[PDF] Variable et • onction travaillant sur la représentation

View - Download Variable et • onction

Previous PDF

Next PDF

702810

Ex.2

Variableetonction

influencedelamodélisationet delaprogrammationfonctionnelle

Marie-JaneHaguel

ClaudineLemoine

Variable etFonction

influencedelamodélisationet delaprogrammationfonctionnelle "Onprogramme comme on rédige, nonparcequel'onacompris maisafind'arriverà comprendre.»

JosephWeizenbaum,

dujugementau calcul, 1981, p. 74

Marie-JaneHaguelCollègede Sherbrooke

Décembre1993

Cette recherche a étésubventionnéeparlaDirectiongénéraledel'enseignementcollégial dans le cadreduProgrammed'aideà larecherchesurl'enseignementet l'apprentissage. On peut obtenirdesexemplaires de cerapportens'adressantauxauteures:

Marie-JaneHaguelet ClaudineLemoine

Départementdemathématiques

Collège deSherbrooke

475,rueParc

Sherbrooke(Québec),J1H5M7

ConceptiongraphiqueSimoneVannucci

Dépôt Légal-4etrimestre1993

Bibliothèquenationaledu

Québec

ISBN2-920916-21-1

30000007028123

iCmRLDL^UMENTATI°"COLLÉG.AU

S(auébee>

AAnne,Carole,Christiane,

Christophe,Éliane,Francis,

Marc,Nadine,Nicole...

ettouslesautresélèves La directionscientifiquedecetravail aétéassuréeparMadameGisèleLemoyne, professeurdedidactiqueàl'Universitéde Montréal.

REMERCIEMENTS

oeuvrantdansdifférentssecteurs.Ilnous estimpossibledefaireuneénumérationexhaustivedu constructives. Enfin,nousremercionsMadameGisèleLemoynedenousavoirfaitconfiancedèsledébutde ce propresélèvesavecdoigté,clairvoyanceetcompétence.Nousavonslargementprofitéde ses

RÉSUMÉ

variableet defonction.Lebuten esttriple.Nousvisonspournous-mêmesetpournos élèves à souhaitonsenexpliciteretaideràencontrôlerlesenjeuxenproposantun modedegestiondela relationdidactique.Enfinl'enseignantdésireuxd'analyserune séquencedidactiquepourratrouver danscedocumentuncanevasdetravail. appris. lesconceptsquiformentlatrameconceptuellesanslaquelleilsn'auraientpasde sens.Cetteétude permetd'apprécierl'écartentrelagenèsehistoriquedusavoirsavant etlagenèseartificielledu savoirenseignéincarnéedans une séquencedidactique. Dansundeuxièmetemps, nousexplicitonslesintentionsdelaséquencedidactique(lesavoir

enseigné); nous précisonsles objets sur lesquels nous souhaitonsque les élèvestravaillentet le

niveaud'abstractionavec lequelnous désironsqu'ilsle fassent. Nousprocédonsensuiteàl'analysedanslemêmecadredesréalisationsdes élèves(lesavoir appris).Cela permetd'identifierles leçonslorsdesquellesily arupturedans laconstructiondes connaissances. Nous avonsidentifiéces leçonscomme des"leçons-clé». Nousvérifionsenfin si les élèvesquiréussissent cesleçons-cléont uncomportement mathématique qui leur permet de réussir le cours depré-calculet le cours decalcul.Cette

vérificationamène àdéfinirlesélémentsdesavoiretledegréd'abstractionquisemblentêtre

TabledesMabledesIVIatières

VII

Remerciementsi

Résuméiii

Tabledesmatièresv

Listedesfiguresetdestableauxxi

Introduction1

Chapitre1. Unproblèmedeconcordanceentreunsavoir,desélèvesetune séquencedidactique7

1.2 Lepassagedel'enseignementà larecherche15

1.3 Le défiqueposel'émergencedesconcepts16

didactique25 Chapitre2.Analyseaufildel'histoireà larechercheducontexteconceptuel 2 9

2.1Lanécessité32

2.3L'analyse33

2.4Lesleçonsàtirerdel'histoire63

VIII

Chapitre 3 Unmodèledecompréhension67

3.1 Laconstructiondesconnaissances69

3.2 Lacompréhension d'un concept mathématique72

3.3 Lemodèlede compréhensiondeBergeronetHerscovics73

3.4 Latrameconceptuelle77

3.5La grilled'analyse81

Chapitre4Descriptionetanalysedesactivitésdelaboratoire8 3

4.1Premierlaboratoire:procédureset fichiers88

4.2 Deuxième laboratoire: calcul numérique90

4.3 Troisième laboratoire: calcul algébrique

94

4.4Quatrièmelaboratoire:opérationssur les fonctions98

4.5Cinquièmelaboratoire:suites de valeursde lavariabley102

4.6 Sixième laboratoire: modèle linéaireou exponentiel?110

4.7 Septièmelaboratoire:modèlepolynomial,suites de valeursdef(x)116

4.8Huitièmelaboratoire:géométriecartésienne, axes etpoints120

4.9 Neuvièmelaboratoire:graphe desfonctionsalgébriques en échelle naturelle124

4.10Dixièmelaboratoire:opérations sur les expressions algébriques128

4.12Imageglobale etdynamiquedel'enchaînementdesactivités de laboratoire140

IX

Chapitre5 Leportraitdesélèves143

5.1 Lecheminementscolaireantérieur145

5.2 Les résultats d'unquestionnaire:refletdes acquis156

5.3Lesneufélèvesobservés161

Chapitre6 Lerapportdel'ensembledesélèvesausavoir165

6.1Premierlaboratoire168

6.2Deuxièmelaboratoire169

6.3Troisièmelaboratoire176

6.4Quatrièmelaboratoire181

6.5Premièreentrevue191

6.6Cinquièmelaboratoire193

6.7Sixièmelaboratoire202

6.8Secondeentrevue208

6.9Troisièmeleçon-clé,lacomparaisondes modèleslinéaireetexponentiel209

6.10Septièmelaboratoire211

6.11Huitièmelaboratoire212

6.12Neuvièmelaboratoire215

6.13Troisièmeentrevue220

6.14Unepistedetravailàpoursuivre222

7.1Lecheminementindividuel226

7.2 Le palierd'abstractionrequis pour les cours de pré-calcul et de calcul267

7.3 La spécificité de l'ordre collégialdansl'ensemble de laformationmathématique....270

Conclusion.273

1Lesrésultatsdel'étude275

2.Lessuitesetretombéesdel'étude279

Bibliographie.283

Annexesjcvli

Annexen86:Entrevueslix

L istedesfiguresettableaux xiii

Listedesfigures

Figure1.Lesystèmedidactiqueet larelationdidactique19 Figure2. Lasituationdidactiqueavecenseignant-chercheur25 26,31
Figure5.L'analysedesproductionsdes élèvesetdeleurrapportausavoir27, 167 225
Figure6.Oresme:illustrationdu théorème deMerton39

Figure 7. Classification

desfonctions selonEuler50 Figure 8. Descriptiondu premier laboratoiredansle cahier89

Figure 9. Diagramme de plomberie90

Figure 10. Descriptiondu deuxième laboratoiredansle cahier91 Figure11. Descriptiondu troisième laboratoiredanslecahier93 Figure12. Descriptiondu quatrième laboratoiredanslecahier 97
Figure 13. Diagramme de plomberiede la somme de deux fonctions98 Figure14.Diagrammedeplomberiede lacomposée de deuxfonctions99 Figure15.Descriptiondu cinquièmelaboratoiredans lecahier101 Figure16.Simulationdel'exécutionde laprocédureAUGMENTER104 Figure 17. Description du sixièmelaboratoiredanslecahier109 Figure 18. Descriptionduseptièmelaboratoiredansle cahier117 Figure 19. Description du huitième laboratoiredanslecahier121

Figure 20. Description duneuvièmelaboratoire

danslecahier123 Figure 21. Description du dixième laboratoiredanslecahier129 Figure 22. Descriptiondu onzième laboratoiredanslecahier135 Figure 23.Dynamiquedel'enchaînementdeslaboratoires142 173
Figure27.Anne:diagrammedeplomberied'une expressionpréfixée174 Figure 29. Anne:domainede lacomposéede deux fonctions175 Figure30.Anne:calculdel'imaged'unélémentpar lacomposée de deuxfonctions175 Figure31.Francis:représentationd'unefonctionpar uneprocédure177 Figure32.Nicole:représentationd'unefonctionpar une procédure177 XIV Figure 33. Diagramme de plomberie de lacomposéef(g(x))182 Figure 34.Diagrammedepomberiedu produit de deux fonctions185 Figure 35. Diagrammedeplomberie de lacomposéede deux fonctions185 Figure36.Comparaisonentre la procédure et le diagramme de plomberie pour le produitde deux fonctions186 Figure 37.Identificationdessimilitudes etdesdifférences entre le diagramme de lacomposéeet celui duproduitdedeuxfonctions186 Figure38. Marc:reconnaissancedesparamètresdansune mise en équation205 Figure39. Anne:reconnaissancedesparamètresdansune mise en équation206

Figure40.Anne:notationfonctionnelle207

Listedestableaux

TableauI.Le modèle de compréhension de Bergeronet Herscovics73

Tableau

II.La grilled'analysede la compréhension invoquée82 TableauIII.Synthèsede l'analyse du premier laboratoire88 TableauIV.Synthèsede l'analyse du deuxième laboratoire92 TableauV.Synthèsedel'analysedu troisième laboratoire96 TableauVI.Synthèsede l'analyse du quatrième laboratoire100 TableauVII.Synthèsede l'analyse du cinquième laboratoire108 TableauVIII.Synthèsede l'analyse du sixième laboratoire115 TableauIX.Synthèsede l'analyse du septièmelaboratoire119 Tableau X.Synthèsede l'analyse du huitième laboratoire122 TableauXI.Synthèsede l'analyse du neuvième laboratoire127 TableauXII.Synthèsede l'analyse du dixième laboratoire133 TableauXIII.Synthèsede l'analyse du onzième laboratoire140 TableauXIV.Imageglobaledesactivités de laboratoire141 TableauXV.Tempsalloué aux objectifs par niveau149 TableauXVIII.Réussitedudiagrammede plomberie et de lareprésentationd'unefonction par une procédure179 TableauXIX.Réussitedestâchesayant trait auxopérationssur les fonctions188 TableauXX.Comparaisondesmodèleslinéaire et exponentiel etcompréhensiondesconceptsde variableetdefonction210

TableauXXI.LasessiondeChristiane227

XV

TableauXXII.LasessiondeNicole231

TableauXXIII.Lasession deCarole236

TableauXXIV.LasessiondeFrancis240

TableauXXV. Lasessiond*Eiiane244

TableauXXVI.Lasession deChristophe249

TableauXXVII. Lasessionde Nadine254

TableauXXVIII.Lasessiond'Anne259

TableauXXIX.LasessiondeMarc263

TableauXXX.Cheminementdes neufélèvesobservéssurlesleçons-clé267

Introduction

didacticiensedemandes'iln'ya pasconversiond'objet. questions.

Introduction

latrame conceptuelle sanslaquelleilsn'auraientpasde sens. Cette étude permet d'apprécierl'écart

entre le savoir savant et le savoir enseigné.Ellepermet de comparer lagenèseartificielleque renseignant crée lorsde laconception d'uneséquencedidactique,avec lagenèsehistoriqueet de jugerdelafidélitédelaséquence à unecertaineculturemathématiqueque tout enseignement devraittransmettre. Un autrevolet de l'étude consiste àexpliciterlesintentionsde laséquencedidactique(le savoir de la compréhension des concepts mathématiques. Cette théorie est un moyen de rendre explicitesles choixdidactiqueset dedécrirelatranspositiondidactiquequia étéfaite. Or,la séquencedidactiquen'est qu'une suite depropositionsvisant àprovoquer,parun jeu de

manqueset de conflits, laconstructionpar l'élève d'un édifice deconnaissancesstructurées.

L'enseignantn'a pas lecontrôlede cetteconstructionet sesintentionsne seconcrétisentpas nécessairementcheztous lesélèvesde l'examendesacquisitionsdes élèves. Cet examen ne peutfaireabstractionde leursconnaissances

enévidencedeleçons-cléparcontrasteavec celles où ilsefaitde laconsolidation. On fera enfin un

retourcritiquesur laséquenced'enseignement.L'ensembleduproblèmeconsiste àvérifiers'ily a concordance entre le savoir,laséquencedidactiqueet les élèves. permettent ladescriptiondesévénementsdidactiques.L'analysehistoriqueestprésentéedans le second chapitre avec sonapplicationà l'analyse de laséquencedidactique.Dans le troisième chapitre,on expose le modèle de compréhensiondeBergeronetHerscovics,et on y intègre le concept de trame conceptuelle pourélaborerunegrilled'analyse. Dans le quatrièmechapitre,on

présente et on analyse laséquence àl'aidedelagrille.Aprèsque les élèvesaientété présentés

dans lecinquièmechapitre,on analyse leursproductionsdans les sixième et septième chapitres.Il

s'agitdesréalisationsclassiques dans unenseignement:exercices,examenspériodiques,rapports delaboratoire.Nous vérifions aussi un certain nombred'apprentissageslorsd'entrevuessemi-

structurées.Dans lesixièmechapitre, on identifie, grâce à l'analyse du rapport collectifdesélèves

au savoir, les leçons-clé, celles quioccasionnentdessautsconceptuels.L'analyse du rapport individueldesélèvesau savoir,présentéeau septième chapitre, permet de distinguer des

comportementsmathématiquesdifférentschezlesélèvesquiréussissentles leçons-clé etchezles

autres. Lesconclusionsde l'étude ainsi queseslimites et les suitessouhaitablesfigurentau chapitrehuit.

Introduction

Noussouhaitonsquelelecteurenseignantretrouvedanscerapport tout le plaisir qu'il y a,après avoirlivréune proposition didactique à desélèves,à les voirlatransformer,sel'approprier,y trouver

la surprise de ladécouverteet lasatisfactionde l'activitéintellectuelle.Puisse-t-ilaussiytrouverun

cadred'analysepour lesmomentsquiprécèdentl'entrée en jeudesélèves,momentsmoins confortables,et pourtant bien plusessentielspuisquec'estletempsdesdécisions,où ilse demandesi sa propositionestvalable et pourquoi elle le serait. Quant au lecteur quin'enseigne touteentreprised'enseignement,lerespectprofonddesélèvessanslequel toutecettedémarche n'a pas de sens.Lesélèvesméritent cerespect,euxquitraversentcetteséquencesansen connaîtred'avanceles clésquele lecteurs'apprêteàlire.

Introduction

1 rroblèmedewUnrroblèmedeconcordance souvent user de termes oude mots propresen lascience quine sontpascommunellemententendusnecogneusde chascun...

NicolasOresme

(citéparChevallard(1988)) d'uneautreséquence. Lecourspourlequelnousavonsdéveloppélaséquencedidactiquequenous nousproposons les

mieuxpréparés,lesplusmotivésauxétudes et lesplusattirésparl'activitéintellectuelle.

Traditionnellementces élèvess'inscriventàunprogrammegénéraletenvisagentcinqansd'études

aumoinsavantdedébouchersurlemarchédu travail. Les élèvesinscritsau cours201-302-85n'envisagentquetroisans d'étudesavantdes'insérer quelegoûtdel'activitéintellectuelle,sontsourcesdemotivationpources élèvesquiontpourla plupartune attitudesérieusequant à leurs études. Chapitre1.Unproblèmedeconcordanceentreunsavoir,des élèveset uneséquencedidactique 10 coursdecalculdifférentiel.Parailleurs,afin derespecterl'orientationdesélèvesconcernés, disonstravaillerdanslecadred'uncoursde pré-calculappliquéà lagestion. d'apprentissageduconceptde fonction, enfin,nousavonsoptépouruneutilisation lasubjectivitédecesdécisionsqui nesontpassansfondementet dontnousdécrivonslesraisons danslesparagraphesquisuivent. appuientcechoix. Pour leschercheursqui travaillentsurl'enseignementde l'algèbre ausecondaire,l'apprentissage del'algèbredébouchenaturellement surlesconceptsde variable et de fonction. Nousfaisonsici allusion àKûchemann(1981), Booth (1984),Sutherland(1989a,b,c) etHerscovics(1989). Pourfaire un lienentrelacomplexitéstructurelled'unetâchealgébriqueetsadifficultépourun groupe d'âgedonné,Kûchemannet Boothproposentcommetâchesles pluscomplexesd'établir algébriquementun lienfonctionnelentredesélémentsde figuresgéométriques. Sutherland,dansuneétudesurledéveloppementde lapenséealgébriquedansun elle Enfin,Herscovics,danslecadrede ladescriptiondesdifficultésrencontréesparlesélèvesdans

l'apprentissagedel'algèbreà différents niveauxscolaires,cite pour lesélèvesles plusavancésles

Chapitre1. Unproblèmedeconcordanceentreun savoir,desélèveset uneséquencedidactique 11 conceptde fonction.D'aprèslui,dansl'enseignementdesmathématiques,lesfonctions descendent ducalculvia lesreprésentationsgraphiqueset avec lesupportdeséquations,vers

l'enseignementélémentaireet jusqu'aux premièresannéesde celui-cioù elles sontconcrétisées

pardes machinesimaginaires,expriméeset symboliséesdans le langage des tables et desflèches. commun avec les fonctions et lafonctionnalité.N'ya-t-ilpasundangerà nommer"fonction"ces objetset unrisquedebanalisation,deréductionvoirede perte?Cesexemplesnepeuvent-ilspas un jour devenirdes obstacles àl'acquisitiondu concept defonction?Les élèves quiarrivent aujourd'huiaucollégialont-ilsde telsproblèmesavecleconceptdefonction? Toutefois,laquestionn'est pas desavoirsi lesfonctionsontleurplacedansl'enseignementquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

[PDF] Aidez moi svp je n'arrives pas 3ème Mathématiques

[PDF] AIDEZ MOI SVP je suis deseperé!!! 2nde Histoire

[PDF] Aidez moi svp maintenant pour expliquer cette phrase 2nde Français

[PDF] Aidez moi svp maths 3eme urgent 3ème Mathématiques

[PDF] Aidez moi svp merci :) 4ème Mathématiques

[PDF] aidez moi svp pour l'exercice 1et2 merci 3ème Mathématiques

[PDF] AIDEZ MOI SVP POUR ME CORRIGER MES ERREURS DE MON DM 1ère Espagnol

[PDF] aidez moi svp pour mon dm de maths 3ème Mathématiques

[PDF] Aidez moi svp pour un sketch svp 3ème Français

[PDF] AIDEZ MOI SVP POUR UNE RÉDATION JE NE SAIS PAS DE QUOI PARLER 4ème Français

[PDF] AIDEZ MOI SVP REDACTION 2nde Français

[PDF] Aidez moi svp svp , devoir d'anglais : sujet Table Manners 2nde Anglais

[PDF] aidez moi svp urgent 2nde Géographie

[PDF] aidez moi svp URGENT 3ème Mathématiques

[PDF] AIDEZ MOI SVP URGENT ! 3ème Français