[PDF] Méthodes numériques pour les systèmes dynamiques non linéaires

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AIX-MARSEILLE UNIVERSITÉ

ÉCOLE DOCTORALE SCIENCES POUR L"INGÉNIEUR :

MÉCANIQUE, PHYSIQUE, MICRO ET NANOÉLECTRONIQUE (ED 353)

THÈSE

Pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L"UNIVERSITÉ D"AIX-MARSEILLE

Discipline : Acoustique

Soutenue publiquement le 10 janvier 2012 par

Sami KARKAR

Méthodes numériques pour les systèmes

dynamiques non linéaires

Application aux instruments de musique

auto-oscillants

JURY : Dr. Joël GILBERT Président

Pr. Gaëtan KERSCHEN Rapporteur

Dr. Cyril TOUZÉ Rapporteur

Pr. José ANTUNES Examinateur

Pr. Marc MÉDALE Examinateur

Pr. Bruno COCHELIN Directeur de thèse

Dr. Christophe VERGEZ Co-directeur de thèse

LABORATOIRE DE MÉCANIQUE ET D"ACOUSTIQUE - C.N.R.S. (UPR 7051)

Résumé

Ces travaux s"articulent autour du calcul des solutions périodiques dans les sys- tèmes dynamiques non linéaires, au moyen de méthodes numériques de continuation. La recherche de solutions périodiques se traduit par un problème avec condi- tions aux limites périodiques, pour lequel nous avons implémenté deux méthodes d"approximation : - Une méthode spectrale dans le domaine fréquentiel : l"équili- brage harmonique d"ordre élevé, qui repose sur une formulation quadratique des équations. Nous proposons en outre une formulation originale permettant d"étendre cette méthode aux cas de non-linéarités non rationnelles. -Une méthode pseudo- spectrale par éléments dans le domaine temporel : la collocation à l"aide fonctions polynômiales par morceaux. Ces méthodes transforment le problème continu en un système d"équations algébriques non linéaires, dont les solutions sont calculées par continuation à l"aide de la méthode asymptotique numérique. L"ensemble de ces outils, intégrés au code de calcul MANLAB et complétés d"une

analyse linéaire de stabilité, sont alors utilisés pour l"étude des régimes périodiques

d"une classe particulière de systèmes dynamiques non linéaires : les instruments de musique auto-oscillants. Un modèle physique non-régulier de clarinette est étudié endétail : à partir de la branche de solutions statiques et ses bifurcations, on calcule les différentes branches de solutions périodiques, ainsi que leur stabilité et leursbifurcations. Ce modèle est ensuite adapté au cas du saxophone, pour lequel on intègre une caractérisation acoustique expérimentale, afin de mieux tenir compte de la géométrie complexe de l"instrument. Enfin, nous étudions un modèle physique simplifié de violon, avec une non-régularité liée frottement de Coulomb. Cette dernièreapplication illustre ainsi la polyvalence des outils développés face aux différents types de non-régularité.

Table des matièresRésumé4

Avant-propos11

Introduction13

I Systèmes dynamiques et méthodes numériques 19

1 Systèmes dynamiques21

1.1 Système dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.1.2 Trajectoires, solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2 Solutions statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.2 Branche de solutions statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.3 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.4 Bifurcations des solutions statiques . . . . . . . . . . . . .. . 24

1.3 Solutions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.2 Branche de solutions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.3 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.4 Analogie avec les systèmes discrets ou " cartes » . . . . .. . . 28

1.3.5 Bifurcations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4 Bifurcations des régimes instables . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 29

1.4.1 Solutions statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4.2 Solutions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5 Systèmes non réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Méthodes numériques de continuation 31

2.1 La continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.1 Exemple simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Méthodes prédicteur-correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 32

2.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.2 Prédicteur tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.3 Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.4 Itération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6TABLE DES MATIÈRES

2.2.5 Pilotage des méthodes MPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3 Méthode Asymptotique Numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.2 Systèmes linéaires en cascade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.3 Taille du pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3.4 Itération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3.5 Correction éventuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4 MANLAB : une implémentation originale de la MAN . . . . . . . .. 39

3 Méthodes de discrétisation des solutions périodiques 41

3.1 Méthodes de discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

3.1.1 Du continu au discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.2 Méthodes spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Méthode de l"Équilibrage Harmonique . . . . . . . . . . . . . . . .. 44

3.2.1 Fonctions de représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.2 Fonctions test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.3 Équation de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.4 Systèmes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.5 Cas particulier des systèmes non autonomes . . . . . . . . .. 46

3.2.6 Implémentation dans MANLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3 Collocation orthogonale aux points de Gauss . . . . . . . . . .. . . . 47

3.3.1 Fonctions de représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.2 Base de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.3 Implémentation dans MANLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.A Annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.A.1 Matrice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.A.2 Matrice B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.A.3 Matrice B" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 Optimisation des temps de calcul55

4.1 Temps de calcul peu optimisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.1.1 Calcul de la matrice tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Compilation d"une partie du code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

4.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2.2 Performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3 Approche tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3.2 Calcul des tenseursL0,L, etQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3.3 Forme tensorielle des équations continues . . . . . . . . .. . . 60

4.3.4 Tenseurs pour l"équilibrage harmonique . . . . . . . . . . .. . 61

4.3.5 Tenseurs pour la collocation polynômiale . . . . . . . . . .. . 63

4.3.6 Écriture matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.4 Comparaison des approches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

TABLE DES MATIÈRES7

5 Traitement des non-linéarités non polynômiales 69

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2 An introductive example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.2.1 First-order recast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.2.2 Quadratic recast of the exponential function . . . . . . .. . . 72

5.2.3 Applying the harmonic balance method to the ODEs . . . . .73

5.2.4 Recast of the non linear algebraic equation . . . . . . . . .. . 74

5.2.5 Periodic solutions of the regularised vibro-impact .. . . . . . 75

5.3 General treatment of nonlinear functions . . . . . . . . . . . .. . . . 76

5.3.1 First order derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.3.2 Second order derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.4 Recast of a few common non-polynomial nonlinearities . .. . . . . . 77

5.4.1 Natural logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.4.2 Non-integer power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.4.3 Trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.5 Periodic solutions of the nonlinear pendulum . . . . . . . . .. . . . . 78

5.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.A Vibro-impact system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.A.4 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.A.5 Recast of conservative systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.B Quadratic framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.C Extended framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.C.6 Series computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.C.7 Implementation in MANLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6 Comparaison entre HBM et collocation 85

6.1 Système non linéaire à deux ressorts . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86

6.1.1 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.1.2 Paramètre de continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.1.3 Forme quadratique du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . 87

6.1.4 Étude de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.1.5 Continuation des solutions périodiques . . . . . . . . . . .. . 89

6.2 Le système vibro-impact régularisé . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 93

6.2.1 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.2.2 Paramètre de continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.2.3 Étude de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.2.4 Continuation des solutions périodiques . . . . . . . . . . .. . 99

6.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

II Application à l"acoustique musicale 103

7 Modélisation des instruments de musique à anche simple 105

7.1 Principe général de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 106

7.2 Mécanique de l"anche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.2.1 Modélisation du contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.3 Acoustique du résonateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8TABLE DES MATIÈRES

7.3.1 Modèle analytique du cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.3.2 Modèle analytique du tronc de cône . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.3.3 Caractérisation expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . .109

7.3.4 Décomposition modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.3.5 Équations dans le domaine temporel . . . . . . . . . . . . . . 110

7.4 Couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.5 Équations adimensionnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.6 Reformulation quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112

7.6.1 Équation du débit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.6.2 Effort de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.6.3 Système complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8 Régimes périodiques de la clarinette 115

8.1 Paramètres et régularisation du modèle . . . . . . . . . . . . . .. . . 116

8.1.1 Nombre de modes acoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8.1.2 Valeurs des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8.2 Branche statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

8.2.1 Calcul analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

8.2.2 Continuation de point fixe : équilibrage harmonique à l"ordre 0 120

8.2.3 Calcul à l"aide du logiciel AUTO . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.2.4 Retour sur la modélisation du contact . . . . . . . . . . . . . .122

8.3 Régimes périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8.3.1 Premiers résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8.3.2 Problèmes numériques liés au contact . . . . . . . . . . . . . .123

8.3.3 Influence des régularisations sur la stabilité . . . . . .. . . . . 127

8.3.4 Estimation du nombre d"harmoniques nécessaires . . . .. . . 128

8.3.5 Calcul du premier registre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8.3.6 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8.4 Autres régimes périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139

9 Régimes périodiques du saxophone 145

9.1 Impédance d"entrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

9.2 Rappels sur le modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

9.3 Branche statique : stabilité et bifurcations . . . . . . . . .. . . . . . 147

9.4 Régimes périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

9.4.1 Première branche périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

9.4.2 Diagramme de bifurcation en pression et stabilité . . .. . . . 148

9.4.3 Fréquence de jeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

10 Régimes périodiques du violon153

10.1 Modèle simplifié de violon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

10.1.1 Régularisation du frottement de Coulomb . . . . . . . . . .. 154

10.1.2 Système du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

10.1.3 Formulation quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

10.1.4 Analyse du régime statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

10.2 Analyse numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

10.2.1 Adimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

TABLE DES MATIÈRES9

10.2.2 Branche statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

10.3 Régime périodique du violon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160

10.3.1 Calcul par équilibrage harmonique et MAN . . . . . . . . . .160

10.3.2 Calcul par collocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

11 Seuils d"oscillation de la clarinette : une approche par continuation165

11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

11.2 Physical model of single reed instruments . . . . . . . . . . .. . . . . 168

11.2.1 Dynamics of the reed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

11.2.2 Acoustics of the resonator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

11.2.3 Nonlinear coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

11.2.4 Reed motion induced flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

11.2.5 Global flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

11.2.6 Dimensionless model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

11.3 Methods : Theoretical principles and numerical tools .. . . . . . . . 172

11.3.1 Branch of static solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

11.3.2 Continuation of static solutions . . . . . . . . . . . . . . . .. 172

11.3.3 Hopf Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

11.3.4 Branch and continuation of Hopf bifurcations . . . . . .. . . 173

11.4 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

11.4.1 Reed-bore interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

11.4.2 Simultaneous influence of reed damping and modal frequency . 177

11.4.5 Influence of the reed motion induced flow . . . . . . . . . . . .186

11.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Conclusion Générale193

Bibliographie197

10TABLE DES MATIÈRES

Avant-propos

Ce document présente les travaux que j"ai réalisés au cours de mes trois années de thèse au sein de l"équipe Signaux Sonores et Musicaux d"une part, et de l"équipe Méthodes Numériques d"autre part, au Laboratoire de Mécanique et d"Acoustique (LMA), unité propre de recherche du CNRS. Ces travaux ont étédirigés conjointe- ment par Bruno Cochelin et Christophe Vergez. Ils ont été financés à parts égales par le CNRS et la DGA. "Il avait dit: - Tel jour cet astre reviendra.-

Il mourut.

L"ombre est vaste et l"on n"en parla plus

[...] On oublia le nom,

L"homme, tout; ce rêveur digne du cabanon,

Ces calculs poursuivant, dans leur vagabondage

Des astres qui n"ont point d"orbite et n"ont point d"âge,

Ces Soleils à travers les chiffres aperçus;

Et la ronce se mit à pousser là-dessus. [...]

On vivait. [...]

Et depuis bien longtemps personne ne pensait

Au pauvre vieux rêveur enseveli sous l"herbe.

Soudain, un soir, on vit la nuit noire et superbe, [...] Blêmir confusément, puis blanchir, et c"était Dans l"année annoncée et prédite, et la cime

Des monts eut un reflet étrange de l"abîme

Comme lorsqu"un flambeau rôde derrière un mur,

Et la blancheur devint lumière, et dans l"azur

La clarté devint pourpre, et l"on vit poindre, éclore, Et croître on ne sait quelle inexprimable aurore

Qui se mit à monter dans le haut firmament

Par degrés et sans hâte et formidablement; [...]

Et soudain, comme un spectre entre en une maison,

Apparut, par-dessus le farouche horizon,

Une flamme emplissant des millions de lieues,

Monstrueuse lueur des immensités bleues,

Splendide au fond du ciel brusquement éclairci; Et l"astre effrayant dit aux hommes : " Me voici! »" Victor Hugo, " La Comète », La légende des siècles. Introduction GénéralePériodicité et oscillations spontanées Qu"est-ce qu"un phénomène périodique? Est-ce, comme on le présente habituel- lement, " un phénomène qui se répète à intervalles de temps réguliers, et dont on peut mesurer la principale caractéristique : la période »? Ou est-ce le phénomène périodique qui permet justement, par sa période, demesurerle temps? De l"apparition tous les 76 ans de la comète de Halley aux oscillations à 4MHz d"un cristal de quartz, en passant par le rythme circadien des cyanobactéries, ou encore les différents cycles saisonniers du climat... Toutes ces horloges sont des oscil- lateurs qui mesurent le temps. Pour le physicien, ce sont dessystèmes dynamiques. Dans certains cas, les oscillations apparaissent spontanément, sans qu"aucun agent extérieur ne viennent imposer cette périodicité au système : on parle de systèmeautonome. Ainsi, un objet cylindrique soumis à un écoulement uniforme provoque un sillage oscillant (allée de von Karmann) qui, enretour, interagit avec l"objet qui se met alors à osciller. De même, un frein à disqueautomobile soumis à un effort constant peut faire naître, du frottement, une oscillation audible : le crissement. C"est par ailleurs le même phénomène qui explique le son d"un violon dont on frotte une corde avec un archet. Enfin, une clarinetteest capable d"émettre une note, c"est-à-dire une oscillation de pression, alors que le souffle du musicien est continu. Dans tous ces exemples, l"apparition des oscillations est spontanée. Et dans cha- cun de ces exemples, c"est un phénomènenon linéairequi permet de l"expliquer.

Ainsi, le caractère non linéaire joue un rôle prépondérant dans l"étude des oscilla-

teurs, comme le sont les instruments de musique auto-oscillants.

De la physique des instruments de musique...

Un instrument de musique peut se décomposer en un phénomène d"excitation (souffle du musicien dans l"embouchure d"un instrument à vent, frottement de l"ar- chet sur la corde d"un violon, impact d"une baguette sur une peau...), couplé à un phénomène de résonance. Le type d"excitation permet de distinguer deux catégories d"instruments : - les instruments à oscillations libres, dont l"excitationest de type impulsionnel (percussions, cordes frappées ou pincées); - les instruments à oscillations auto-entretenues, ou encoreauto-oscillants, dont l"excitation est continue (comme les vents et les cordes frottées).

14INTRODUCTION

Fig.1 - Schéma de principe du fonctionnement d"un instrument auto-oscillant. La partie résonante de l"instrument est elle-même composéede deux éléments : le résonateur qui réalise un filtrage sélectif de cette excitation (colonne d"air, corde vibrante, caisse de résonance), et un élément qui permet de transmettre les vibra- tions dans le milieu ambiant sous forme de rayonnement acoustique (pavillon, table d"harmonie, membrane). Les instruments auto-oscillants fonctionnent donc comme un oscillateur clas- sique : l"énergie est injectée sous forme quasi-statique (àl"échelle de temps d"une note), un couplage à l"aide d"un élément non linéaire permetde transformer une partie de cette énergie sous forme d"oscillations, et un élément linéaire fortement résonant permet de " sélectionner » une fréquence particulière de fonctionnement (voir la figure 1). Du point de vue de la physique, ce type d"instrument peut êtremodélisé parquotesdbs_dbs27.pdfusesText_33

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