Recherche opérationnelle
2.2.5 Utilisation de la méthode du simplexe dans un probl`eme de minimisation . . . . . . . 61. 2.2.6 Exercices récapitulatifs .
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TD 7 20: Exercice corrigé Algorithme du simplexe Méthode des deux phases Exercice 12 Résoudre par la méthode des deux phases le modèle de programmation linéaire suivant : 12 12 12 12 60 0 80 0 x x x xx xx ° t °° t ® ° d ° °¯ tt a) Standardisation de (P) par ajout des variables d’écart : 1 2 3 4 5 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 2 3 4 5
Qu'est-ce que la méthode de simplexe ?
Cette solution correspond à un point extrême de l’ensemble des solutions réalisables qui est l’origine O. Pour la méthode de simplexe une solution réalisable de base initiale est demandée. Une telle solution peut être retrouvée en annulant toutes les variables de décision. Ce qui correspond dans notre exemple au point d’origine O.
Quel est le principe de résolution de la méthode de Simplexe?
La méthode de simplexe commence par l'identification d'une solution réalisable de base et ensuite, elle essaye de trouver d'autres solutions réalisables de base jusqu’à atteindre à la solution optimale. Ainsi, on doit, tout d’abord, retrouver cette solution réalisable de base.
Comment trouver une solution optimale pour un programme linéaire ?
Ainsi une autre solution optimale peut être trouvée pour notre programme linéaire. Ceci confirme le résultat de la méthode graphique qui indique que ce problème admet un ensemble de solution optimale décrit par le segment [BC]. La solution optimale donnée par le dernier tableau de simplexe correspond au point C.
UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE
U.F.R. SEGMI Année universitaire 2012 - 2013
Master d"économie Cours de M. Desgraupes
Méthodes Numériques
Document 4 : Corrigé des exercices d"optimisation linéaire1 Programmation linéaire 1 Méthode du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Raffinerie de pétrole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Méthode des variables ajoutées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Indices d"octane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Fabrique de pièces détachées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Plan de production de moteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Excavation et matériaux de carrière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Dualité 19
Main d"oeuvre et équipements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Trois techniques de production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Production en heures-machines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Programmation linéaire
Corrigé ex. 1 : Méthode du simplexe
Programme 1
8 >>>>>:Max(x1+ 2x2) x1+ 3x221
x1+ 3x218 x 1x25 x1etx20
On introduit des variables d"écart, ce qui conduit aux équations suivantes pour les contraintes du problème : 8>< :x1+ 3x2+x3= 21
x1+ 3x2+x4= 18 x1x2+x5= 5
Le premier tableau du simplexe s"écrit :
1 x1x2x3x4x51 3 1 0 021x
3-1 3 0 1 018x
41 -1 0 0 15x
5-1 -2 0 0 00
La variable entrante estx2qui correspond à l"élément le plus négatif de la dernière ligne. La variable sortante se calcule en trouvant le plus petit rapport positif entre la colonne de droite et la colonne dex2(colonne entrante) : Min 213;183 =183 = 6 Doncx4est la variable sortante. La ligne dex4sert de ligne pivot et on exécute une transformation du pivot autour de la valeur 3 (à l"intersection de la ligne dex4et de la colonne dex2).
On obtient le tableau suivant :
x1x2x3x4x52 0 1 -1 03x
3-1/3 1 0 1/3 06x
22/3 0 0 1/3 111x
5-5/3 0 0 2/3 012
Maintenant c"estx1qui entre etx3qui sort car :
Min 32;112=3 =32 Un nouveau pivot autour du nombre 2 (à l"intersection de la ligne dex3et de la colonne dex1) conduit au tableau suivant : x
1x2x3x4x51 0 1/2 -1/2 03/2x
10 1 1/6 1/6 013/2x
20 0 -1/3 2/3 110x
50 0 5/6 -1/6 029/2
Maintenant c"estx4qui entre etx5qui sort car :
Min13=21=6;102=3
=102=3= 15 Un nouveau pivot autour du nombre 2/3 (à l"intersection de la ligne dex5et de la colonne dex4) conduit au tableau suivant : x1x2x3x4x51 0 1/4 0 3/49x
10 1 1/4 0 -1/44x
20 0 -1/2 1 3/215x
40 0 3/4 0 1/417
2 Ce tableau correspond à l"optimum car il n"y a plus de termes négatifs dans la dernière ligne. On obtient donc comme solution :8>>>>>><
>>>>>:x 1= 9 x 2= 4 x 3= 0 x 4= 15 x 5= 0 La première et la troisième contrainte sont saturées.Programme 2
8 >>>>>:Min(x13x2)3x12x27
x1+ 4x292x1+ 3x26
x1etx20
On transforme le problème en une maximisation en changeant le signe de la fonc- tion objectif :Max(x1+ 3x2)
On introduit ensuite les variables d"écart comme ceci : 8>>>< >>:3x12x2+x3= 7 x1+ 4x2+x4= 92x1+ 3x2+x5= 6
x1etx20
Le tableau de départ pour la méthode du simplexe est donc : x1x2x3x4x53 -2 1 0 07x
3-1 4 0 1 09x
4-2 3 0 0 16x
51 -3 0 0 00
La variable entrante estx2qui correspond à l"élément le plus négatif de la dernière ligne. La variable sortante se calcule en trouvant le plus petit rapport positif entre la colonne de droite et la colonne dex2(colonne entrante) : Min 94;63 =63 = 2 Doncx5est la variable sortante. La ligne dex5sert de ligne pivot / on exécute une transformation du pivot autour de la valeur 3 (à l"intersection de la ligne dex5et de la colonne dex2).
Cela conduit au tableau suivant :
3 x1x2x3x4x55/3 0 1 0 2/311x
35/3 0 0 1 -4/31x
4-2/3 1 0 0 1/32x
2-1 0 0 0 16
Cette fois la variablex1entre dans la base et la variablex4sort car : Min115=3;15=3
=35 Le pivot se fait autour de la valeur 5/3 (à l"intersection de la ligne dex4et de la colonne dex1). On obtient alors le tableau suivant : x1x2x3x4x50 0 1 -1 210x
31 0 0 3/5 -4/53/5x
10 1 0 2/5 -1/512/5x
20 0 0 3/5 1/533/5
Il n"y a plus de terme négatif dans la dernière ligne et on est donc à l"optimum. La solution est :8>>>>>><
>>>>>:x1= 3=5
x2= 12=5
x 3= 10 x 4= 0 x 5= 0 La deuxième et la troisième contrainte sont saturées. Il ne faut pas oublier de re- changer le signe de la fonction objectif : la valeur à l"optimum est -33/5 (alors que la case inférieure droite du tableau indique 33/5 car ce tableau correspond à la maximisa- tion def).Corrigé ex. 2 : Raffinerie de pétrole On désigne parx1etx2les quantités de brut 1 et 2 qu"il faut traiter. La fonction objectif est la marge totale, qu"il faut maximiser :Max (3x1+ 4x2)
Les contraintes de production s"expriment sous la forme suivante : 8>< :0;25x1+ 0;35x28250;30x1+ 0;30x2750
0;45x1+ 0;35x21065
qui se simplifient sous la forme suivante : 8>< :5x1+ 7x216500 x1+x22500
9x1+ 7x221300
4 Si on notex3,x4,x5les variables d"écart, les contraintes deviennent : 8>< :5x1+ 7x2+x3= 16500 x1+x2+x4= 2500
9x1+ 7x2+x5= 21300
Les tableaux du simplexe sont successivement :
Tableau 1
x1x2x3x4x55 7 1 0 016500x
31 1 0 1 02500x
49 7 0 0 121300x
5-3 -4 0 0 00
x2entre etx3sort.
Tableau 2
x1x2x3x4x55/7 1 1/7 0 016500/7x
22/7 0 -1/7 1 01000/7x
44 0 -1 0 14800x
5-1/7 0 4/7 0 066000/7
x1entre etx4sort.
Tableau 3
x1x2x3x4x50 1 1/2 -5/2 02000x
21 0 -1/2 7/2 0500x
10 0 1 -14 12800x
50 0 1/2 1/2 09500
Il n"y a plus de terme négatif dans la dernière ligne et on est donc à l"optimum. La solution est :8>>>>>><
>>>>>:x1= 500
x2= 2000
x 3= 0 x 4= 0 x5= 2800
La valeur à l"optimum estf= 9500. La première et le deuxième contrainte sont saturées : les quotas imposés pour l"essence et le gasoil sont atteints. La troisièmeprésente un écart de 140 (le tableau indique 2800 mais cette contrainte avait été divisée
par 20 avant d"être insérée dans le tableau) : cela signifie que le quota de 1065 imposé sur le fuel n"est pas atteint et qu"on fabrique seulement1065140 = 925milliers de m3de fuel.
5 Corrigé ex. 3 : Méthode des variables ajoutées Les deux programmes d"optimisation de cet exercice présentent une difficulté sup- plémentaire pour appliquer la méthode du simplexe : on ne peut pas démarrer le sim-plexe à partir de l"origine (c"est-à-dire à partir du point de coordonnées nulles) car ce
point ne vérifie pas les contraintes. L"origine ne fait pas partie du domaine réalisable. Il faut donc trouver un point de départ dans le domaine réalisable, autrement dit trouver un pointà coordonnées positivesqui vérifie les équations des contraintes. On utilise pour cela la méthode des variables ajoutées. Elle consiste à introduire des va- riables supplémentairesx1;a;x2;a;:::dans les contraintes et à chercher à les annuler. Comme ce sont des variables positives, il suffit d"annuler leur somme et on en fait un problème d"optimisation en fixant comme objectif de minimiser cette somme : Min X jx j;a Il y a autant de variables ajoutées qu"il y a de contraintes.Programme 1
8 >>>:Max(x1x2+x3)3x1+ 2x2+x3= 1
x1x2x3+x4= 3
x1+ 4x2+ 2x32x4= 1
x1;x2;x3etx40
On introduit 3 variables positivesx1;a;x2;a;x3;adans les contraintes et on cherche à minimiser la fonction objectifx1;a+x2;a+x3;a. On se ramène à un problème de maximisation en changeant le signe de cette fonction objectif. Le problème s"écrit donc sous la forme suivanteMax(x1;ax2;ax3;a)8<
:3x1+2x2+x3+x1;a= 1 x1x2x3+x4+x2;a= 3
x1+4x2+2x32x4+x3;a= 1
avec les contraintes x1;x2;x3;x4;x1;a;x2;a;x3;a0
La fonction objectiveinitiale duproblème estpour lemoment ignorée. Leproblème avec les variables ajoutées peut se traiter au moyen de la méthode du simplexe ordi- naire. La configuration de départ consiste à annuler les variablesx1;x2;x3;x4qui sont ainsi des variables hors-base. Les variables de base sont donc au départ : 8>< :x1;a= 1
x2;a= 3
x3;a= 1
Très important :il faut veiller à ce que la fonction objectif (x1;ax2;ax3;a) soit exprimée en fonction des variables hors-base. C"est une règle qui doit toujours être vérifiée : 6 À tous les stades de la méthode du simplexe, la fonction objectif et les variables de base doivent être exprimées en fonction des variables hors-base. et les remplacer dans la fonction objectif. On a : 8< :x1;a= 1 + 3x12x2x3
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