[PDF] Corrig´es de la s´eance 2 Chap 3: Cin´ematique - acc´el´eration

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Corrig

´es de la s´eance 2

Chap 3: Cin

´ematique - acc´el´eration

Questions pour r

´efl´echirQ4 p.106.Oubliant le mouvement propre de la plan`ete, pourquoi peut-on dire que tout objet qui se d ´eplace d"une distance appr´eciable sur la surface de la Terre est acc

´el´er´e?

Parce que la surface de la Terre n"est pas plate. Le vecteur vitesse de l"objet en mouvement change de direction; il y a donc acc

´el´eration.v1

v2 v2-v1Q11. p.106.Supposons que vousˆetes dans un ascenseur en chute libre et que vous laissez tomber vos cl

´es sans vitesse initiale juste devant vos

yeux. Expliquez ce qui arrive `a ces cl´es.

Le trousseau de cl

´es restera devant vos yeux tout le long de la chute. Consid´erons ce qui se passe depuis un r ´ef´erentiel inertiel immobile ext´erieur`a l"ascenseur. Les cl ´es sont lˆach´ees avec une vitesse initialev0´egale`a celle du passager au moment du l ˆacher. Puis elles tombent en chute libre. Elles subissent donc une acc´el´eration gidentique`a celle du passager et de l"ascenseur, qui tombent eux aussi en chute libre. Donc en tout instant l"altitude du passager et des cl

´es restent les mˆemes.

1

Exercices - Notions d"acc

´el´eration2. [1]p.107.Un oiseau migrateur est observ´e`a 14 h 02 min se dirigeant vers le sud `a une vitesse de 50 km/h. A 14 h 06 min, il est observ´e toujours dirig´e vers le sud mais avec une vitesse de 40 km/h. Calculer son acc

´el´eration

moyenne sur cette p

´eriode.

t1=14 h 02 min t

2=14 h 06 min&~v1= 50km/h~1S

~v

2= 40km/h~1S

o `u~1Sest un vecteur d"unit´e dirig´e vers le sud. t=t2t1= 4min = 1/15 h. La diff´erence de vitesses est~v=~v2~v1=10 km/h ~1S. L"acc

´el´eration moyenne est donn´ee par

~a

m=~vt=10km/h~1S(1=15)h=150km/h2~1S=0;012m/s2~1S18. [II] p.108.La figure P18 est une repr´esentation graphique de la vitesse

scalaire en fonction du temps pour trois cyclistes. D

´ecrire leurs mou-

vements et calculer leur acc ´el´erations moyennes sur tout l"intervalle (de temps) consid

´er´e.

mouvement (2): la vitesse augmente lin ´eairement avec le temps)l"acc´el´eration instantan ´ee est constante et vaut l"acc´el´eration moyenne. a=vt=v2v1t

2t1=(61)m/s(72)s= 1m/s2

2 mouvement (3): vitesse constante pendant 2 s, puis acc

´el´eration constante pendant

3 s. Comme les vitesses de d

´epart et d"arriv´ee sont les mˆemes que pour le mouve- ment 2, l"acc ´el´eration moyenne sur l"intervalle de temps[2;7]s est aussi la mˆeme. mouvement (1): acc ´el´erationinstantan´eevariablesur[2;7]s, maismˆemeacc´el´eration

moyenne que pour les autres mouvements.(27.) [cc] p.109.Une souris se d´eplace le long d"un tube de verre droit

selon l" ´equations(t) =0;10m/s3t30;60m/s2t2+(0;90m/s)to`usest mesur ´e`a partir de l"extr´emit´e du tube. (a) D´eterminer la valeur alg´ebrique de la vitesse `a tout instantt. (b) Quelles sont les valeurs alg´ebriques de la vitesse aux instantst=1,0s, 2,0s et 4,0s ? (c) A quel instant la souris est-elle au repos? (a)La vitesse est la d´eriv´ee despar rapport`at: v(t) =dsdt = 0;30t21;20t+ 0;90;pour rappel: ddt tm=mtm1(b)Les valeurs de la vitesse sont: vt

0 m/s1,0s

-0,30 m/s2,0s

0,90 m/s4,0s

Le graphique de la vitesse en fonction du temps est: 3 (c)La souris est au repos quandv= 0. On sait de la question (b) que pourt= 1s, la vitesse est nulle, maisv(t)´etant un polynˆome de second degr´e il y a 0, 1 ou 2 solutions r

´eelles:

t

1;2=(1;20)p(1;20)240;300;9020;30= 1set3s

La souris est donc au repos aux instantst= 1s ett= 3s.24. [III] p.109.Deux motocyclistes roulent directement l"un vers l"autre.

Chacun s"est lanc

´e de l"arrˆet avec une acc´el´eration constante de 5,5 m/s2. A quelle vitesse s"approchent-ils l"un vers l"autre apr `es 2,0s? A cet instant, quelle distance ont-ils parcourue depuis leur point de d

´epart?

Sim1;m2sont les deux motocyclistes,aleurs acc´el´erations, leurs vitesses sont donn

´ees parvm1=at

v m2=at la vitesse relative dem2par rapport`am1est v=vm2vm1=2at=11thms i at= 2s,v=22m/s = 79 km/h. Ils ont chacun parcourud=12 at2=

0;55;5m=s24s2= 11m.

4

Exercices - Mouvement uniform

´ement acc´el´er´e / Chute libre40. [I] p.109.Un kangourou peut sauter verticalement`a une hauteur de

2,5m. Quelle est sa vitesse de d

´ecollage?

Dans le cas d"un mouvement uniform

´ement acc´el´er´e, la distance parcourueset les vitesses initialeviet finalevfsont li´ees par v

2f=v2i+ 2as:

Au sommet du saut,vf= 0m/s. La vitesse initiale vaut donc v i=p2g2;5m= 7;1m/s:

NB: on peut aussi r

´esoudre l"exercice en partant des´equations du mouvement du kangourou:v(t) =vigt z(t) =vit12 gt2 o `uviest sa vitesse de d´ecollage et l"axe deszest orient´e vers le haut. On sait aussi que zmax=z(tmax) = 2;5m. Au moment o`u le kangourou atteint ces 2,5m, sa vitesse doitˆetre nulle, car il inverse son mouvement et retombe au sol)v(tmax) = 0.

Onremplacecesdeuxinformationsdansles

v(tmax) = 0 =vigtmax)tmax=vig et z max= 2;5m= 0+vivig 12 gvig 2 )2;5m=12 v 2ig )vi= 7;1m/s44. [I] p.110.En roulant`a 80 km/h un jour de brouillard, o`u la visibilit´e est seulement de 80 m, le conducteur voit brusquement une voiture arr

ˆet´ee au

milieu de la route `a cause d"un accident. Quelle doitˆetre sa d´ec´el´eration pour

´eviter la collision avec cette voiture?

vi= 80km/h;vf= 0km/h (arrˆet) visibilit´e = 80m = distance maximale d"arrˆet 5 En utilisant la formulev2f=v2i+ 2as, on trouve imm´ediatement: a=v2i2s=80220;080=4;0104km/h2=3;1m/s2:

NB: on peut aussi r

´esoudre l"exercice en partant des´equations du mouvement: v(t) =vi+at x(t) =vit+12 at2

Quand la voiture a compl

`etement frein´e,v(tarrˆet) = 0)0 =vi+atarrˆet, c.`a.d. t arrˆet=via

On veut qu"au maximum, la voiture s"arr

ˆete apr`es une distance de 80 m, donc

0;080km=vitarrˆet+12

at2arrˆet=v2i2a

On obtient ainsi la d

´ec´el´eration

a=80220;080=4104km/h2=3;1m/s2:

Le temps d"arr

ˆet esttarrˆet= 7;2s.77. [I] p.111.Supposons que vous pointiez un fusil horizontalement exacte-

ment vers le centre d"une cible situ

´ee`a une distance de 100m. Si la vitesse

de la balle au sortir du canon est de 1000 m/s, o `u frappe-t-elle la cible? (On suppose que les effets a

´erodynamiques sont n´egligeables).

Le mouvement se fait en deux dimensions. Dans la direction ~1xil n"y a pas de frottement ni d"acc ´el´eration. Dans la direction~1zdirig´ee vers le haut, la balle est soumise `a la pesanteur terrestre:~g=g~1z. vx=v0x v z=v0zgt Le d

´eplacement estx=v0xt+x0

z=z0+v0zt12 gt2

On choisit le r

´ef´erentiel suivant:x0= 0;z0= 0et l"´enonc´e nous donne les valeurs initiales des vitesses:v0x= 1000m/s,v0z= 0. Le temps de voltvolest d´etermin´e par le mouvement horizontal: x=v0xtvol)tvol=xv

0x=1001000

s= 0;1s 6 Le d

´eplacement vertical vaut donc12

gt2vol=0:5100;12=0;05m. La

balle touche la cible 5 cm sous le centre de celle-ci.(67.) [I] p.111.Vous tombez d"une chaise haute de 0,50m. N´egligeant la

r ´esistance de l"air,`a quelle vitesse heurtez-vous le plancher?

Equations du mouvement (

~1zdirig´e vers le haut,~g=g~1z,g= 10m/s2): vz=v0zgt z=z0+v0zt12 gt2

Conditions initiales:

v0z= 0 z

0= 0;5m

Temps de chute:

vz(tchute) =gtchute

0 = 0:512

10(tchute)2)tchute=p2(0;5)=10 = 0;32s

et la vitesse au moment o `u on touche le planchervz(tchute) =100;32 =3;2 m/s.(82.) [I] p.111.L"attraction gravitationnelle`a la surface de la Lune est d"environg=6. Si une balle lanc´ee verticalement atteint une hauteur de

25m sur Terre, quelle hauteur atteint-elle sur la Lune, si elle est lanc

´ee`a la

m ˆeme vitesse? N´egliger les effets de la r´esistance de l"air.

Prenons

~1zdirig´e vers le haut,~g=g~1z,g= 10m/s2. Au tempstmaxo`u la balle s"arr

ˆete on a:

0 =v0gtmax

h max=v0tmax12 gt2max)tmax=v0g )h=v202g donc hL=v20=(2gL) h

T=v20=(2gT)maisgL=gT=6)hL= 6v20g

T= 6v20hTv

20 = 6hT )hL= 625 = 150m.49. [II] p.110.Un conducteur conduisant`a 60 km/h voit un animal sauter sur la route; il freine. Son acc ´el´eration´etant -7 m/s2, il s"arrˆete apr`es avoir parcouru 23,3m. Quel

´etait son temps de r´eaction ?

Avant que le conducteur ne r

´eagisse, la voiture roule`a vitesse constante. Pendant le freinage, la voiture d ´ec´el`ere uniform´ement`a -7m/s2. La distance de freinage est 7 donn

´ee par

d freinage=v202a= 19;8m:

La distance parcourue

`a vitesse constante avant de r´eagir vautdr´eaction= 23;3m

19;8m=v0tr´eaction. Donctr´eaction=3;5m16;7m/s= 0;21s.(100.) [II] p.112.Le saumon, nageant pour revenir`a sa zone de reproduc-

tion, bondit au-dessus de toutes sortes d"obstacles. Le record de saut en hauteur atteint par ce poisson est de 3,45m. Supposant qu"il saute `a 45o, quelle est sa vitesse `a la sortie de l"eau?h d max

θmaxz

xLe mouvement est en deux dimensions. Dans la directionzon a un mouvement uniform

´ement d´ec´el´er´e, donc

v

2z=v20z2ghmax:

On trouvev0z=p29;813;45 = 8;23m/s. Le module du vecteur vitesse vaut doncj~vj=v0z=sin= 11;6m/s.

NB: On peut aussi r

´esoudre l"exercice`a partir des´equations du mouvement: x(t) =v0xt z(t) =v0zt1=2gt2 On projette le vecteur vitesse initiale sur les axesxetz: ~v

0=v0x~1x+v0z~1z

=j~v0j cos~1x+ sin~1z o `u= 45o. On a doncv0xv0z=v0=p2. On d ´etermine la hauteur maximale en imposantvz(tmax) = 0: v z(tmax) = 0 =v0zgtmax)tmax=v0zg =v0p2g La hauteur maximale est de 3,45m, ce qui implique une vitesse initiale de h max= 3;45 =v0ztmax12 gt2max=v204g)v0=p4ghmax= 11;6m/s 8

65. [III] p.111.Superman court le long de la voie ferr´ee`a la vitesse de

100km/h. Il atteint l"arri

`ere d"un train de marchandises de longueur 500m roulant `a 50 km/h. A ce moment-l`a il acc´el`ere`a 10m/s2. Quelle distance parcourt le train jusqu" `a ce que Superman atteigne la locomotive ? Les positions respectives de Superman (S) et de la locomotive (T) sont xS=v0St+12 aSt2 x

T=v0Tt+LT

o `uLT= 500m,v0S= 100km/h = 27,8 m/s,aS= 10m/s2etv0T= 13;9m/s. Les distances parcourues en fonction du temps sont repr ´esent´ees`a la figure ci-dessous.L"intersectiondesdeuxcourbescorrespondaumomento `uSupermanatteintl"extremit´e de la locomotive. Les courbes se croisent `atCetxS(tC) =xT(tC), c.`a.d. v

0StC+12

aSt2C=LT+v0TtC)5;00t2C+ 13;9tC500 = 0

La solution g

´en´erale d"une´equation de deuxi`eme ordre estat

2+bt+c= 0)t=bpb

24ac2aPoura= 5;00;b= 13;9;c=500, la solution esttC= 8;7s.

La distance parcourue par le train en cestCsecondes estxT=v0TtC= 121m. 9

QUESTION DE L"EXAMEN DE JANVIER 2006

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