150 (1)

2x+3y18 (2)

2x8 (3)

y5 (4) x;y2R 4

Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex

Variables d"écart

Toute inéquation

Xa ijxibj peut être transformée en une égalité en rajoutant unevariable d"écarts0 :X(aijxi) +s=bj (Explication graphique au tableau) 5

Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex

Notations

Minimiserctx

s.c.Atx=tb x2(R+)n n: nombre de variables.n=jxj=jcj=nb colonnes deA m: nombre de contraintes.m=jbj=nb lignes deA L i: ligneideA C j: colonnejdeA On supposemDimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex

Ensemble des solutions réalisables

Définition

Une solution est diteréalisablesi elle satisfait toutes les contraintes

d"égalité et que toutes les variables sont positives.Unesolution optimaleest une solution réalisable minimisant

l"objectif. SoitSl"ensemble des solutions réalisables.Théorème

Sest convexe.(Preuve au tableau)

Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex

Solution de base

Définition

Unesolution de baseest un pointxde(R)nsatisfaisantAx=bnmcoordonnées dexsont nullessoitB= (i1;i2;:::;im)les indices des autres coordonnées,

alors les colonnes(Ci1;Ci2;:::;Cim)sont linéairement indépendantes.Best la base associée àx. 8

Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex

Solution de base : exemple

Minimiserx

s.c.x+y+s=1 (1) x;y;s2R+ (Explication graphique au tableau) 9

Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex

Solution de base : notations

Soitxune solution de base oùB=fi1;i2;:::;imget, pour tout j62B,xj=0.

B=fi1;i2;:::;imgN=J1;nKnB

B= (Ci)i2BAN= (Ci)i2N

B= (xi)i2BxN= (xi)i2N=0

Ax=ABxB+ANxN=ABxB=b

Best carrée et inversible :xB= (AB)1b.

Remarque : siyn"est pas une solution de base associée àB, alors y

N6=0 etyB= (AB)1b(AB)1(AN)yN.

Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex

Solution de base réalisable

Définition

Une solution de base est diteréalisablessi toutes ses composantes sont positives.Autrement dit une solution de base réalisable est une solution de base qui est réalisable. (Explication graphique au tableau) 11

Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex

Point extrême

Définition

Unpoint extrêmedeSest un point qui ne peut s"exprimer comme combinaison linéaire convexe d"autres points deSCombinaison linéaire convexe :x=pP i=1 iyi,Pi=1,

0i1.Théorème

L"ensemble des solutions de bases réalisables et des points extrêmes deSsont identiques.(Preuve au tableau) 12

Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex

Solution de base optimale

Théorème

SiSest borné, tout point deSpeut s"exprimer comme combinaison linéaire convexe de points extrêmes.Théorème SiSest borné, il existe toujours une solution optimale qui est solution de base réalisable.(Explication graphique et preuve au tableau) 13

Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex

Solution de base dégénérée

Définition

Une solution de base(xB;xN)est ditedégénéréesi une des composantes dexB=0.On dit que le programme est dégénéré si certaines de ses solutions de base réalisables sont dégénérées. (Explication graphique au tableau) 14

Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex

Coût réduit

Définition

Soitx= (xB;xN)une solution de base réalisable associée àB.

Pour toutj2N, lecoût réduitjdexest :

j=cjX i2Bc iaij oùaijest la composante(i;j)de la matrice(AB)1AN.(Intuition graphique au tableau) 15

Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex

Coût réduit et Kuhn Tucker (Version minimisation)

Théorème

Si le programme est non dégénéré, une solution de base réalisable (xB;xN)vérifiant j0 pour toutj2Nest optimale.(Démonstration à l"aide des conditions de Kuhn-Tucker au tableau.) 16

Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex

Algorithme du simplexe (Version minimisation)

Entrées:Un programme linéaire(P)sous forme standard

Sorties:Une solution optimale de(P)

1:Trouver une solution de base réalisablex= (xB;xN)de(P)

2:Boucle

3:A ((AB)1AN)

4:b ((AB)1b)

5:j Coûts réduits dex

6:Si8j;j0Alors

7:Renvoyerx

8:e= argmin(eje2N)

9:s= argminnbiaieji2B;aie>0o

10:Dans la baseB, remplacerspare

11:x La solution de base (réalisable) associée àBFonctionne si le programme est non dégénéré et siSest borné.

Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex

Comment trouver une solution de départ?

Pour l"instant,

au hasard on vous l"a donnée vous avez déjà lu la fin du cours 18

Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex

Méthode des tableaux

Idée : présenter les calculs différemment afin de les simplifier.

Au programme, vu en TD...

Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex

Méthode des 2 phases

La méthode des 2 phases permet detrouver une solution de

base réalisabled"un programme linéaire(P)quelconque.Idée : transformer le programme linéaire(P)en un autre(Q)tel

que(Q)a une solution de base réalisable triviale(P)a une solution réalisable ssi les solutions optimales de(Q)

ont pour fonction objective 0dans ce cas, on peut trouver une solution de base réalisable de (P)à partir d"une solution optimale de(Q) 20

Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex

Méthode des 2 phases : transformer le programme linéaire

On veut résoudre ce programme :

Minimiserctx

s.c.Atx=tb(P) x2(R+)n

Hypothèse :

tb0. (Si ce n"est pas le cas, il suffit de multiplier toutes les contraintes oùbi<0 par1) 21

Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex

Méthode des 2 phases : transformer le programme linéaire

Minimiserctx

s.c.Atx=tb(P) x2(R+)n

Minimiser

P'i s.c.Atx+t'=tb(Q) x;'2(R+)n (Preuve que(Q)vérifie bien les 3 propriétés énoncées 2 slides plus tôt au tableau) 22

Dimitri WatelMRO Chap 06 PL Simplex

Méthode des 2 phases : algorithme

Entrées:Un programme linéaire sous forme standard(P)oùb0

Sorties:Une solution optimale de(P)

1:Transformer(P)en un programme linéaire(Q)comme expliqué

précédemment.

2:Résoudre(Q)avec l"algorithme du simplexe ((Q)a une solution

de base réalisable triviale à partir de laquelle on peut démarrer)

3:xQ;'Q une solution optimale de(Q)

4:Si'Q6=0Alors

5:(P)n"a pas de solution réalisable, on s"arrête.

6:Sinon

7:xQest une solution de base réalisable de(P)

8:Résoudre(P)avec l"algorithme du simplexe.Phase 1 : lignes 1 à 3

Phase 2 : lignes 4 à 8

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