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use the forward elimination steps of Gauss elimination method to find determinant of a square matrix, relate the zero and non-zero value of the determinant of a square matrix to the existence or non-existence of the matrix inverse. enumerate the pitfalls of the Naïve Gauss elimination method
Can Gaussian elimination be applied with partial pivoting?
Well, you can apply Gaussian elimination with partial pivoting. However, the determinant of the resulting upper triangular matrix may differ by a sign. The following theorem applies in addition to the previous two to find the determinant of a square matrix. Let lbrack Arbrack be a n imes n matrix.
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UniversiteReneDescartes
UFRdemathematiquesetinformatique
chapitre2MethodedeGauss-Jordan
Calculdel'inversed'unematrice
Methodesnumeriques2003/2004-D.Pastre
licencedemathematiquesetlicenceMASS 1MethodedeGauss-Jordan
VariantedelamethodedeGauss(gauss1):
alakemeetape,oncombinetoutesleslignes (sauflalignek)aveclalignek(aulieudene k) saufauniveaudupivota(k) kkExemple:
A=2 6 4214335
4523
7 5B=2 6 48
14 163
7 5 2
A(1)=2
6411=224
03=21 2 03603 7
5ligne1/2
ligne2-3ligne1 ligne3-4ligne1 ligne2/32A(2)=2
64107=310=3
012=3 4=3 004 437
5ligne1-12ligne2
ligne3-3ligne2 ligne3/4A(3)=2
6 41001010 2 001 13 7
5ligne1+73ligne3
ligne2-23ligne3Onadirectementlesracinesdansla4ecolonne.
3 A=2 6 4a11a12a13a14a21a22a23
a24a31a32a33 a343 7 5 A (2)=2 6 6 641a(2)
12a(2)
13 a(2) 14 0a(2)22a(2)
23a(2) 24
0a(2)
32a(2)
33a(2) 343
7 7 7 5 A (3)=2 6 6 6
410a(3)
13 a(3) 1401a(3)
23a(3) 24
00a(3)
33a(3) 343
7 7 7 5 A (4)=2 6 6 6 4100
a(4) 14 010 a(4) 24
001 a(4) 343
7 7 7 5
Iln'yadoncpasdephasederemontee.
Maisonfaitplusd'operations.
4Algorithme
Commeprecedemmentpour:
-rechechedupivot(nonnuloumax) -nouvellelignek dierentpour: -nouvelleslignesi pourk=1an recherchedupivot(nonnuloumax) echangeeventueldelignes flepivotakk6=0g divisiondelalignekparakk pouri=1ansaufk, retrancheralalignei lanouvellelignekmultiplieeparaik (pourlescolonnesdek(ouk+1)an lessolutionssontdansla(n+1)emecolonne (xi=ai;n+1) 5Complexite
Lenombred'operationsestdel'ordrede
n3aulieude2n3
3Averierenexercice.
Doncmoinsinteressantquel'algorithmede
Gauss.
l'inversed'unematrice. 6Calculdel'inversed'unematrice
Onutiliselaproprietesuivante:
lejevecteurcolonnedeA1estXj=A12 6 6 6 6 6 400 1 03 7 7 7 7 7 5 etestdoncsolutiondusystemeAXj=2 6 6 6 6 6 40
0 1 03 7 7 7 7 7 5
Onvaresoudrelesnsystemesenm^emetemps
parlamethodedeGauss-Jordan2 6 4 100A 010 0013 7
5conduiraa2
6 4100010X1X2X3
001 3 7 5 etA1=hX1X2X3i 7Calcul
AExemple
2 4a11a12a13
100a
21a22a23
010 a31a32a33
0013 524214
100
335
010 452
0013 5 2 6
41a(2)
12a(2)
13 b(2) 11000a(2)
22a(2)
23b(2) 2110
0a(2)
32a(2)
33b(2) 31013
7 52
411=22
1=200 03=21 3=210 0362013
5 2 6
410a(3)
13 b(3)11b(3)
12001a(3)
23b(3)
21b(3)
22000a(3)
33b(3)
31b(3)
32137 52
4107=3
11=30 012=3 12=30 004 12135 2 6 4100
b(4)
11b(4)
12b(4)
13 010 b(4)quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] le livre des merveilles marco polo texte intégral pdf
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