Méthode de combinaison linéaire
par la méthode de combinaison linéaire : ? On choisit de garder l'une des deux équations (en général la plus simple).
RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES
Méthode des combinaisons linéaires . 1 2 est une solution du système d'équations linéaires. 2 3 8. 3 1 1. En effet
1 Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires en petite
Nous venons de voir un exemple simple de la méthode de combinaison : on a fait une combinaison linéaire des deux équations ici (L1) ? (L2).
Chapitre 3. Combinaison linéaire et SEV
est-il une combinaison linéaire de v1 et v2 ? Une méthode naïve est de tester avec toutes sortes de coefficients st pour tenter de retrouver b avec sv1 +
SYSTÈMES DÉQUATIONS ET DROITES
Méthode : Résoudre un système d'équations par la méthode de substitution Partie 2 : Méthode des combinaisons linéaires. Méthode : Résoudre un système ...
SYSTEMES DEQUATIONS
Méthode : Résoudre un système d'équations par la méthode de substitution. Vidéo https://youtu.be/24VsDZK6bN0 2) Méthode des combinaisons linéaires.
Equations et inéquations et systèmes partie2
Méthode de combinaison linéaire ou addition. • Méthode des déterminants. • Méthode graphique. 1) Méthode de substitution : Substituer c'est remplacer par.
Réponse sismique par méthode spectrale
11 mai 2009 Les autres méthodes de combinaison des réponses modales tentent de corriger ce point. 4.5.1.3 Combinaison quadratique complète (CQC). La ...
Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et
18 mars 2015 1) Etre combinaison linéaire d'une famille de vecteurs donnée. ... Méthode : Pour montrer que E est un espace vectoriel sur K on peut.
RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES - HEC Montréal
ces cas nous suggérons plutôt la méthode suivante 1 2 Méthode des combinaisons linéaires Considérons le système à deux équations et deux inconnues suivant : 6 E 2 L 12 6 E3 L8 La méthode de substitution ici ferait apparaître des fractions qui seraient à la fois superflues et difficile à manipuler
Espace vectoriel - Définition et Explications - Techno-Sciencenet
1 5 1 4 7 x y =? ×? + = 1 4 12 x y =? = 1 3 x y =? = Le système (S)admet un unique couple solution : c’est (?1;3) Résolution du système (S): 2 3 11 5 4 7 x y x y ? =? + = par la méthode de combinaison linéaire : On numérote les équations (lignes) du système
Chapitre 3 Combinaison linéaire et SEV - univ-angersfr
l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des ~v i ou bien en écriture ensembliste : h~v 1··· ~v mi ={P k a k~v ka k ? R} = {a 1~v 1 +a 2~v 2 +··· +a m~v m a 1··· a m ? R} On appelle cet ensemble le sous espace vectoriel engendré (SEV) par les vecteurs ~v 1··· ~v m Ainsi demander si ~b est une combinaison
Méthodes de base en algèbre linéaire
Méthode 1 : On ne change pas le rang d’une matrice en lui appliquant des OEL et/ou des OEC On pourra dons la transformer en une matrice échelonnée dont le rang est évident par exemple en appliquant la méthode du pivot sur les lignes ou sur les colonnes Méthode 2 : Le rang de A est le rang de ses vecteurs colonnes dans Kp ou pourra
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Méthode 1: On montre que (1) 0 E F (2) F est stable par combinaison linéaire: x y F ( x + y) F Méthode 2: On détermine une famille F de vecteurs de E telle que F = Vect(F) Méthode 3: On identifie une application linéaire f définie sur E telle que F = Kerf
Comment calculer la combinaison linéaire ?
Les deux opérations sur un espace vectoriel permettent de définir la combinaison linéaire, c'est-à-dire la somme finie de vecteurs affectés de coefficients (scalaires). La combinaison linéaire d'une famille de vecteurs ayant pour coefficients est le vecteur de E donné par : .
Comment appelle-t-on une combinaison linéaire?
Combinaison linéaire. Combinaison linéaire Tout vecteur est décomposable en une somme de deux autres vecteurs. Ces vecteurs peuvent être décomposés en un produit de vecteur par un scalaire. Toute combinaison de la forme a + b est appelée combinaison linéaire de et .
Qu'est-ce que la combinaison linéaire?
Combinaison linéaire Tout vecteur est décomposable en une somme de deux autres vecteurs. Ces vecteurs peuvent être décomposés en un produit de vecteur par un scalaire. Toute combinaison de la forme a + b est appelée combinaison linéaire de et . Une combinaison linéaire sert à définir un vecteur en utilisant d’autres vecteurs déjà définis.
Comment calculer la combinaison linéaire d'un corps commutatif ?
Soient K un corps commutatif et E un espace vectoriel sur K. Les éléments de E sont appelés les vecteurs et les éléments de K les scalaires. Si v1, …, vn sont des vecteurs et a1, …, an des scalaires, alors la combinaison linéaire de ces vecteurs ayant comme coefficients ces scalaires est le vecteur a1v1 + … + anvn .
Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces
vectoriels et applications linéairesTatiana Labopin-Richard
Mercredi 18 mars 2015
L"algèbre linéaire est une très grosse partie du programme de Maths. Il est donc indispensable d"avoir bien compris ce chapitre. Nous allons passer en revue les choses classiques qu"il faut savoir faire et lister les méthodes possibles pour y parvenir. Nous illustrerons nos propos par des exercices et des exemples. Ce polycopié n"est pas un cours, mais plutôt un recueil de méthodes. Nous ne rappelons donc pas les définitions que vous avez dans votre cours, et il est pos- sible que des notions interviennent dans une partie alors que la partie concernant directement cette notion n"arrive que plus loin. Cette séance de soutien ne sera bénéfique que si vous connaissez déjà bien votre cours. Dans la suite, si rien n"est précisé, on noteraEunKespace vectoriel,FetG deux sous-espaces vectoriels deEetfune application linéaire deEdansF.1 Le concept de linéarité
La linéarité est à la base de l"algèbre linéaire (d"où son nom!). Cette notion combine les deux lois d"un espace vectoriel (l"addition interne et la multiplication par un scalaire). Elle intervient par exemple pour caractériser les applications linéaires et les sous-espaces vectoriels, pour définir la notion de familles libres ou génératrices etc...1.1 Exemples de propriétés stables par combinaisons li-
néaires On dit qu"une propriétéPest stable par combinaison linéaire, si?(x,y)?E2, Voici une liste (non exhaustive!) de propriétés classiques stables par combinai- sons linéaires. 10) Appartenir à un sous-espace vectoriel.
1) Etre combinaison linéaire d"une famille de vecteurs donnée.
2) Appartenir à l"image d"une application linéaire donnée.
3) Appartenir au noyau d"une application linéaire.
4) Etre un vecteur où deux applications linéaires coïncident.
5) Etre dérivable en un point donné.
6) Etre nulle sur un segment donné.
7) Le fait pour un polynôme d"admettre pour racine un scalaire donné.
8) La conjonction de telles propriétés.
Avez-vous d"autres exemples? Etes-vous capables de démontrer que ces pro- priétés sont effectivement stables par combinaisons linéaires?1.2 A quoi cette notion peut-elle nous servir?
A) Une propriété stable par combinaison linéaire se propage par linéarité. Méthode : Pour montrer qu"une propriétéPest vraie surE, on peut montrer que les trois propriétés suivantes sont vraies1)Pest vraie surUune partie non videE.
2)Pest stable par combinaison linéaire.
3)UengendreE.
Exercice 1Montrer que sif:R→Rest polynômiale de degré 2, alors pour tous réelsaetb: f(b)-f(a) = (b-a)f??a+b2 Exercice 2 :Chercher dans les exercices suivants où la notion de linéarité intervient (plus particulièrement dans le 46). B) Sifest un endomorphisme deEnul sur une partie génératrice deEalors fest nulle surE. C) Sifetgdeux endomorphismes deEcoïncident sur une partie génératrice deEalorsf=g(conséquence directe la propriété précédente).Exercice 3 :
SoiteunK-espace vectoriel de dimension finien?N?etfun endo- morphisme deEtel qu"il existe un vecteurx0?Epour lequel la famille (x0,f(x0),...,fn-1(x0))soit une base deE. On noteC={g? L(E)/g◦f=f◦g}.
21) Montrer queCest un sous-espace vectoriel deL(E).
2) Observer que
C=?(a0Id+a1f+...an-1fn-1|a0,...an-1?K?.
3) Déterminer la dimension deC.
D) Sif=gsur des sous-espaces vectoriels deEavecFetGsupplémentaires, alorsf=g. Exercice 4 :SoientEun espace vectoriel de dimension finie et(u,v)? L(E).Montrer que
Ker(f)?Ker(g)? ?h? L(E), g=h◦f.
E) Définir entièrement une application linéaire en ne donnant son image seule- ment sur une base. Exercice 5 :Justifier qu"il existe une unique application linéaire deR3dans R2telles que
f(1,0,0) = (0,1), f(1,1,0) = (1,0), f(1,1,1) = (1,1).Exprimerf(x,y,z).
Remarque :Attention, il n"est pas vraie dans le cas général que si (P) et (Q) sont stables par combinaisons linéaires, (nonP)et (PouQ) le soient. Exercice 6 :Construire un exemple de la remarque précédente.2 Espaces vectoriels et sous-espace vectoriel
2.1 Montrer queEest un espace vectoriel
Méthode : Pour montrer queEest un espace vectoriel surK, on peut appliquer un des points suivants a) Revenir à la définition d"un espace vectoriel. b) Le voir comme un sous-espace vectoriel d"unK-espace vectoriel bien connu. La définition d"un espace vectoriel étant compliquée, on utilise le point (b) quasiment tout le temps. Il est ainsi très important de connaître par coeur la définition d"un sous-espace vectoriel mais aussi de connaître les espaces vectoriels classiques (dits de références). 32.2 Quelques espaces vectoriels classiques
Dressons une liste d"espaces vectoriels classiques à connaître. a) PourAun ensemble non vide, les applications deAdansE b) Les corps des scalairesK c) Les ensembles de n-upletsKnetEn d) L"ensemble des polynômesK[X] e) L"ensemble des matricesMn,p(K) f) Le produit cartésien de deux espaces vectoriels (attention, pas la réunion!) g) L"ensemble des suitesKN2.3 Montrer queFest un sous-espace vectoriel deE
Comme nous venons de le voir, nous sommes souvent ramenés à montrer qu"un ensemble est un sous-espace vectoriel. Méthode : Pour montrer queFest un sous-espace vectoriel deE, on peut montrer une des assomptions suivantes a) Montrer queFest l"image (image reciproque) d"un sous-espace vectoriel par une application linéaire de but (de source)E. b) Montrer queFest une somme ou une intersection de sous-espace vectoriels. c) Montrer que c"est une partie non vide deEstable par combinaison linéaire. d) Montrer que c"est une partie non vide deE, stable par somme et par mul- tiplication par un scalaire. Remarque :Attention, pour les points 3 et 4, il ne faut pas oublier de montrer que les espaces ne sont pas vides! En pratique, on montre souvent que0E?F. Exercice 7 :Montrer que les parties suivantes sont des espaces vectoriels.1)F={f? C1([a,b]),R)|f?(a) =f?(b)}.
2)G=?? C0([a,b]),R)|?b
af(t)dt= 0?.Exercice 8 :SoitFun sous-espace vectoriel deEet
N={f? L(E), F?Ker(f)}.
Montrer queNest un sous-espace vectoriel deL(E).
Exercice 9 :SoitFl"ensemble des applications de classeC1deRdansR vérifiant f ?(x)-3f(x+ 2) +f(2) +f?(-1) = 0 pour tout réelx. Montrer queFest un espace vectoriel. 4 Exercice 10 :Montrer que l"ensembleFdes triplets(x,y,z)de réels vérifiant ??x+y+z= 02x-y+z= 0
x-2y= 0 est un sous-espace vectoriel deR3.2.4 Montrer qu"un ensemble n"est pas un espace vectoriel
Méthode : pour montrer queFn"est pas un sous-espace vectoriel deE, on peut montrer un des points suivants
a)0E/?F. b)Fn"est pas stable par multiplication par un scalaire. c)Fn"est pas stable par addition. Exercice 11 :Les parties suivantes sont-ils des espaces vectoriels deR2?2){(x,y)?R2|x=}
3){(x,y)?R2|x2-y2= 0}
4){(x,y)?R2|xy= 0}
5){(x,y)?R2|x+y= 1}
6){(x,y)?R2|x2+y2= 0}
Exercice 12 :Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de R N?1)?(un)?RN|(un)bornée?
2) ?(un)?RN|(un)monotone? 3) ?(un)?RN|(un)convergente? 4) ?(un)?RN|(un)arithmétique? Exercice 13 :A quelle condition la réunion de deux sous-espaces vectoriels est-elle un sous-espace vectoriel?2.5 Famille de vecteurs
2.5.1 Liberté
Méthode : pour montrer qu"une famille de vecteurs est libre on peut montrer un des points suivants a) Revenir à la définition. 5 b) Montrer que cette famille est une sous-famille d"une famille libre. c) Ecrire cette famille comme l"image directe d"une famille libre par une appli- cation linéaire injective . d) Trouver une application linéaireftelle que l"image de de notre famille par fsoit libre. Remarque :Souvent, il faut revenir à la définition. Pour la famille(x1,...xn) par exemple, on prend(λ1...λn)un n-uplet de scalaires tels que1x1+...λnxn= 0.
On montre alors que forcément lesλisont tous nuls. Il existe pour cela plusieurs méthodes classiques (trouver une propriét´hiérarchisante ou dicriminante, voir les exercices 15 et 16). Remarque :Un couple de vecteurs(u,v)deEest libre si et seulement siuetvsont colinéaires. Attention cependant à ne pas généraliser ce résultat hâtivement :
(1,0),(0,1)et(1,1)sont colinéaires deux à deux, mais la famille qu"il forme est clairement liée. Exercice 14 :SoitEunK-espace vectoriel et-→x ,-→ztrois vecteurs deEtelq que la famille(-→x ,-→y ,-→z)soit libre. On pose u=-→y+-→z ,-→v=-→z+-→x ,-→w=-→x+-→y . Montrer que la famille(-→u ,-→v ,-→w). Exercice 15 :Soitα1...αndes réels distincts.1) Pour toutk? {1,...n}, on définitfk:x?→ |x-αk|. Montrer que
(fk)k?{1,...n}est libre.2) Pour toutk? {1,...n}, on posePk=?
i=1,i?=k(X-αi).Montrer que(Pk)k?{1,...n} est libre. Exercice 16 :Soitα1...αndes entiers distincts ordonnés par ordre croissant.1) On considère une famille(P1,...Pn)de polynômes tels que pour toutk?
{1,...n},deg(Pk) =αk. Montrer que cette famille est libre.2) Pour toutkentier, on posefk:x?→exp(αkx). Montrer que pour unen
fixé, la famille(f1,...fn)est libre.2.5.2 Montrer qu"une famille est liée
Méthode : Pour montrer qu"une famille est liée, on peut montrer un des points suivants 61) Montrer que la cardinal de la famille est strictement supérieur à la dimension
de l"espace (voir partie).2) Revenir à la définition en exhibant une combinaison linéaire non triviale des
vecteurs de la famille à résultat nul.3) Exprimer un des vecteurs comme combinaison linéaire des autres.
4) Ecrire la famille comme image directe par une application linéaire d"une
famile liée. Remarque :Si une famille a "trop" de vecteurs (plus que la dimension de l"espace vectoriel ambiant), alors elle est nécessairement liée. La famille(0E)formée d"un seul vecteur est toujours liée. Exercice 17 :Les familles suivantes de vecteurs deR3sont-elles libres? Si ce n"est pas le cas, former une relation liant ces vecteurs :1)(x1,x2)avecx1= (1,0,1)etx2= (1,2,2).
2)(x1,x2,x3)avecx1= (1,2,1),x2= (2,1,-1)etx3= (-1,1,-2).
3)(x1,x2,x3)avecx1= (1,0,0),x2= (1,1,0)etx3= (1,-1,-2).
4)(x1,x2,x3)avecx1= (1,-1,1),x2= (2,-1,3)etx3= (-1,1,-1).
Exercice 18 :Soit(a,b,c)?R3. les fonctionsx?→sin(x+a),x?→sin(x+b) et?→sin(x+c)sont-elles linéairement indépendantes? Exercice 19 :Soientf1,...fndes formes linéaires sur unK-espace vectoriel Ede dimensionn. On suppose qu"il existex?Enon nul tel que f1(x) =···=fn(x) = 0
Montrer que la famille(f1,...fn)est liée.
2.5.3 Caractère générateur
Méthode : Pour montrer qu"une famille de vecteurs est génératrice, on peut montrer un des points suivants a) Montrer que chaque vecteur d"une famille génératrice donnée est combinai- son linéaire des vecteurs de cette famille. b) Revenir à la définition et montrer queV ect(F) =E. c) Observer que c"est une sur-famille d"une famille génératrice. Remarque :Si une famille a "trop peu" de vecteurs (moins que la dimension de l"espace vectoriel ambiant), alors elle ne peut être génératrice, mais on peut trouver des familles avec autant de vecteurs qu"on veut qui ne sont pas génératrice pour autant. 7 Exercice 20 :SoitE={(x,y,z)?R3|x+y-2z= 0et2x-y-z= 0}. Chercher une famille génératrice pour cette espace vectoriel. Exercice 21 :SoitE={(x1,x2,x3,x4)?R4|x1+x3= 0et, x2+x4= 0} etF=V ect(u1= (1,1,1,1),u2= (1,-1,1,-1),u3= (1,-1,1,-1)). Déterminer une famille génératrice deE+F.2.5.4 Montrer qu"une famille de vecteurs est une base
Méthode : Pour montrer qu"une famille de vecteurs est une base, on peut montrer un des points suivants a) Montrer qu"elle est libre ou génératrice et que son cardinal vaut la dimension de l"espace vectoriel dans lequel on travaille. b) Revenir à la définition et montrer qu"elle est libre et génératrice. c) L"écrire comme concaténée de deux bases de sous-espaces vectoriels supplé- mentaires deE. d) L"obtenir comme image d"une base par un isomorphisme. Remarque :Voici un cas (a2) peutˆtre utilisé. On dispose de deux basesB1 etB2de deux sous-espaces vectorielsF1etF2deE. Pour déterminer une base deF1+F2, on peut d"abord chercher la dimension de cette somme, puis ôter un nombre suffisant de vecteurs de la concaténée deB1etB2, tout en conservant le caractère générateur. Exercice 22 :SoitEunK-espace vectoriel de dimension 3 ete= (e1,e2,e3) une base deE. On pose1=e2+ 2e3,?2=e3-e1, ?3=e1+ 2e2.
Montrer que?est une base deE.
Exercice 23 :DansR4, on considère l"esnembleEdes vecteurs(x1,x2,x3,x4) vérifiantx1+x2+x3+x4= 0. L"ensembleEest-il un espace vectoriel? Si oui, en donner une base. Exercice 24 :SoitP1=X2+ 1,P2=X2+X-1etP3=X2+X. Montrer que cette famille est une base deK2[X]. Exercice 25 :Pourk? {0,...n}; on posePk= (X+ 1)k+1-Xk+1. Montrer que(P0,...Pn)forme une base deKn[X].Exercice 26 :Question c) de l"exercice 2.
8 Exercice 27 :DansR4, on considère les vecteursu= (1,0,1,0),v= (0,1,-1,0 =, w= (1,1,1,1),x= (0,0,1,0)ety= (1,1,0,-1). SoitF=V ect(u,v,w)et G=V ect(x,y). Quelles sont les dimensions deF,G,F+GetF∩G?2.5.5 Exhiber une base
Méthode : Pour exhiber une base d"un espace vectoriel on peut ap- pliquer un des points suivants1) Utiliser le théorème de la base incomplète en partant d"une famille généra-
trice que l"on connaît.2) Trouver des bases de deux sous-espaces vectoriels supplémentaires deEpuis
les concaténer. Exercice 28 :SoitEunK-espace vectoriel de dimension 3 ete= (e1,e2,e3)quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] techniques de questionnement et de reformulation
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