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Université de Montréal

Didactique des grandeurs en mesure et élèves en difficulté d'apprentissage du 2 e cycle du primaire par

Thérèse Djégnononde Tieidé

Département de didactique

Faculté des sciences de l'éducation

Thèse présentée à la Faculté des études supérieures et postdoctorales en vue de l'obtention du grade de Philosophiae Doctor (Ph.D.) en sciences de l'éducation option didactique

Mai 2009

© Thérèse Tieidé, 2009

iii

UNIVERSITÉ DE MONTRÉAL

Faculté des études supérieures et postdoctorales

Cette thèse intitulée :

Didactique des grandeurs en mesure et élèves en difficulté d'apprentissage du 2 e cycle du primaire présentée par

Thérèse Djégnononde Tieidé

a été évaluée par un jury composé des personnes suivantes :

Louise Poirier, présidente rapporteure

Jean Portugais, directeur de recherche

Gisèle Lemoyne, membre du jury

Cathy Arsenault, examinatrice externe

représentant du doyen de la FES v

RÉSUMÉ

Le programme Une école adaptée à tous ses élèves, qui s'inscrit dans la réforme actuelle

de l'éducation au Québec, nous a amenée à nous intéresser aux représentations dans les

grandeurs en mesure en mathématiques des élèves en difficulté d'apprentissage. Nous nous sommes proposés de reconduire plusieurs paramètres de la recherche de Brousseau (1987, 1992) auprès de cette clientèle et la théorie des champs conceptuels (TCC) de Vergnaud (1991), appliquée aux structures additives, a été particulièrement utile dans l'analyse et l'interprétation de leurs représentations. Comme méthode de recherche, nous avons utilisé la théorie des situations didactiques en mathématiques (TSDM), réseau de concepts et de méthode de recherche appuyé sur l'ingénierie didactique qui permet une meilleure compréhension de l'articulation des contenus à enseigner. Grâce à la TSDM, nous avons observé les approches didactiques des enseignants avec leurs élèves. Notre recherche est de type exploratoire et qualitatif et

les données recueillies auprès de 26 élèves de deux classes spéciales du deuxième cycle

du primaire ont été traitées selon une méthode d'analyse de contenu.

Deux conduites ont été adoptées par les élèves. La première, de type procédural, a été

utilisée par presque tous les élèves. Elle consiste à utiliser des systèmes de comptage plus

ou moins sophistiqués, de la planification aux suites d'actions. La deuxième consiste à

récupérer directement en mémoire à long terme le résultat associé à un couple donné et

au contrôle de son exécution. L'observation des conduites révèle que les erreurs sont dues

à une rupture de sens. Ainsi, les difficultés d'ordre conceptuel et de symbolisation nous sont apparues plus importantes lorsque l'activité d'échange demandait la compétence

" utilisation » et renvoyait à la compréhension de la tâche, soit les tâches dans lesquelles

ils doivent eux-mêmes découvrir les rapports entre les variables à travailler et à simuler

les actions décrites dans les énoncés. En conséquence, les problèmes d'échanges se sont

révélés difficiles à modéliser en actes et significativement plus ardus que les autres.

L'étude des interactions enseignant et élèves a démontré que la parole a été presque

uniquement le fait des enseignants qui ont utilisé l'approche du contrôle des actes ou du sens ou les deux stratégies pour aider des élèves en difficulté. vi Selon le type de situation à résoudre dans ces activités de mesurage de longueur et de

masse, des mobilisations plurielles ont été mises en oeuvre par les élèves, telles que la

manipulation d'un ou des étalon(s) par superposition, par reports successifs, par pliage ou par coupure lorsque l'étalon dépassait, par retrait ou ajout, d'un peu de sable afin de stabiliser les plateaux. Nous avons également observé que bien que certains élèves aient utilisé leurs doigts pour se donner une perception globale extériorisée des quantités, plusieurs ont employé des procédures très diverses au cours de ces mêmes séances.

Les résultats présentés étayent l'hypothèse selon laquelle les concepts de grandeur et de

mesure prennent du sens à travers des situations-problèmes liées à des situations vécues

par les élèves, comme les comparaisons directes. Elles renforcent et relient les grandeurs, leurs propriétés et les connaissances numériques. Mots-clés Didactique des mathématiques, théorie des champs conceptuels, structures additives, théorie des situations didactiques en mathématiques, ingénierie didactique, grandeurs en mesure, difficulté d'apprentissage, représentations des élèves, conduites des élèves, procédures. vii

SUMMARY

An education system adjusted to all its pupils, in line with the present reform of the education system of Quebec has led us in this project, to examine how students with learning problems deal with numbers and measurements in mathematics. In the present study, our purpose is to double-check many of the parameters defined in the work of Brousseau (1987, 1992). La théorie des champs conceptuels (TCC) of Vergnaud (1991), The Theory of the Conceptual Fields (TCF) of Vergnaud (1991), applied to the additives structures, was particularly useful in our analysis of the facts and the interpretation of their representations. In this work, the methodology we adopted is the Didactic Engineering, which allows a better understanding in articulating the contents to each. Using Theory of Didactic Situations in Mathematics (TSDM) (La théorie des situations didactiques en mathématiques), we examined the didactic approaches the teachers have in their relationship with their students. The data for our study, which is of the exploratory and qualitative type, was collected with twenty six students of the second cycle of the primary school. That data was analysed in conformity with a methodology of content analysis. The examination of the student's behaviour revealed two attitudes. Almost all the students used the first attitude, which is of the procedural type. It consisted in using counting systems more or less sophisticated from the planning to the following actions involved. The second attitude implied memorizing for the long term, the result associated with a specific couple of actions and the control of their execution. The observation of the students' attitudes reveals that the errors they made are related to a semantic disruption in their interpretation of the varied tips and strategies the teachers tried to help them with to solve the different problems. Thus, it appeared to us that the difficulties at the conceptual and symbolization levels were more important when the exchange activity involved their competence to evaluate an activity related to the understanding of the task to achieve. In other terms, they had more difficulty with the tasks where they had to establish by themselves to links between the variables, and simulate the actions involved by those viii tasks. Consequently, the tasks involving exchange operations happened to be more difficult to translate into actions, and were clearly more problematic than the other tasks. The study of the interactions between teachers and students revealed that only teachers used words in the process, where they used the approach of the control of the actions (approche du contrôle des actes), or the approach of control of the meaning (approche du contrôle du sens), or both strategies to help students with problems. Depending on the type of problem encountered during these activities of measurements of length and masses, the students had recourse to numerous experiments such as manipulation of the standard measure(s). They proceeded by superimposing, by successive deferments, by folding, by cutting when the standard was exceeding in size, or by reduction or addition of some amount of sand to bring into balance the scale. We noticed also that despite the fact that certain students used their fingers to have a global idea of the external measures of the quantities, many of those same students had recourse to a diversity of other procedures during the same test. The result presented here support the hypothesis that says that the concepts of size and measurement get more meaning in a specific context, where they relate to real situations lived by the students, as well as by direct comparisons. They reinforce and establish links between the so-called sizes, their properties and the numeric knowledge. Key words : Didactic of Mathematics, Theory of Conceptual Fields, Additive Structures, Theory of Didactic Situations in mathematics, Didactic Engineering, Importance in Size, Learning Problems, Students

Representation, Students behavior, Procedures.

ix

TABLE DES MATIÈRES

RÉSUMÉ ...................................................................................................................... v

SUMMARY .................................................................................................................... vii

LISTE DES TABLEAUX ................................................................................................. xv

DÉDICACE ................................................................................................................... xvi

REMERCIEMENTS ....................................................................................................... xvii

LISTE DES SIGLES ET ABRÉVIATIONS ................................................................... xix

INTRODUCTION .............................................................................................................. 1

Différentes recherches sur le potentiel en mathématique des élèves en difficulté

d'apprentissage .......................................................................................................... 3

Conceptualisation et application des situations didactiques ............................................... 4

Organisation de la thèse ...................................................................................................... 5

CHAPITRE 1 PROBLÉMATIQUE .................................................................................. 9

1.1 La politique du MELS face à l'échec scolaire ......................................................... 11

1.2 La problématique des apprentissages en mathématique .......................................... 12

1.3 Le rôle fondamental des grandeurs en mesure dans les apprentissages en

mathématique ........................................................................................................... 13

1.4 L'objet de nos préoccupations ................................................................................. 16

1.5 Le contexte pratique de la recherche ....................................................................... 17

1.6 Les objectifs généraux ............................................................................................. 18

x 1.7

Les objectifs spécifiques .......................................................................................... 19

1.8 L'hypothèse de recherche ........................................................................................ 19

CHAPITRE II ANALYSES PRÉALABLES .................................................................. 21

2.1 La didactique des mathématiques (DDM) ............................................................... 25

2.2 La théorie des situations didactiques en mathématique (TSDM) ............................ 25

2.3 Système, modèle, modélisation et processus de modélisation ................................. 26

2.4 Les situations ........................................................................................................... 28

2.5 Le contrat didactique ............................................................................................... 30

2.6 La dévolution ........................................................................................................... 31

2.7 Les notions d'obstacle dans la transposition didactique .......................................... 33

2.8 La perspective tripolaire de la relation didactique ................................................... 35

2.9 Analyses de la prise en compte des intentions didactiques de l'enseignant ............ 36

2.1.1 Le rôle et les fonctions de l'enseignant en classe spéciale ........................... 39

2.1.2 La dynamique des interactions en classe spéciale ........................................ 42

2.1.3 Le champ conceptuel, outil d'analyse de différents savoirs ......................... 45

2.1.4 Les relations dans la théorie du champ conceptuel ...................................... 45

2.1.5 Qu'entend-on par relation dans le calcul relationnel ? ................................. 46

2.1.6 Le champ conceptuel des structures additives ............................................. 49

2.1.7 Définition du concept de schème ................................................................. 51

2.1.8 La constitution du schème ............................................................................ 52

2.1.9 Les connaissances, les conceptions et les représentations ........................... 54

2.1.9.1 La connaissance .............................................................................. 55

2.1.9.2 La conception ................................................................................. 55

2.1.9.3 La représentation ............................................................................ 56

2.1.9.4 Limites des théories choisies .......................................................... 57

xi

CHAPITRE III ANALYSE A PRIORI ............................................................................ 59

3.1 L'évolution des grandeurs en mesure dans l'histoire des mathématiques ............... 62

3.2 Aspects récents des grandeurs en mesure ................................................................ 64

3.3 La conception du nombre par l'enfant ..................................................................... 66

3.4 La structure opératoire de l'enfant selon Piaget ...................................................... 67

3.5 La représentation de l'espace par l'enfant ............................................................... 69

3.6 Le nombre, composante essentielle des structures additives ................................... 71

3.7 Le nombre et la mesure ............................................................................................ 71

3.8 Différents sens donnés au concept de la " mesure»................................................. 72

3.9 La mesure, opération de pensée ............................................................................... 73

3.9.1 Les grandeurs en mesure, moyen de quantification ..................................... 74

3.9.2 Grandeur et grandeur mesurée ..................................................................... 75

3.9.3 Les propriétés des grandeurs en mesure ....................................................... 76

3.9.4 Les grandeurs, classes d'équivalences ......................................................... 78

3.9.5 Les grandeurs, entités comparables et extensives ........................................ 80

3.10 L'apprentissage des grandeurs en mesure à l'école primaire ................................. 82

3.10.1 L'estimation et le mesurage dans les apprentissages des grandeurs ............ 83

3.10.2 Le plan mathématique et le plan didactique des grandeurs .......................... 84

3.10.3 Études analytiques des difficultés d'apprentissage en mathématique .......... 85

3.11 Obstacles en mathématique des élèves en difficulté d'apprentissage :

aperçu des situations possibles ................................................................................ 87

3.11.1 La position du problème de notre recherche ................................................ 88

3.11.2 Pertinence de la recherche ............................................................................ 89

xii

CHAPITRE IV EXPÉRIMENTATION .......................................................................... 91

4.1 Cadre expérimental .................................................................................................. 94

4.2 Caractéristiques de la population ............................................................................. 95

4.3 Éthique ..................................................................................................................... 97

4.4 Choix des contenus : les situations problèmes......................................................... 97

4.5 Objectifs Des situations problèmes ........................................................................ 100

4.6 Mise à l'épreuve des situations problèmes ............................................................ 100

4.6.1 Planification des situations problèmes ....................................................... 101

4.6.2 Organisation de l'expérimentation ............................................................. 103

4.7 Cueillette et analyse des données ........................................................................... 105

4.7.1 Type de recherche et collecte des données................................................. 106

4.7.2 Analyse de protocoles d'observation ......................................................... 109

4.7.3 Méthode de réduction des données ............................................................ 110

4.7.4 Validité et fidélité des données .................................................................. 110

CHAPITRE V ANALYSE A POSTERIORI .................................................................. 113

5.1 Conduites attendues des élèves .............................................................................. 116

5.2 Analyse a posteriori des situations à chacune des séquences didactiques ............ 116

5.3 Étape A - Épreuves des longueurs dans le domaine des grandeurs ...................... 118

5.3.1 Analyse des situations problèmes 1 et 2 .................................................... 119

5.3.2 Synthèse des analyses des situations problèmes 1 et 2 .............................. 134

5.4 Étape B - Épreuves de masse dans le domaine des grandeurs .............................. 141

5.4.2 Analyses de la situation problème 3 ........................................................... 142

5.3.2 Synthèse des analyses de la situation problème 3 ...................................... 153

xiii 5.5

Étape C - Activités 4 et 5 - Étude des messages, travail sur les écritures ............ 155

5.5.1 Analyses des situations problèmes 4 et 5 ................................................... 157

5.5.2 Synthèse des analyses des situations problèmes 4 et 5 .............................. 169

5.6 Étape D - Activité 6 Comparaison des écritures (suite) Exercices de conversion 173

5.6.1 Analyses de la situation problème 6 ........................................................... 174

5.6.2 Synthèse des analyses de la situation problème 6 ...................................... 182

5.7 Étape E - Activité 7 - Exercice de conversion/ transformation de messages ....... 184

5.7.1 Analyses de la situation problème 7 ........................................................... 185

5.7.2 Synthèse des analyses de la situation problème 7 ...................................... 205

5.8 Étape F - Activité 8 - Somme des poids ............................................................... 212

5.8.1 Analyses de la situation problème 8 ........................................................... 213

5.8.2 Synthèse des activités de la situation 8 ...................................................... 216

5.9 Étape G - Activité 9 - Comparaison des résultats de la somme des poids

d'objets avec le poids global de trois objets .......................................................... 219

5.9.1 Analyses de la situation problème 9 ........................................................... 219

5.9.2 Synthèse des analyses de la situation problème 9 ...................................... 225

5.10 Étape H - Activité 10 - Unités légales de poids.................................................... 227

5.10.1 Analyses de la situation problème 10 ......................................................... 228

5.10.2 Synthèse des analyses de la situation problème 10 .................................... 232

CHAPITRE VI DISCUSSION ET CONCLUSION...................................................... 235

6.1 Activités de manipulation dans le domaine de la longueur ................................... 237

6.2 Activités de manipulation dans le domaine de la masse ........................................ 241

6.3 Les stratégies des enseignants ................................................................................ 250

6.4 Apports et limites de la recherche .......................................................................... 256

xiv

BIBLIOGRAPHIE .......................................................................................................... 259

ANNEXES ................................................................................................................... xxi

ANNEXE 1 Autorisation d'enregistrement .................................................................. xxiii

ANNEXE 2 Consentement de participation à la recherche ......................................... xxvii

ANNEXE 3 Formulaire de consentement destiné au supérieur immédiat ................... xxxi ANNEXE 4 Les trois compétences du programme de mathématiques ....................... xxxv

ANNEXE 5 Le système scolaire du Québec .............................................................. xxxix

ANNEXE 6 Définitions des élèves handicapés ou en difficulté d'adaptation ou

d'apprentissage ......................................................................................... xliii

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