Méthode de combinaison linéaire
par la méthode de combinaison linéaire : ? On choisit de garder l'une des deux équations (en général la plus simple).
RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES
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1 Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires en petite
Nous venons de voir un exemple simple de la méthode de combinaison : on a fait une combinaison linéaire des deux équations ici (L1) ? (L2).
Chapitre 3. Combinaison linéaire et SEV
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SYSTÈMES DÉQUATIONS ET DROITES
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Méthode : Résoudre un système d'équations par la méthode de substitution. Vidéo https://youtu.be/24VsDZK6bN0 2) Méthode des combinaisons linéaires.
Equations et inéquations et systèmes partie2
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RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES - HEC Montréal
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Espace vectoriel - Définition et Explications - Techno-Sciencenet
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Chapitre 3 Combinaison linéaire et SEV - univ-angersfr
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Comment calculer la combinaison linéaire ?
Les deux opérations sur un espace vectoriel permettent de définir la combinaison linéaire, c'est-à-dire la somme finie de vecteurs affectés de coefficients (scalaires). La combinaison linéaire d'une famille de vecteurs ayant pour coefficients est le vecteur de E donné par : .
Comment appelle-t-on une combinaison linéaire?
Combinaison linéaire. Combinaison linéaire Tout vecteur est décomposable en une somme de deux autres vecteurs. Ces vecteurs peuvent être décomposés en un produit de vecteur par un scalaire. Toute combinaison de la forme a + b est appelée combinaison linéaire de et .
Qu'est-ce que la combinaison linéaire?
Combinaison linéaire Tout vecteur est décomposable en une somme de deux autres vecteurs. Ces vecteurs peuvent être décomposés en un produit de vecteur par un scalaire. Toute combinaison de la forme a + b est appelée combinaison linéaire de et . Une combinaison linéaire sert à définir un vecteur en utilisant d’autres vecteurs déjà définis.
Comment calculer la combinaison linéaire d'un corps commutatif ?
Soient K un corps commutatif et E un espace vectoriel sur K. Les éléments de E sont appelés les vecteurs et les éléments de K les scalaires. Si v1, …, vn sont des vecteurs et a1, …, an des scalaires, alors la combinaison linéaire de ces vecteurs ayant comme coefficients ces scalaires est le vecteur a1v1 + … + anvn .
Code_AsterVersion
default Titre : Réponse sismique par méthode spectraleDate : 11/05/2009Page : 1/33 Responsable : Sylvie AUDEBERTClé : R4.05.03Révision : 1340Réponse sismique par méthode spectrale
Résumé :
L'étude de la réponse d'une structure sous l'effet de mouvements imposés de type sismique, avec un
mouvement imposé unique (mono-appui) ou multiple (multi-appui) est possible en analyse transitoire (time
history). On se reportera à la note [R4.05.01].Pour des études de dimensionnement, on peut ne s'intéresser qu'à une estimation des efforts maximaux
induits par les sollicitations, pour évaluer la marge de sécurité avec des règlements de construction, sans
recourir à une analyse transitoire.La méthode spectrale s'appuie sur la notion de spectre d'oscillateur d'un accélérogramme de séisme. On
détaille la méthode d'élaboration de ce spectre de réponse disponible dans l'opérateur CALC_FONCTION
[U4.32.04].On montre comment ce spectre d'oscillateur peut être utilisé pour évaluer un majorant de la réponse en
déplacement relatif d'un oscillateur simple. Cette approche se justifie si on ne désire pas connaître l'histoire
des déplacements et des efforts, en se limitant à l'analyse des effets inertiels.La méthode spectrale utilise des notions générales de la méthode de recombinaison modale [R5.06.01].
On décrit les différentes règles de combinaison utilisables pour obtenir un majorant réaliste mais conservatif de
la réponse maximale de la structure. Ces méthodes sont disponibles dans l'opérateur COMB_SISM_MODAL
[U4.84.01]. Manuel de référenceFascicule r4.05 : Analyse sismique Document diffusé sous licence GNU FDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html)Code_AsterVersion
default Titre : Réponse sismique par méthode spectraleDate : 11/05/2009Page : 2/33 Responsable : Sylvie AUDEBERTClé : R4.05.03Révision : 1340Table des Matières1 Notion de spectre d'oscillateur ............................................................................................................ 4
1.1 Mouvement imposé défini par un accélérogramme A (t) .............................................................. 4
1.2 Spectre d'oscillateur d'un accélérogramme .................................................................................. 5
1.2.1 Spectre d'oscillateur en déplacement relatif ........................................................................ 5
1.2.2 Spectre d'oscillateur en pseudo-vitesse relative ................................................................. 6
1.2.3 Spectre d'oscillateur en pseudo-accélération absolue ......................................................... 7
1.3 Détermination du spectre d'oscillateur .......................................................................................... 7
1.4 Représentation et utilisation des spectres d'oscillateurs ............................................................... 8
1.4.1 Représentation tri-logarithmique ......................................................................................... 8
1.4.2 Utilisation des spectres d'oscillateurs .................................................................................. 8
1.5 Spectres d'oscillateurs utilisés pour des études ............................................................................ 9
1.5.1 Spectre de sol de conception et vérification des bâtiments ................................................ 9
1.5.2 Spectre de plancher de vérification des équipements ....................................................... 10
2 Réponse sismique par recombinaison modale .................................................................................. 10
2.1 Rappels de la formulation ........................................................................................................... 10
2.1.1 Mouvement imposé multiple : multi-appui ......................................................................... 11
2.1.2 Mouvement imposé unique : mono-appui ......................................................................... 13
2.1.3 Résumé ............................................................................................................................. 13
2.2 Réponse en base modale ........................................................................................................... 14
2.2.1 Réponse temporelle d'un oscillateur modal ....................................................................... 14
2.2.2 Facteur de participation modal en mono-appui ................................................................. 14
2.2.3 Facteur de participation modal en multi-appui .................................................................. 15
3 Réponse sismique par méthode spectrale ........................................................................................ 15
3.1 Réponse spectrale d'un oscillateur modal en mono-appui .......................................................... 15
3.2 Réponse spectrale d'un oscillateur modal en multi-appui ........................................................... 16
3.3 Généralisation à d'autres grandeurs ........................................................................................... 16
4 Règles de combinaison des réponses modales ................................................................................ 16
4.1 Direction du séisme et réponse directionnelle ............................................................................ 16
4.2 Choix des modes propres à combiner ........................................................................................ 17
4.2.1 Expression de l'énergie de déformation modale ............................................................... 17
4.2.2 Expression de l'énergie cinétique modale ......................................................................... 17
4.2.3 Conclusion ......................................................................................................................... 18
4.3 Correction statique par pseudo-mode ........................................................................................ 18
4.3.1 Mono-appui ........................................................................................................................ 18
4.3.2 Multi-appui ......................................................................................................................... 19
4.4 Généralités sur les règles de combinaison ................................................................................. 19
4.4.1 Combinaison arithmétique ................................................................................................. 20
4.4.2 Combinaison en valeur absolue ........................................................................................ 20
Manuel de référenceFascicule r4.05 : Analyse sismique Document diffusé sous licence GNU FDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html)Code_AsterVersion
default Titre : Réponse sismique par méthode spectraleDate : 11/05/2009Page : 3/33 Responsable : Sylvie AUDEBERTClé : R4.05.03Révision : 13404.4.3 Combinaison quadratique simple ...................................................................................... 20
4.5 Etablissement de la réponse directionnelle en mono-appui ....................................................... 20
4.5.1 Réponse combinée des oscillateurs modaux ................................................................... 20
4.5.1.1 Somme des valeurs absolues ............................................................................... 21
4.5.1.2 Combinaison quadratique simple (CQS) ............................................................... 21
4.5.1.3 Combinaison quadratique complète (CQC) ........................................................... 21
4.5.1.4 Combinaison de ROSENBLUETH ......................................................................... 21
4.5.1.5 Combinaison avec règle des 10% ......................................................................... 22
4.5.2 Contribution de la correction statique des modes négligés ............................................... 22
4.6 Etablissement de la réponse directionnelle en multi-appui ......................................................... 22
4.6.1 Calcul de la réponse globale ............................................................................................. 22
4.6.1.1 Cas avec groupes d'appuis décorrélés .................................................................. 22
4.6.1.2 Cas avec appuis corrélés ...................................................................................... 22
4.6.2 Calcul séparé des composantes primaire et secondaire de la réponse ............................. 23
4.6.2.1 Composante primaire RIX (réponse inertielle) ...................................................... 23
4.6.2.2 Composante secondaire RII (réponse quasi-statique) ........................................... 23
4.6.3 Cumul sur les modes ......................................................................................................... 23
4.6.4 Contribution du pseudo-mode ........................................................................................... 23
4.6.5 Contribution des mouvements d'entraînement .................................................................. 23
4.6.6 Cumul sur les appuis ......................................................................................................... 24
4.7 Combinaison des réponses directionnelles ................................................................................. 24
4.7.1 Combinaison quadratique .................................................................................................. 24
4.7.2 Combinaison de NEWMARK ............................................................................................. 24
4.8 Avertissement sur les combinaisons ........................................................................................... 24
4.9 Pratiques réglementaires ............................................................................................................ 25
4.9.1 Partition des composantes primaires et secondaires de la réponse ................................. 25
4.9.2 Méthode du spectre enveloppe ......................................................................................... 25
5 Bibliographie ...................................................................................................................................... 26
6 Description des versions du document .............................................................................................. 26
Manuel de référenceFascicule r4.05 : Analyse sismique Document diffusé sous licence GNU FDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html)Code_AsterVersion
default Titre : Réponse sismique par méthode spectraleDate : 11/05/2009Page : 4/33 Responsable : Sylvie AUDEBERTClé : R4.05.03Révision : 13401Notion de spectre d'oscillateur
La méthode spectrale pour l'étude de la réponse d'une structure sous l'effet de mouvements imposés
de type sismique s'appuie sur la notion de spectre d'oscillateur d'un accélérogramme de séisme.
1.1Mouvement imposé défini par un accélérogramme A (t)
Pour un mouvement imposé s de type sismique, on peut traiter le problème en déplacement absolu X ou en déplacement relatif x tel que : X=xs. Les équations générales du mouvement d'un oscillateur simple s'écrivent alors : k c m X x s Mouvement absolu m¨Xc˙XkX=c˙sks Mouvement relatif m¨xc˙xkx=-m¨s On retient la formulation à partir du mouvement relatif pour deux raisons principales :l'analyse sismique des structures utilise les contraintes induites par les effets inertiels du séisme,
contraintes calculées à partir des déformations de la structure qui s'expriment à partir des
déplacements relatifs ;la caractérisation du signal d'excitation peut se réduire dans ce cas à l'accélérogramme du
séisme ¨s=At, grandeur fournie directement par les sismographes. Les signaux de déplacement set de vitesse ˙s ne sont en général pas disponibles dans les bases de données géotechniques.Pour la détermination de la réponse d'un oscillateur simple à un mouvement imposé et les notations
conventionnelles, on se reportera à l'annexe 2 [R4.05.03 Annexe 2].Si le séisme est défini par un accélérogramme At, accélération absolue appliquée à la base,
l'équation réduite est dans ce cas :2x=-¨s=-Atéq 1.1-1
La solution de ce problème est l'intégrale de DUHAMEL présentée à l'annexe A [éq A3.3-1] :
xt=1 '0 ∫0 tAe-0t-sin'0t-d=fA,,'0éq 1.1-2
'0=0 1-2 Manuel de référenceFascicule r4.05 : Analyse sismique Document diffusé sous licence GNU FDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html)Code_AsterVersion
default Titre : Réponse sismique par méthode spectraleDate : 11/05/2009Page : 5/33 Responsable : Sylvie AUDEBERTClé : R4.05.03Révision : 13401.2Spectre d'oscillateur d'un accélérogramme
La notion de spectre d'oscillateur a été introduite initialement pour comparer entre eux les effets de
différents accélérogrammes. Le spectre de FOURIER d'un signal At renseigne sur son contenu
fréquentiel. La réponse d'un système mécanique à un mouvement imposé à la base dépend
largement des caractéristiques dynamiques de ce système : fréquences propres et amortissement
réduit ,'0. L'annexe A détaille cet aspect.Si l'on souhaite connaître la valeur maximale de la réponse d'un oscillateur simple aux paramètres ,
A,,'0on doit évaluer l'intégrale de DUHAMEL qui fournit la réponse de l'oscillateur [éq
1.1-2] à une excitation imposée à la base.Accélérogramme
0.6 0.4 0.2 -0.2 -0.4 -0.6 0.0 Temps -0.7 0.71815129630
Accélération absolue
Figure 1.2-a : Accélérogramme
1.2.1Spectre d'oscillateur en déplacement relatif
A partir de l'intégrale de DUHAMEL, on peut définir le spectre d'oscillateur d'un accélérogramme
Atcomme la fonction des valeurs maximales du déplacement relatifxt=fA,,'0
pour chaque valeur de ,'0 en rappelant que : '0=0 1-2. xt=1 '0∫0tOn constate, sur la figure [Figure 1.2.1-a], qu'au delà d'une certaine fréquence (35 Hz ici), dite
fréquence de coupure du spectre, il n'y a pas d'amplification dynamique significative : le déplacement
relatif est nul. Manuel de référenceFascicule r4.05 : Analyse sismique Document diffusé sous licence GNU FDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html)Code_AsterVersion
default Titre : Réponse sismique par méthode spectraleDate : 11/05/2009Page : 6/33Responsable : Sylvie AUDEBERTClé : R4.05.03Révision : 1340Spectre d'oscillateur (Déplacement relatif)
10-1 10-2 10-3Déplacement relatif
10-4 10-5100101
1e-05 0.1Fréquence
Amortissements
1% 5 % 20% 10%Amortissements croissants
de 0.01 à 0.20 Figure 1.2.1-a : Spectre d'oscillateur en déplacement relatif1.2.2Spectre d'oscillateur en pseudo-vitesse relative
Pour des structures avec amortissement réduit faible 0.2=20%, pour lesquelles il est acceptable d'assimiler 0 et '0, on utilise couramment le spectre de pseudo-vitesse défini par :La pseudo vitesse est la valeur de la vitesse qui donne une valeur de l'énergie cinétique de la masse
de l'oscillateur égale à celle de l'énergie de déformation maximale du ressort : Ec=12m˙xt2=1
2m [Sro˙xA,,0]2 =12k∣xt∣max2=Ep
Fréquence
0.0040.5Spectre d'oscillateur (Pseudo vitesse relative)
Amortissements croissants
de 0.01 à 0.20Amortissements
1% 5 % 20% 10%Pseudo vitesse relative10-2
10-1100101
Figure 1.2.2-a : Spectre d'oscillateur en pseudo vitesse relative Manuel de référenceFascicule r4.05 : Analyse sismique Document diffusé sous licence GNU FDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html)Code_AsterVersion
default Titre : Réponse sismique par méthode spectraleDate : 11/05/2009Page : 7/33 Responsable : Sylvie AUDEBERTClé : R4.05.03Révision : 13401.2.3Spectre d'oscillateur en pseudo-accélération absolue
De même pour un amortissement réduit faible, on peut définir le spectre de pseudo-accélération défini
par :Sro¨xA,,0=O2∣xt∣max
Spectre d'oscillateur (Pseudo accélération absolue)Pseudo accélération absolue
10010-1
100101
0.1 4Amortissements
1% 5 % 20% 10%Amortissements croissants
de 0.01 à 0.20Fréquence
Figure 1.2.3-a : Spectre d'oscillateur en pseudo accélération absolueL'intérêt de ce spectre de pseudo-accélération réside dans le fait queSroxA,,0 est une
bonne approximation du maximum d'accélération absolue ¨Xt. En effet, à l'instant où le
déplacement relatif est maximal, la vitesse relative s'annule et l'équation réduite s'écrit
¨x002xmax=-¨s, ce qui nous montre quePour cette raison, ce spectre d'oscillateur est appelé spectre de pseudo-accélération absolue.
L'asymptote de ce spectre à haute fréquence (accélération à période nulle) correspond à la réponse
d'un oscillateur de haute fréquence propre, c'est-à-dire très rigide. Dans ce cas, la masse tend à
suivre intégralement le mouvement imposé de la base. Cette asymptote correspond donc à
l'accélération maximale ∣At∣maxdu mouvement imposé (sol ou point d'accrochage del'oscillateur). Elle est atteinte en pratique à partir de la fréquence de coupure du spectre. Pour cette
raison, on dit qu'un accélérogramme est calé, par exemple, sur 0.15 g, quand son amplitudemaximale et son spectre d'oscillateur de pseudo-accélération absolue à période nulle sont égaux à
0.15 g.
1.3Détermination du spectre d'oscillateur
La détermination du spectre d'oscillateur d'un accélérogrammeAtest disponible dans l'opérateur
CALC_FONCTION [U6.62.04] avec le mot clé SPEC_OSCI : il est obtenu par intégration numérique de
l'équation de DUHAMEL par la méthode de NIGAM [R5.05.01]. Cette commande fournit le spectre depseudo-accélération absolue et, sur demande, le spectre de pseudo-vitesse ou le spectre de
déplacement relatif. Manuel de référenceFascicule r4.05 : Analyse sismique Document diffusé sous licence GNU FDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html)Code_AsterVersion
default Titre : Réponse sismique par méthode spectraleDate : 11/05/2009Page : 8/33 Responsable : Sylvie AUDEBERTClé : R4.05.03Révision : 13401.4Représentation et utilisation des spectres d'oscillateurs
1.4.1Représentation tri-logarithmique
Les spectres de réponse d'oscillateur sont couramment représentés par des graphiques tri-
logarithmiques qui permettent de lire sur un seul graphique les trois grandeurs : le déplacement relatif,
la pseudo-vitesse relative, la pseudo-accélération absolue.Cette représentation est obtenue en traçant le spectre de pseudo-vitesse relative Sro˙x en
coordonnées log-log telles que logSro˙x=flog0, sur lequel on reporte deux
graduations complémentaires à ± 45° si l'échelle des graduations logarithmiques est la même sur les
deux axes :une graduation logarithmique à +45° pour mesurer les déplacements relatifs
logSrox=log0Sro˙x=logSro˙xlog0une graduation logarithmique à -45° pour mesurer les accélérations absolues
logSro¨x=logSro˙x 0 =logSro˙x-log0 Figure 1.4.1-a : Représentation tri-logarithmiquequotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] techniques de questionnement et de reformulation
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