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R´esolution d"´equations aux d´eriv´ees partielles non lin´eaires et coupl´ees St´ephanie Marchesseau Dimitri Bettebghor
Directeur de projet : Pierre DreyfussEcole des Mines de Nancy, 2006-2007Table des mati`eres
Avertissement/Remerciements i
Introductioniii
D´efinitions et notations v
1 Pr´esentation du probl`eme 1
1.1 Les ´equations aux d´eriv´ees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.1.1 Equations aux d´eriv´ees partielles lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.1.2 Equations aux d´eriv´ees partielles non lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.2 Pr´esentation de notre probl`eme d"E.D.P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.2.1 Les ´electroaimants de Bitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.2.2 Probl`eme th´eorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
2 Quelques pr´ecisions sur Matlab 7
2.1 La PDE Toolbox de Matlab et stockage de donn´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
2.1.1 L"interface graphique (Graphic User"s Interface) . . . . . . . . . . . . . . . . .7
2.1.2 Codage de la g´eom´etrie et du maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
2.1.3 Stockage des donn´ees : le formatsparse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
2.2 Exemple de r´esolution `a l"aide de la PDE Toolbox sous Matlab . . . . . . . . . . . . .16
3 Mod´elisation et r´esolution num´erique 21
3.1 Mod´elisation simplifi´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
3.1.1 R´esolution du probl`eme th´eorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
3.1.2 Diff´erentiation des op´erateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
3.2 Mise en place algorithmique et r´esolution sous Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . .24
3.2.1 Calcul de la fonctionγ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
3.2.2 Calcul des op´erateurs et des matrices A,C et E . . . . . . . . . . . . . . . . .28
3.2.3 Calcul des matricesBetD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
3.3 Algorithme de Newton et variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
3.3.1 M´ethode directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
3.3.2 M´ethode GMRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
3.3.3 Newton `a pas optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
4 Mise en place d"un cas test pour notre algorithme 43
4.1 Enonc´e du nouveau probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
4.2 R´esolution de ce nouveau probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
5 Pr´ecisions sur les algorithmes utilis´es 49
4TABLE DES MATI`ERES5.1 La m´ethode des ´el´ements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
5.2 L"algorithme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
5.3 Les diff´erentes r´esolutions de l"algorithme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
Conclusion59
Avertissement/Remerciements
Le contenu de ce rapport appartient `a ses auteurs, l"Ecole des Mines de Nancy n"est en rien respon- sable des opinions exprim´ees. Nous remercions chaleureusement notre directeur de projet M.Pierre Dreyfuss, chercheur `a l"InstitutElie Cartan de l"Universit´e Henri Poincar´e de Nancy. Ses conseils et son aide ont ´et´e tr`es pr´ecieux
tout au long de ce projet.i iiAVERTISSEMENT/REMERCIEMENTSIntroduction
Notre projet que l"on pourrait d´efinir comme un projet de calcul scientifique, a ses applications dans
le domaine physique de l"´electromagn´etisme, puisqu"il consiste `a d´eterminer les grandeurs repr´esen-
tatives d"un aimant : l"aimant de Bitter. Nous pr´esenterons donc bri`evement les caract´eristiques d"un
tel aimant, avant de nous int´eresser plus particuli`erement aux ´equations qui r´egissent son fonction-
nement, ´equations que nous essaierons de r´esoudre par la simulation num´erique.En effet, le point le plus important de notre projet fut de traiter des ´equations diff´erentielles non
lin´eaires et coupl´ees. Cela signifie qu"il nous a ´et´e impossible de nous aider des m´ethodes habituelles
de r´esolution des ´equations diff´erentielles, c"est pourquoi nous avons dˆu envisager de transformer
notre probl`eme afin de pouvoir le r´esoudre par des m´ethodes bien connues, comme la m´ethode de
Newton.
La m´ethode de Newton permet de trouver le z´ero d"une fonction, il a donc fallu passer de deux
´equations diff´erentielles non lin´eaires coupl´ees `a un probl`eme de point fixe, nous vous pr´esenterons
bien sˆur la th´eorie qui se cache derri`ere cette transformation. Ensuite, nous nous sommes attaqu´es `a
la mani`ere de r´esoudre num´eriquement ce nouveau probl`eme, par la programmation (avec Matlab)
de multiples fonctions imbriqu´ees, dont nous expliquerons l"int´erˆet par la suite.Le programme ´etant plutˆot compliqu´e, et voulant nous assurer de sa pertinence, nous avons en-
visag´e un cas test, dont nous connaissions le r´esultat th´eorique. Apr`es de nombreuses heures pass´ees
sur ce sujet, nos efforts ont finalement ´et´e r´ecompens´es puisque nous sommes aujourd"hui en mesure
de fournir un programme satisfaisant, qui r´epond `a la probl´ematique que nous avions fix´ee au d´ebut
de notre projet. On pourrait ´evidemment continuer `a creuser le sujet, comme par exemple se ramener
`a de exemples physiques et interpr´eter les r´esultats, mais le temps nous a manqu´e, nous laissons donc
cela `a de potentiels successeurs.iii ivINTRODUCTIOND´efinitions et notations
NEnsemble des entiers naturels
REnsemble des r´eels
?Op´erateur gradient. Soituune fonction deRndansR, le gradient, not´e aussi gradu(x) est : ?u(x) = (∂u∂x1,...,∂u∂x
divOp´erateur divergence. SoitV= (V1,...,Vn) une fonction deRmdansRn, divVest : divV(x) =∂V1∂x1+...+∂Vn∂x
Δ Op´erateur laplacien. Soituune fonction, le laplacien est :Δu(x) =∂2V1∂x
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