[PDF] Devoir Surveillé n°9 Correction Troisième

CorrectionCorrectionDS n°9 - Troisième- Mai 2017Devoir Surveillé n°9CorrectionTroisièmeProbabilitéset VolumesDurée 2 heures- Coeff. 8Noté sur 24 pointsL"usage de la calculatrice est autorisé.Exercice 1. Probabilités : Pondichéry, Avril 20163 pointsUn confiseur veut remplir 50 boîtes. Chaque boîte contient 10bonbons au chocolat et 8 bonbons au caramel.1. Combiendoit-il fabriquerde bonbons de chaque sorte?Pour fabriquer 50 boîtes contenant chacune 10 bonbons au chocolat et 8 au caramel, il doit donc fabriquer :50×10=500bonbonsauchocolat et 50×8=400bonbonsaucaramel .2. Jules prendau hasardun bonbondansune boîte. Quelleest la probabilitéqu"il obtienne un bonbon auchocolat?On suppose qu"il y a équiprobabilité des tirages. Dans ce cas, puisqu"il y a 10 bonbons au chocolat dans une boite conte-nant 18 bonbons en tout, la probabilité qu"il obtienne un bonbon au chocolat est de :p=1018=59≈0,563. Jim ouvre une autre boîte et mange un bonbon. Gourmand, il en prendsans regarderun deuxième. Est-il plus pro-bable qu"il prennealorsun bonbonau chocolatou un bonbonaucaramel?Il y a deux possibilités, soit Jim a mangé un bonbon au chocolat lors de son premier tirage, soit un au caramel. Il restealors 18-1=17 bonbons dans la boîte.•Sic"estunbonbonauchocolat,il reste 9 chocolats et 8 caramels, il y a plus de bonbons au chocolat donc il est plusprobable qu"il prenne un bonbon au chocolat (9 chances sur 17) soit9/17≈0,53>0,5•Sic"estunbonbonaucaramel, il reste 10 chocolats et 7 caramels, il y a plus de bonbons au chocolat donc il estplus probable qu"il prenne un bonbon au chocolat (10 chancessur 17) soit10/17≈0,59>0,5Dans tous les cas, il est plus probable qu"il prenne alorsunbonbonauchocolat.Exercice 2. Probabilités : Pondichéry 20154 pointsUn jeu télévisé propose à des candidats deux épreuves :•Pour la première épreuve, le candidat est face à 5 portes : uneseule porte donne accès à la salle du trésor alors que les4 autres s"ouvrent sur la salle de consolation.•Pour la deuxième épreuve, le candidat se retrouve dans une salle face à 8 enveloppes.Danslasalledutrésor: 1 enveloppe contient 1000e, 5 enveloppes contiennent 200e. Les autres contiennent 100e.Dansla sallede consolation: 5 enveloppes contiennent 100eet les autres sont vides.Il doit choisir une seule enveloppe et découvre alors le montant qu"il a gagné.1. Quelleest la probabilité que le candidat accèdeà la salledu trésor?Pour la première épreuve, une seule porte sur cinq donne accès à la salle du trésor donc la probabilité que le candidataccède à la salle du trésor est :p1=152. Un candidatse retrouvedansla salle du trésor.1/6

CorrectionCorrectionDS n°9 - Troisième- Mai 20172. Guilhem effectue une nouvelle descente depuis le haut de la station jusqu"en bas dans les mêmes conditions queprécédemment. Quelleest la probabilité qu"il enchaînecette fois-ci deuxpistes noires?La probabilité qu"il enchaîne cette fois-ci deux pistes noires est le produit de la probabilité de prendre une piste noirepour se rendre au restaurant d"altitude, par la probabilitéde prendre une piste noire depuis se restaurant.• On a vu lors de la question(1.)quep1=25=0,4.• À partir du restaurant, il y a 3 noires sur les sept pistes au choix. La probabilité de prendre une noire est donc dep3=37.La probabilité qu"il enchaîne deux pistes noires est donc de:p=p1×p3=25×37=635≈0,171Exercice 4. Pyramide : Centres Étrangers 20144 pointsPaul en visite à Paris admire la Pyramide, réalisée en verre feuilleté au centre dela cour intérieure du Louvre. Cette pyramide régulière a :•pour base un carré ABCD de côté 35 mètres;•pour hauteur le segment [SO] de longueur 22 mètres.A BCDSOPaul a tellement apprécié cette pyramide qu"il achète commesouvenir de sa visite une lampe à huile dont le réservoir enverre est une réduction à l"échelle1500de la vraie pyramide.Le mode d"emploi de la lampe précise que, une fois allumée, elle brûle 4 cm3d"huile par heure.Au bout de combien de temps ne restera-t-il plus d"huile dansle réservoir? Arrondir à l"unité d"heures.•Calculdu volume de la pyramideLe volume de la pyramide est égal au tiers du produit de l"airedu carré de base, ABCD, par la hauteur SO donc :V=AB2×SO3=352×223=26 9503m3•Calculdu volume de la pyramide réduite"Le réservoir en verre est une réduction à l"échelle1500de la vraie pyramide» donc les distances sont divisées par 500et, d"après le cours, les aires le sont par 5002et les volumes par 5003.Le volume de la pyramide réduite est donc :V?=V5003V?=26 9503×15003m3Or on a 1 m3=106cm3V?=26 9503×15003×106cm3V?=1 07815cm3•Proportionnalité"Unefoisallumée, elle brûle4cm3d"huile par heure»,donconpeut trouverauboutdecombiendetemps ilneresteraplus d"huile dans le réservoir à l"aide d"un tableau de proportionnalité.3/6

CorrectionCorrectionDS n°9 - Troisième- Mai 2017Volume?cm3?4 cm31 07815cm3Temps (heures)1 ht?Donc le temps cherché est, arrondi à l"unité d"heure :t=1 07815×14=53930heures≈18 heuresLe réservoir sera vide au boutd"environ18 heures.Exercice 5. Sphère et volume : Asie 20154 points1. Le volume d"une calottesphérique est donné par la formule:V=π3×h2×(3r-h)1. a. Prouverque la valeurexacte du volume encm3de l"aquariumestde 1296π.L"aquarium est une calotte sphérique formé d"une sphère de rayonr=10 cm, et de hauteurh=18 cm. Donc enappliquant la formule donnée on a :V=π3×h2×(3r-h)V=π3×182×(3×10-18)V=π3×182×12V=182×(3×4)×π3V=182×4×πV=1296π1. b. Donnerla valeurapprochéede l"aquariumau litreprès.V=1296π≈4071,50 cm3≈4 L2. Onremplitcetaquariumà rasbord,puis onversela totalité de soncontenudansunautre aquariumparallélépipé-dique. La base du nouvel aquariumest un rectanglede 15cm par20 cm.Déterminer la hauteur atteinte par l"eau(onarrondiraaucm).Le volume d"un parallélépipède rectangle est obtenu en faisant le produit de l"aire de sa base par sa hauteurh.La base du nouvel aquarium est un rectangle de 15 cm par 20 cm, donc en notanthla hauteur atteinte par l"eau, elleoccupera un volume de :V=15×20×h=300hOncherchedonchtelqueV=4Lmaisattentionici,ilfautrepasserencm3etenvaleurexactepourrespecterlacohérencedes unités :V=300h=1296π??h=1296π300≈13,57 cmLa hauteur atteinte par l"eau, arrondie au cm, est donc de14cm.Exercice 6. Cône : Amérique du Nord 20165 pointsSur l"altiport (aérodrome d"altitude) de la station de ski se trouve une manche à air qui permet de vérifier la direction etlapuissance du vent. Cette manche à air à la forme d"un tronc de cône de révolution obtenu à partir d"un cône auquel on enlèvela partie supérieure, après section par un plan parallèle à la base.4/6

CorrectionCorrectionDS n°9 - Troisième- Mai 2017Manche à airABOSO?A?B?60 cm 30 cm240 cmOn donne : AB = 60 cm, A?B?= 30 cm, BB?= 240 cm. O est le centre du disque de la base du grand cône de sommet S. O?milieude [OS], est le centre de la section de ce cône par un plan parallèle à la base. B?appartient à la génératrice [SB] et A?appartientà la génératrice [SA].1. Démontrerque la longueurSB est égaleà 480cm.On se place dans le triangle SOB. Les droites (OB) et (O"B") sont parallèles car elles sont toutes deux perpendiculaires àladroite (SO). En outre, le point O" est le milieu du segment [SO], donc d"après le théorème des milieux, le point B" est aussile milieu du segment [SB].?(OB)//(O?B?)O?=mil[SO]?????=?Théorème des milieuxB?=mil[SB]De de ce fait :SB=2×BB?=2×240=480 cm2. Calculerla longueurSO. On arrondirale résultatau centimètre.On se place dans le triangle SOB. Le point O est le milieu du segment [AB] doncOB=12AB=30 cm.•Données.Le triangle SOB est rectangle en O. L"hypoténuse est donc le côté [SB].•Le théorème.donc d"après lethéorème de Pythagore:SB2=SO2+OB24802=SO2+302On obtient doncSO2=4802-302SB2=229500•Conclusion.Or puisqueSOest une longueur,SO>0 et on a une seule solution possibleSO=?229500≈479 cm à 1 cm près.5/6

CorrectionCorrectionDS n°9 - Troisième- Mai 20173. Calculerle volume d"air qui se trouvedans la manche à air.On arrondiraau centimètrecube.Manche à airABOSO?A?B?60 cm 30 cm240 cmLe volume de la manche à aire va s"obtenir en effectuant la différence du volume du grand cône et du petit cône. Pourchacundescônes,onvacalculerl"airedesdisquesdebasederayonsrespectifs[OB]et[O"B"]puisonappliqueralaformuledu volume :Vcône=13×aire de la base×hauteur etAdisque=π×R2Plus plus de rigueur, on va garder les valeurs exactes jusqu"au bout.•Volume du grandcône.A(disque de rayonOB)=π×OB2=302πcm2V(Grand Cône)=13×A(disque de rayonOB)×SOV(Grand Cône)=13×?302π?×?229500≈451504,90 cm3•Volume du petit cône.On a ici O" milieu du segment [SO] et O" milieu du segment [A"B"] d"où :O?B?=12A?B?=15 cm etSO?=12SO=12?229500Donc :A(disque de rayonO?B?)=π×O?B?2=152πcm2V(Petit Cône)=13×A(disque de rayonO?B?)×SO?V(Petit Cône)=13×?152π?×12?229500≈56438,11 cm3•Volume de la manche à aire.V=V(Grand Cône)-V(Petit Cône)V=13×?302π?×?229500-13×?152π?×12?229500Donc on obtient arrondi au centimètre cube :V≈395066 cm3?Fin du devoir?6/6