LA DÉRIVÉE SECONDE
Une fonction convexe possède une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut. Au contraire une fonction concave possède une
1 Dérivées premières et secondes dune fonction de une ou deux
dérivée seconde qu'on notera f (x). f(x) = ex les fonctions f(x y) suivantes
Dérivation accroissement et calcul marginal
MATHEMATIQUES APPLIQUEES (L1 AES) Dérivation accroissement et calcul marginal APPLICATION : Calcul de la vitesse moyenne à la 4eme seconde :.
Utilisation de la dérivée en sciences physiques
La dérivée première de la fonction est notée y'(x) et sa dérivée seconde y"(x). Cet outil est utilisé en sciences physiques avec les mêmes règles de calcul
Comprendre les dérivées partielles et leurs notations
notations et surtout d'expliquer comment calculer rapidement une dérivée De même pour calculer la dérivée partielle de f suivant la la deuxième.
Fonctions de deux variables
Calcul de la seconde dérivée partielle. Pour calculer la seconde dérivée partielle on consid`ere x comme un param`etre et on dérive ”en y”. Exemple.
Calculer des dérivées avec la fonction exponentielle
Toujours avoir en tête que le but d'un calcul de dérivée est de faire une étude EXERCICE 19.1 Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :.
Thème 15: Dérivée dune fonction les règles de calcul
Exercice 15.1: Calculer la dérivée des fonctions suivantes: Il s'agit de la dérivée de la première · la deuxième + la première · la dérivée.
IV DÉRIVATION NUMÉRIQUE
Le calcul de la dérivée peut être : Onéreux (expression difficile `a évaluer). Analyse Numérique – R. Touzani. Dérivation numérique.
5.15. Théorème Dérivée et monotonie.
f est croissante sur I si et seulement si la fonction dérivée f/ est positive on calcule la dérivée seconde f// on étudie son signe pour déterminer les ...
La dérivée seconde- - HEC Montréal
dérivée seconde 1 Effectuer la dérivée première de B : T ; ; 2 Trouver tous les points stationnaires ; 3 Effectuer la dérivée seconde de B : T ; ; 4 Évaluer B ñ ñ : T ; aux points stationnaires ; 5 Appliquer la règle de la dérivée seconde Conclure
Dérivée d’une fonction - e Math
4 Calculer l’équation de la tangente (T0) à la courbe d’équation y? x3 ¡x2 ¡x au point d’abscisse x0 ?2 Calculer x1 a?n que la tangente (T1) au point d’abscisse x1 soit paral-lèle à (T0) 5 Montrer que si une fonction f est paire et dérivable alors f0 est une fonction impaire
Thème 15: Dérivée d’une fonction les règles de calcul
La dérivée d’une multiplication Calculer la dérivée de f (x) = 2(x2 + 8)(x + 5) Exercice 15 7: Calculer la dérivée des fonctions suivantes: a) f (x) = (x2 – 3)(4x – 5) b) f (x) = (x + 4)2 c) f (x) = (x – 4)(3x + 2) d) f (x) = (10x2 – 1)(5x2 – 2) e) f (x) = (3x2 + 4)(2x – 7) f) f (x) = 3 2 (2x2 – 5)(x2 + 8)
Comment calculer une dérivée seconde ?
Calculer une dérivée seconde. Connaitre la notion de point d’inflexion. Utiliser une dérivée seconde. La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée d'une fonction, lorsqu'elle est définie. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et C sa courbe représentative.
Qu'est-ce que la dérivée seconde d'une fonction?
La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée d'une fonction, lorsqu'elle est définie. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et C sa courbe représentative. On dit que C admet un point d’inflexion si, en ce point, la courbe C traverse sa tangente.
Qu'est-ce que la dérivée seconde ?
La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée d'une fonction f , lorsqu'elle est définie sur un intervalle I. Dans ce cas, on dit que la fonction f est deux fois dérivable sur I . On considère la fonction qui est définie sur . Sa dérivée est la fonction qui est définie sur . Sa dérivée seconde est 6 x qui est définie sur . b. Notation
Comment calculer la dérivée seconde et extremum local ?
Dérivée seconde et extremum local Si f’’ est positive sur I et si, pour un réel c de I, f’ ( c ) = 0, alors f admet un minimum sur I en c . On considère la fonction définie et deux fois dérivable sur .
IV D ERIVATION NUMERIQUE
Analyse Numerique
Tronc Commun
Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique1Un exemple
Calcul approche de la derivee en
12 (a+b). Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique2 La derivee d'une fonctionfen un pointx2Rest denie parf0(x) := limh!0f(x+h)f(x)h
Le calcul de la derivee peut ^etre :
Onereux (expression dicile a evaluer)
Imprecis : Fonction donnee par un ensemble discret de valeurs (donneesexperimentales par exemple)Impossible : Derivees intervenant dans des equations dierentielles par exemple
Idee simple : Calculer le quotient dierentiel :
f0(x)f(x+h)f(x)h
jhj 1Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique3 La derivee d'une fonctionfen un pointx2Rest denie parf0(x) := limh!0f(x+h)f(x)h
Le calcul de la derivee peut ^etre :
Onereux (expression dicile a evaluer)
Imprecis : Fonction donnee par un ensemble discret de valeurs (donneesexperimentales par exemple)Impossible : Derivees intervenant dans des equations dierentielles par exemple
Idee simple : Calculer le quotient dierentiel :
f0(x)f(x+h)f(x)h
jhj 1Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique3 La derivee d'une fonctionfen un pointx2Rest denie parf0(x) := limh!0f(x+h)f(x)h
Le calcul de la derivee peut ^etre :
Onereux (expression dicile a evaluer)
Imprecis : Fonction donnee par un ensemble discret de valeurs (donneesexperimentales par exemple)Impossible : Derivees intervenant dans des equations dierentielles par exemple
Idee simple : Calculer le quotient dierentiel :
f0(x)f(x+h)f(x)h
jhj 1Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique3 La derivee d'une fonctionfen un pointx2Rest denie parf0(x) := limh!0f(x+h)f(x)h
Le calcul de la derivee peut ^etre :
Onereux (expression dicile a evaluer)
Imprecis : Fonction donnee par un ensemble discret de valeurs (donneesexperimentales par exemple)Impossible : Derivees intervenant dans des equations dierentielles par exemple
Idee simple : Calculer le quotient dierentiel :
f0(x)f(x+h)f(x)h
jhj 1Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique3 La derivee d'une fonctionfen un pointx2Rest denie parf0(x) := limh!0f(x+h)f(x)h
Le calcul de la derivee peut ^etre :
Onereux (expression dicile a evaluer)
Imprecis : Fonction donnee par un ensemble discret de valeurs (donneesexperimentales par exemple)Impossible : Derivees intervenant dans des equations dierentielles par exemple
Idee simple : Calculer le quotient dierentiel :
f0(x)f(x+h)f(x)h
jhj 1Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique3 La derivee d'une fonctionfen un pointx2Rest denie parf0(x) := limh!0f(x+h)f(x)h
Le calcul de la derivee peut ^etre :
Onereux (expression dicile a evaluer)
Imprecis : Fonction donnee par un ensemble discret de valeurs (donneesexperimentales par exemple)Impossible : Derivees intervenant dans des equations dierentielles par exemple
Idee simple : Calculer le quotient dierentiel :
f0(x)f(x+h)f(x)h
jhj 1Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique3Erreur d'arrondi : Un exemple
Supposons que l'on travaille sur un calculateur avec 3 chires signicatifs.Soitf(x) =x2. On veut calculerf0(7) = 14avec cette m ethode.Avech= 0;1, on a(7 ;1)2= 50;41f(7;1)f(7)0;1=(7;1)2720;1=50;4490;1= 14;0Avech= 0;01, on a(7 ;01)2= 49;1401f(7;01)f(7)0;01=(7;01)2720;01=49;1490;01= 10;0!!! Ainsi, une petite perturbation def(x)(erreur d'a rrondi)a induit une g rande
perturbation def0(x).Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique4Erreur d'arrondi : Un exemple
Supposons que l'on travaille sur un calculateur avec 3 chires signicatifs.Soitf(x) =x2. On veut calculerf0(7) = 14avec cette m ethode.Avech= 0;1, on a(7 ;1)2= 50;41f(7;1)f(7)0;1=(7;1)2720;1=50;4490;1= 14;0Avech= 0;01, on a(7 ;01)2= 49;1401f(7;01)f(7)0;01=(7;01)2720;01=49;1490;01= 10;0!!! Ainsi, une petite perturbation def(x)(erreur d'a rrondi)a induit une g rande
perturbation def0(x).Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique4Erreur d'arrondi : Un exemple
Supposons que l'on travaille sur un calculateur avec 3 chires signicatifs.Soitf(x) =x2. On veut calculerf0(7) = 14avec cette m ethode.Avech= 0;1, on a(7 ;1)2= 50;41f(7;1)f(7)0;1=(7;1)2720;1=50;4490;1= 14;0Avech= 0;01, on a(7 ;01)2= 49;1401f(7;01)f(7)0;01=(7;01)2720;01=49;1490;01= 10;0!!! Ainsi, une petite perturbation def(x)(erreur d'a rrondi)a induit une g rande
perturbation def0(x).Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique4Erreur d'arrondi : Un exemple
Supposons que l'on travaille sur un calculateur avec 3 chires signicatifs.Soitf(x) =x2. On veut calculerf0(7) = 14avec cette m ethode.Avech= 0;1, on a(7 ;1)2= 50;41f(7;1)f(7)0;1=(7;1)2720;1=50;4490;1= 14;0Avech= 0;01, on a(7 ;01)2= 49;1401f(7;01)f(7)0;01=(7;01)2720;01=49;1490;01= 10;0!!! Ainsi, une petite perturbation def(x)(erreur d'a rrondi)a induit une g rande
perturbation def0(x).Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique4Erreur d'arrondi : Un exemple
Supposons que l'on travaille sur un calculateur avec 3 chires signicatifs.Soitf(x) =x2. On veut calculerf0(7) = 14avec cette m ethode.Avech= 0;1, on a(7 ;1)2= 50;41f(7;1)f(7)0;1=(7;1)2720;1=50;4490;1= 14;0Avech= 0;01, on a(7 ;01)2= 49;1401f(7;01)f(7)0;01=(7;01)2720;01=49;1490;01= 10;0!!! Ainsi, une petite perturbation def(x)(erreur d'a rrondi)a induit une g rande
perturbation def0(x).Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique4Erreur d'arrondi
Soitla precision relative de la machine (ex. :7 chires signicatifs= )= 107). L'erreur absolue sur l'evaluation d'une fonctionfen un pointxest de l'ordre de jf(x)j. On peutestimer l'erreur sur le num erateurpa r jf(x+h)j+jf(x)j 2jf(x)j:L'erreur absolue sur le quotient dierentiel est alors estimee par : E a= 2f(x)h Dans le cas de l'exemple precedent (= 103), on a pourh= 0;1: E a= 2103490;1= 0;981Pourh= 0;01: E a= 2103490;0110Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique5Erreur d'arrondi
Soitla precision relative de la machine (ex. :7 chires signicatifs= )= 107). L'erreur absolue sur l'evaluation d'une fonctionfen un pointxest de l'ordre de jf(x)j. On peutestimer l'erreur sur le num erateurpa r jf(x+h)j+jf(x)j 2jf(x)j:L'erreur absolue sur le quotient dierentiel est alors estimee par : E a= 2f(x)h Dans le cas de l'exemple precedent (= 103), on a pourh= 0;1: E a= 2103490;1= 0;981Pourh= 0;01: E a= 2103490;0110Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique5Erreur d'arrondi
Soitla precision relative de la machine (ex. :7 chires signicatifs= )= 107). L'erreur absolue sur l'evaluation d'une fonctionfen un pointxest de l'ordre de jf(x)j. On peutestimer l'erreur sur le num erateurpa r jf(x+h)j+jf(x)j 2jf(x)j:L'erreur absolue sur le quotient dierentiel est alors estimee par : E a= 2f(x)h Dans le cas de l'exemple precedent (= 103), on a pourh= 0;1: E a= 2103490;1= 0;981Pourh= 0;01: E a= 2103490;0110Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique5Erreur d'arrondi
Soitla precision relative de la machine (ex. :7 chires signicatifs= )= 107). L'erreur absolue sur l'evaluation d'une fonctionfen un pointxest de l'ordre de jf(x)j. On peutestimer l'erreur sur le num erateurpa r jf(x+h)j+jf(x)j 2jf(x)j:L'erreur absolue sur le quotient dierentiel est alors estimee par : E a= 2f(x)h Dans le cas de l'exemple precedent (= 103), on a pourh= 0;1: E a= 2103490;1= 0;981Pourh= 0;01: E a= 2103490;0110Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique5Erreur de troncature
On a par la formule de Taylor (on supposef2 fois contin^ument derivable) : f(x+h) =f(x) +f0(x)h+f00(~x)h22 jx~xjErreur de troncature
On a par la formule de Taylor (on supposef2 fois contin^ument derivable) : f(x+h) =f(x) +f0(x)h+f00(~x)h22 jx~xjErreur de troncature
On a par la formule de Taylor (on supposef2 fois contin^ument derivable) : f(x+h) =f(x) +f0(x)h+f00(~x)h22 jx~xjErreur totale
Elle est denie par
E=Ea+EtAinsi pour notre methode
E= 2f(x)h
+jhj2 jf00(ex)jTh eoremeLa quantiteE= 2f(x)h
+jhj2 jf00(ex)j est minimale pour jhj= 2s f(x)f00(~x)
:Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique7Erreur totale
Elle est denie par
E=Ea+EtAinsi pour notre methode
E= 2f(x)h
+jhj2 jf00(ex)jTh eoremeLa quantiteE= 2f(x)h
+jhj2 jf00(ex)j est minimale pour jhj= 2s f(x)f00(~x)
:Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique7Erreur totale
Elle est denie par
E=Ea+EtAinsi pour notre methode
E= 2f(x)h
+jhj2 jf00(ex)jTh eoremeLa quantiteE= 2f(x)h
+jhj2 jf00(ex)j est minimale pour jhj= 2s f(x)f00(~x)
:Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique7Demonstration
Soit g(s) := 2jf(x)js +s2 jf00(ex)j=as +bs ou a= 2jf(x)j;b=12 jf00(ex)j:Puisqueaetbsont positifs, on a le graphe : Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique8 Th eoremeOn suppose quefest de classeC3et de derivees bornees. Alors on a f0(x)f(x+h)f(xh)2h h26 sup y2Rjf000(y)jEn eet, on a par la formule de Taylor : f(x+h) =f(x) +hf0(x) +h22 f00(x) +h36 f000();ou2[x;x+h]; f(xh) =f(x)hf0(x) +h22 f00(x)h36 f000();ou2[xh;x]:Donc f0(x)f(x+h)f(x+h)2h=h212
f000() +f000():Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique11 Th eoremeOn suppose quefest de classeC3et de derivees bornees. Alors on a f0(x)f(x+h)f(xh)2h h26 sup y2Rjf000(y)jEn eet, on a par la formule de Taylor : f(x+h) =f(x) +hf0(x) +h22 f00(x) +h36 f000();ou2[x;x+h]; f(xh) =f(x)hf0(x) +h22 f00(x)h36 f000();ou2[xh;x]:Donc f0(x)f(x+h)f(x+h)2h=h212
f000() +f000():Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique11 Th eoremeOn suppose quefest de classeC3et de derivees bornees. Alors on a f0(x)f(x+h)f(xh)2h h26 sup y2Rjf000(y)jEn eet, on a par la formule de Taylor : f(x+h) =f(x) +hf0(x) +h22 f00(x) +h36 f000();ou2[x;x+h]; f(xh) =f(x)hf0(x) +h22 f00(x)h36 f000();ou2[xh;x]:Donc f0(x)f(x+h)f(x+h)2h=h212
f000() +f000():Analyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique11Derivee seconde
On a f00(x)f0(x+h2
)f0(xh2 )h 1h f(x+h)f(x)h f(x)f(xh)h f(x+h)2f(x) +f(xh)h2On montre alors le resultat :
Th eoremeOn suppose quefest de classeC4et de derivees bornees jusqu'a l'ordre4 . Alors on a pour toutx2R, la majoration : f00(x)f(x+h)2f(x) +f(xh)h 2 h212 sup x2Rjf(4)(x)jAnalyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique12Derivee seconde
On a f00(x)f0(x+h2
)f0(xh2 )h 1h f(x+h)f(x)h f(x)f(xh)h f(x+h)2f(x) +f(xh)h2On montre alors le resultat :
Th eoremeOn suppose quefest de classeC4et de derivees bornees jusqu'a l'ordre4 . Alors on a pour toutx2R, la majoration : f00(x)f(x+h)2f(x) +f(xh)h 2 h212 sup x2Rjf(4)(x)jAnalyse Numerique{ R. TouzaniDerivation numerique12quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] comment faire une fiche de révision en histoire brevet
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