Recherche opérationnelle
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TD 7 20: Exercice corrigé Algorithme du simplexe Méthode des deux phases Exercice 12 Résoudre par la méthode des deux phases le modèle de programmation linéaire suivant : 12 12 12 12 60 0 80 0 x x x xx xx ° t °° t ® ° d ° °¯ tt a) Standardisation de (P) par ajout des variables d’écart : 1 2 3 4 5 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 2 3 4 5
Qu'est-ce que la méthode de simplexe ?
Cette solution correspond à un point extrême de l’ensemble des solutions réalisables qui est l’origine O. Pour la méthode de simplexe une solution réalisable de base initiale est demandée. Une telle solution peut être retrouvée en annulant toutes les variables de décision. Ce qui correspond dans notre exemple au point d’origine O.
Quel est le principe de résolution de la méthode de Simplexe?
La méthode de simplexe commence par l'identification d'une solution réalisable de base et ensuite, elle essaye de trouver d'autres solutions réalisables de base jusqu’à atteindre à la solution optimale. Ainsi, on doit, tout d’abord, retrouver cette solution réalisable de base.
Comment trouver une solution optimale pour un programme linéaire ?
Ainsi une autre solution optimale peut être trouvée pour notre programme linéaire. Ceci confirme le résultat de la méthode graphique qui indique que ce problème admet un ensemble de solution optimale décrit par le segment [BC]. La solution optimale donnée par le dernier tableau de simplexe correspond au point C.
![Exercice 1.2.1. Résoudre par le simplexe Max x1 2x2 sous ?3x1 Exercice 1.2.1. Résoudre par le simplexe Max x1 2x2 sous ?3x1](https://pdfprof.com/Listes/18/5665-18r2c.pdf.pdf.jpg)
Exercice1.2.1.
Resoudreparlesimplexe
Maxx1+2x2
sous 8 :3x1+2x22 x1+2x24 x 1+x25 x i0i=1;21)Formestandard
Minz=(x1+2x2)
sous 8 :3x1+2x2+x3=2 x1+2x2+x4=4 x1+x2+x5=5
x i0i=1;:::;5 12)Tableaudusimplexe(formecanonique!)
x1x2x3x4x5
zb -1-2000-10 -3210002 -12010 04 1100105
3)SiSBR,alorsphaseII(sinonphaseI)
Ici,evident
8 :x1=x2=0
x 3=20 x 4=40 x 5=504)solpasoptimalecar9c
j05)Changementdebase:
c2+negatifquec1!x2rentredanslabase.
?Variablexssortantdelabase t=argminifbi ai2gjai20=minf22;42;51g=22)t=1 x stqB1as=et=0 B @1 0 01 C A!s=3 26)Tableaucanoniquedelanouvellebase
l02=l2=2
l01=l1+l2
l03=l3l2
l04=l4l2=2
x1x2x3x4x5
zb -40100-12 -32112000120-110
02 520-120104
7)seulc
1<0!x1entreenbase
minf22;45=2g=22!x4sortdelabase
l003=l03=2
l001=l01+2l03
l002=l02+3l03=4 l004=l045l03=4
3 x1x2x3x4x5zb00-120-16
01-1434005210-1
212001
0034-541032
8)seulc
3<0!x3entreenbase
minf3=23=4g!x5sortdelabase
l0004=4l004=3
l0001=l001+4l004=3
l0002=l002+l004=3
l0003=l003+2l004=3
x1x2x3x4x5
zb0001343-18
010131303
100-132302
001-5 34302
sol:x1=2;x2=3;x3=2;x4=x5=0 co^ut=-8 soloptimalecartouslesc j0 4
Exercice1.2.2.
x1x2x3x4
zb0600-131
051007
140005 0701
012
Optimum,x1=5;x2=0;x3=7;x4=12,
co^ut=-31 x1x2x3x4x5
zb0-1040-10
1-206008
0006101
0-1120
01Optimumnonborne(!1)
x 1x2x3 zb -400-1-21100-1
20102
Impossible!
5Exercice1.2.5.
Maxx1 sous 8 :x 1x212x1x22
x 1+x27 x 10 x 20Resoudreparlesimplexe.Compareravecles
solutionsobtenuesgraphiquement.1)Formestandard
Minz=x1
sous 8 :x1x2+x3=1
2x1x2+x4=2
x1+x2+x5=7
x i0i=1;:::;5 62)Tableaudusimplexe
x1x2x3x4x5
zb -10000-101-110001
2-1010
02 1100107
SBR(VHB:x1=x2=0;VB:x3=1;x4=
2;x5=7)
3)PhaseII
x1entredanslabase
minf11;22;71g=1!x3oux4sortdelabase.
Choix:x3sort
l1!l1+l2
l3!l32l2
l4!l4l2
x1x2x3x4x5
zb0-1100-11
1-110001
01-210
0002-101
06 7 x2entredanslabase minf01;62g=0!x4sortdelabase.
l1!l1+l3
l2!l2+l3
l4!l42l3
x1x2x3x4x5
zb00-110-11
10-11001
01-210
00003-21
06 x3entredanslabase,x5ensort.
l1!l1+l4=3
l2!l2+l4=3
l3!l3+2l4=3
l4!l4=3
x1x2x3x4x5
zb0001/31/3-13
1001/31/303
010-1/32/3
04001-2/31/3
02 8Optimum:
x1=3;x2=4;x3=2;x4=x5=0;z=3
Remarque:sionavaitfaitsortirx4audebut
l1!l1+l3=2
l2!l2l3=2
l3!l3=2
l4!l4l3=2
x1x2x3x4x5
zb0-1/201/20-11
0-1/21-1/2000
1-1/201/20
0103/20-1/21
06 l1!l1+l4=3
l2!l2+l4=3
l3!l3+l4=3
l4!2=3l4
x1x2x3x4x5
zb0001/31/3-13
001-2/31/302
1001/31/3
03010-1/32/3
04 moins. 9Exercice1.2.3.
Resoudreparlamethodedusimplexe
Minx1x2+x3
sous 8 :x1+3x24
x1+x2x310
x i0i=1;:::;31)Formestandard
Minx1x2+x3
sous 8 :x1+3x2x4=4
x1+x2x3+x5=10
x i0i=1;:::;52)Pasdebaserealisableinitiale!PhaseI
Variablearticielle:a6
Mina6(Xyi)
sous (x1+3x2x4+a6=4 x1+x2x3+x5=10
x i0i=1;:::;5;a60 10 )SBR:xT=(0000104)Fonctionobjectifsousformecanonique:
z=a6=4x13x2+x4 !x13x2+x4z=4 x1x2x3x4x5a6
zb -1-30100-1-4130-10104
11-1010
010 x2rentre;minf4
3;101g)a6sort
l1!l1+l2
l2!l2=3
l3!l3l2=3
x1x2x3x4x5a6
zb000001-10
1/310-1/301/304/3
2/30-11/31-1/3
026/3a
6=0!n'estplusnecessaire
onalaSBROduproblememina6,a60 11 )onauneSBRduproblemededepart: xT=(04/30026/3)
Base:x2;x5
3)PhaseII
ExprimerlafctobjectifenfctdesVHB
z=x1+x3+x1x443=4x13+x3x4343
x1x2x3x4x5
zb4/301-1/30-14/3
1/310-1/3004/3
2/30-11/31
026/3x
1x2x3x4x5
zb20001-110
11-101010
20-313
026Optimum:xT=(0100260);z=-10
12Exercice1.2.4.
Resoudreparlamethodedusimplexe
Minx22x1
sous (2x18 x2x1x2+2
Compareraveclessolutionsobtenuesgraphi-
quement1)Formestandard
Minx22x1
sous 8 :x 1x3=2 x1+x4=8
x1x2x5=0
x1x2+x6=2
x i0i=1;:::;6IlmanqueuneVB
132)PhaseI
Minx7 sous 8 :x1x3+x7=2
x1+x4=8
x1+x2+x5=0 x1x2+x6=2
x i0i=1;:::;7 z=x7=2x1+x3!x3x1z=2 x1x2x3x4x5x6x7
zb -1010000-1-210-1000102
1001000
08 -1100100 001-100010
02 x1rentre;minf2
1;81;21g!x6oux7sort(x7
pourterminerphaseI) 14 x1x2x3x4x5x6x7zb0000001-10
10-1000102
001100-1
0601-10101
020-11001-1
00 z=0=x7OK;SBR:xT=(200620)VB:x1;x4;x5;x6;VHB:x2;x3
3)PhaseII
z=x22x1=x22(x3+2))x22x3z=4 x1x2x3x4x5x6
zb01-2000-14
10-100002
001100
0601-1010
020-11001
00 x6sort,x3rentre
l1!l1+2l5
l2!l2+l5
l3!l3l5
l4!l4+l5
15 x1x2x3x4x5x6zb0-10002-14
1-1000102
01010-1
06000011
020-11001
00 x4sort,x2rentre
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