[PDF] Chapitre 1 - Lespace Rn

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Chapitre 1

L'espaceRn

L'ensembleRnest d´efini comme l'ensemble desn-tuplets ordonn´es (x1,...,xn) de nombres r´eels. Cesn-tuplets sont appel´es points deRn. En mˆeme temps on peut interpr´eter l'ensembleRncomme espace vectoriel de dimensionn. Dans ce chapitre nous passons d'abord en revue cette structure alg´ebrique deRn. Ensuite nous introdusions une structure topologique qui nous permet d'´etendre le concept du processus limite `a l'espaceRn. On retrouve ces structures de base dans des situations plus abstraites comme celles d'un espace norm´e ou d'un espace m´etrique auxquelles nous donnons ´egalement une br`eve introduction.

1.1 L'espace vectorielRn

Notations.

Une autre repr´esentation des ´el´ements de l'espace vectorielRn est donn´ee par des vecteurs-colonnes `ancomposantes (au lieu desn-tuplets (x1,...,xn). On les note x= x 1 x ou surmont´es d'une fl`echex=⃗x.`A chaquen-tuplet correspond un unique vecteur-colonne et vice versa. Pour le calcul nous utilisons g´en´eralement des vecteurs-colonnes pour les ´el´ements deRnet les deux notations pour les argu- ments des fonctions d´efinies surRnen raison d'une meilleure lisibilit´e du texte.

Espace vectoriel.

L'ensembleRnpeut ´egalement ˆetre consid´er´e comme un espace vectoriel r´eel muni d'une addition x+y= x 1 x y 1 y x 1+y1 x 3

CHAPITRE 1. L'ESPACERN4

et d'une multiplication avec un scalaireλ∈Rd´efinie par

λx=λ

x 1 x λx 1 λx

Produit scalaire.

L'espace vectorielRnest ´egalement muni d'un produit scalaire⟨·,·⟩:Rn×Rn-→Rd´efini par ⟨x,y⟩=n∑ k=1x kyk.

De fa¸con g´en´erale un produit scalaire⟨·,·⟩v´erifie les trois propri´et´es suivantes :

1. Positivit´e :⟨x,x⟩ ≥0 pour toutxet⟨x,x⟩= 0⇔x=0 2.

Sym´etrie :⟨x,y⟩=⟨y,x⟩

3.

Lin´earit´e dans chaque argument :⟨αx+βy,z⟩=α⟨x,z⟩+β⟨y,z⟩pour

tousx,y,z∈Rnetα,β∈R L'alg`ebre lin´eaire : Un vecteurxest aussi une matricen×1, sa transpos´ee, not´eexT= (x1,...,xn) est alors une matrice 1×n. Par cons´equent, on peut interpr´eter le produit scalaire de deux vecteursx,ycomme produit matriciel de x Tety: ⟨x,y⟩=xTy= (x1,...,xn)· y 1 y

Dimension deRn.

Les vecteurs

e

1=

1 0 ,...,ek= 0 1 ,...,en= 0 0 forment une base orthonormale deRnet x=n∑ k=1x kek pour toutx∈Rno`uxk=⟨x,ek⟩ ∈R. Alors, dimRn=n <∞. On dit queRnest un espace vectoriel euclidien de dimensionn. Tout espace vectoriel r´eel de dimensionnpeut ˆetre identifi´e avecRn.

CHAPITRE 1. L'ESPACERN5

SUPPL

´EMENT : AUTRES ESPACES VECTORIELS

Espaces euclidiens de dimension infinie.

L'ensemblel2(R) consiste en les

suites num´eriques (xk)k∈Ntelles que∞∑ k=0x

2k<∞. C'est un espace vectoriel muni

de l'addition (xk)k∈N+ (yk)k∈N= (xk+yk)k∈N. On d´efinit un produit scalaire par k=0x kyk. Il est plus commode de repr´esenter les suites formellement par des vecteurs dans "R∞". On peut donc ´ecrire ⟨x,y⟩=∞∑ k=0x kyk. L'ensembleC([a,b]) des fonctions continuesf: [a,b]-→Rest un espace vectoriel. SurC([a,b]) on peut d´efinir un produit scalaire par ⟨f,g⟩=∫ b a f(x)g(x)dx.

L'espace vectoriel complexeCn.

L'espaceCnest l'ensemble de vecteurs

complexesxmuni de l'addition habituelle et d'une multiplication externe par des nombres complexes. C'est un espace vectoriel complexe (c'est-`a-dire sur le corpsC). On peut d´efinir un produit scalaire par ⟨x,y⟩=n∑ k=1¯xkyk.(1.1) Ce produit scalaire a la propri´et´e d'ˆetre lin´eaire dans sa deuxi`eme composante et anti-lin´eaire dans sa premi`ere composante. De plus, pour tousx,y∈Cn ⟨x,y⟩= ⟨y,x⟩. Les vecteursek,k= 1...n, forment une base orthonormale. On dit que l'es- paceCnest un espace hermitien de dimensionn. En m´ecanique quantique non relativiste l'´etat de spin d'une particule de spinsest repr´esent´e par un vecteur dansC2s+1.

L'espace vectoriel r´eelCn.

Un espace hermitien est toujours un espace

euclidien si la multiplication externe est restreinte aux nombres r´eels. On prend le produit scalaire ⟨x,y⟩R= Re(⟨x,y⟩) = Re(n∑ k=1¯xkyk).(1.2) Les vecteursek,iek,k= 1...n, forment une base orthonormale par rapport `a ce produit scalaire. Par cons´equent, l'espace vectoriel r´eelCnest de dimension

2n. Nous pouvons donc identifierCnavec l'espace euclidienR2n.

CHAPITRE 1. L'ESPACERN6

1.2 L'espace norm´eRn

Pour pouvoir ´etendre les methodes d'analyse d´evelopp´ees en Analyse I `a l'espaceRn, celui-ci doit ˆetre muni d'une structure topologique. Sur le corpsR nous avons utilis´e la valeur absolue|·|pour d´efinir une distanced(x,y) =|x-y|. On a d´efini la convergence et la continuit´e dansRpar cette distanced. On veut g´en´eraliser la valeur absolue et la distance `a l'espaceRn. Pour cela nous allons introduire les notions d'une norme et d'une m´etrique.

D´efinition - norme et espace norm´e.

SoitEun espace vectoriel r´eel. Une

fonction|| · ||:E-→R+est appel´ee une norme surEsi|| · ||v´erifie les trois propr´et´es suivantes : 1. Positivit´e :||x|| ≥0 pour toutx∈Eet||x||= 0⇔x=0 2. Homog´en´eit´e :||λ·x||=|λ| · ||x||pour toutλ∈Retx∈E 3. Le couple (E,|| · ||) est appel´e un espace norm´e.

La norme euclidienne surRn.

La fonction|| · ||2:Rn-→Rd´efinie par

⟨x,x⟩=( n∑ k=1x 2k) 1 2 (1.3) est une norme surRn. On l'appelle la norme euclidienne (canonique) surRn. L'in´egalit´e triangulaire est une cons´equence de l'in´egalit´e de Cauchy-Schwarz Il en suit queRnmuni de la norme euclidienne est un espace norm´e :

Proposition.

(Rn,|| · ||2) est un espace norm´e.

Distance euclidienne surRn.

Sur un espace norm´e (E,|| · ||) on peut in- troduire une distance entre des vecteurs par d(x,y) :=||x-y||.(1.5) Elle v´erifie les trois propri´et´es suivantes : 1. Positivit´e :d(x,y)≥0 pour tousx,y∈Metd(x,y) = 0⇔x=y 2.

Sym´etrie :d(x,y) =d(y,x)

3. pourx,y,z∈E. Le couple (E,d) est appel´e un espace m´etrique. SurRnon mesure la distance entre des vecteurs par la distance (ou m´etrique) euclidienne donn´ee par (x1-y1)2+...+ (xn-yn)2.(1.6)

CHAPITRE 1. L'ESPACERN7

Interpr´etation g´eom´etrique.

DansR2ouR3la m´etrique euclidienned2(x,y) =

||x-y||2signifie la distance euclidienne (habituelle) de deux pointsxety. La norme euclidienne||x||2correspond ´egalement `a la longueur du vecteurx. Le produit scalaire⟨x,y⟩donne une mesure de l'angle entre les vecteursxety:

On d´esigneθ=^(x,y), alors

⟨x,y⟩=||x||2||y||2cosθ. En particulier, sixetysont des vecteurs orthogonaux, i.e.θ=±π/2, alors ⟨x,y⟩= 0.

1.3 Sous-ensembles deRn

Pour d´efinir certaines notions et propri´et´es des sous-ensembles deRnon utilise seulement le fait que l'espaceRnest muni d'une m´etrique, par exemple la distance euclidienned(x,a) =d2(x,a) . Nous allons voir plus loin que pour l'espace vectorielRnces notions ne d´ependent pas du choix dedsidest d´efinie `a partir d'une autre norme surRn.

Boule ouverte.

Soita∈Rnetr >0. L'ensemble

B(a,r) ={x∈Rn:d(x,a)< r}

est appel´e la boule ouverte de centreaet de rayonr. Les caract´erisations topo- logiques des sous-ensmbles des r´eels introduites en Analyse 1 s'´etendent natu- rellement `a l'espaceRn:

Sous-ensemble ouvert.

Un sous-ensembleS⊂Rnest dit ouvert si pour

toutx∈Sil existe un voisinageB(x,ϵ) tel queB(x,ϵ)⊂S. L'ensemble vide∅ et l'espaceRnsont ouverts. Toute boule ouverteB(a,r) est un ensemble ouvert. Toute r´eunion quelconque d'ouverts est un ensemble ouvert. Toute intersection finie d'ouverts est un ouvert.

Sous-ensemble ferm´e.

Un sous-ensembleS⊂Rnest dit ferm´e siRn\Sest ouvert. L'ensemble vide∅et l'espaceRnsont ferm´es (et ouverts).

L'int´erieur et le bord d'un ensemble.

SoitS⊂Rneta∈S. On dit que

aest dans l'int´erieur deSs'il existe un voisinageB(a,ϵ) tel queB(a,ϵ)⊂S. L'ensemble des points int´erieurs `aSest appel´e l'int´erieur deSet not´e◦S. Un pointa∈Rnest appel´e point fronti`ere deSsi tout voisinageB(a,ϵ) contient des points deSet des points deRn\S. L'ensemble des points fronti`eres `aSest appel´e le bord deSet not´e∂S.

Exemple.

La boule unit´e ouverte dansRn(par rapport `a la norme||·||2) est d´efinie par B

1=B(0,1) ={x∈Rn:||x||<1}.

Son bord est la sph`ere

∂B

1={x∈Rn:||x||= 1}.

CHAPITRE 1. L'ESPACERN8

L'adh´erence d'un ensemble.

SoitS⊂Rneta∈Rn. On dit queaest

adh´erent `aSsi pour tout voisinageB(a,ϵ) :

B(a,ϵ)∩S̸=∅.

L'ensemble des points adh´erents `aSest appel´e l'adh´erence deSet not´e¯S.

Proposition.

SoitS⊂Rn. Alors,

1.

S⊂S⊂¯S.

2.

S=◦S∪∂S.

3.

Sest ouvert si et seulement siS=◦S.

4.

Sest ferm´e si et seulement siS=¯S.

Exemples.

1. Soitf:R-→Rune fonction continue. Le grapheGf={(x,f(x))∈R2: x∈R}repr´esente une courbe dansR2. On a◦G f=∅. DoncGf=∂Gf. Le graphe d'une fonction continue est un ensemble ferm´e dansR2. 2. SoitB={x∈R2:||x||2<1}etI= [0,5]. L'ensembleSd´efini par est un cylindre. l'ensembleSn'est ni ouvert ni ferm´e. Le bord deSest donn´e par ∂S=∂B×I∪B×∂I

1.4 Suites dansRn

Nous introdusions la notion de convergence d'une suite dans un espace norm´e et la notion d'un espace norm´e complet.

Suites.

Une suite d'´el´ements deRnest une applicationf:N-→Rn, qui , `a toutk∈N, associe un ´el´ementxk=f(k)∈Rn. Les suites sont not´ees (xk)k∈N.

Suite convergente.

Une suite (xk)k∈Nconverge versx∈Rn, si `a toutϵ >0, on peut associer un entier naturelNϵtel que pour toutk≥Nϵon ad2(xk,x)< ϵ.

On ´ecrit alors

limk→+∞xk=x. On dit aussi que la suite (xk)k∈Nestconvergenteet admet pourlimitex∈ R n. Lorsque la limite existe, elle est unique. Une suite non convergente est ditedivergente. Par cette d´efinition la suite (xk)k∈Nconverge versx∈Rnsi et seulement si la suite num´erique des distances (Dk)k∈Ndonn´ees parDk= d(xk,x) converge vers 0 : lim k→+∞xk=x⇔limk→+∞d2(xk,x) = 0.(1.7)

CHAPITRE 1. L'ESPACERN9

Suite de Cauchy.

Une suite (xk)k∈Nest ditesuite de Cauchysi `a toutϵ >0, on peut associer unN=Nϵ∈Ntel quek,l≥Nimpliquentd2(xk,xl)< ϵ.

Proposition.

Toute suite convergente (xk)k∈Nest une suite de Cauchy.

D´emonstration.

voir Analyse 1.

Espace norm´e complet.

Un espace norm´e (E,||·||) est dit complet si toute suite de Cauchy converge par rapport `a cette m´etrique. Un espace norm´e com- plet est appel´e espace de Banach.

Exemple - L'espace de BanachR.

Nous avons d´emontr´e au chapitre 2.5.,

Analyse I, que l'ensembleRmuni de la m´etriqued(x,y) =|x-y|est complet. Ce r´esultat est `a la base du r´esultat correspondant sur l'espace norm´e (Rn,|| · ||2).

Proposition.

Une suite (xk)k∈Nconverge dans l'espace norm´e (Rn,|| · ||2) si est seulement si lesnsuites num´eriques (x1,k)k,...,(xn,k)kconvergent. Il en suit le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme.

Toute suite de Cauchy dansRnconverge. Par cons´equent, l'espace norm´e (Rn,|| · ||2) est complet.

Suites born´ees dansRn.

Une suite (xk)k∈Nest born´ee dans (Rn,||·||2) s'il de Bolzano-Weierstrass s'applique aussi aux suites born´ees dansRn:

Th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass dansRn.

De toute suite born´ee (xk)k∈N

dansRnon peut extraire une sous-suite convergente (xkj)j∈N.

D´emonstration.

Voir la d´emonstration du th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass dansC, Analyse 1.

Suites et ensembles dansRn.

SoitS⊂Rn. Alors,x∈¯Ssi et seulement

sixest la limite d'une suite d'´el´ements deS. SiSest ferm´e et born´e, alors de toute suite d'´el´ements deSpeut extraire une sous-suite convergente dansS. En particulier, si la suite est convergente sa limite est dansS.

1.5 Fonctions continues

Le concept de fonction continue s'´etend aux applicationsf:Rn-→Rm.

Fonction continue.

Une fonctionf:Rn-→Rmest dite continue ena∈Rn si limx→af(x) =f(a), c'est-`a-dire, si pour toute suite (xk)k∈NdansRnqui converge versaon a lim k→∞f(xk) =f(a).

CHAPITRE 1. L'ESPACERN10

Proposition.

La fonctionf:Rn-→Rmest continue ena∈Rnsi pour tout

ϵ >0 il existeδ >0 tel que

d

2(x,a)< δ⇒d2(f(x),f(a))< ϵ.

Sim=n= 1 alorsd2(x,y) =|x-y|et nous retrouvons le r´esultat sur la continuit´e d'une fonctionf:R-→R.

R`egles de calcul pour les fonctions continues.

Les combinaisons lin´eaires

αf+βgde deux fonctionsf,g:Rn-→Rmcontinues ena∈Rnsont continues ena∈Rn. La composition des fonctions preserve ´egalement la continuit´e (voir l'Analyse 1). Dans la suite nous pr´esentons quelques exemples de fonctions continues. Pour les applications lin´eaires et les formes bilin´eaires voir la section 1.7.

Exemple 1.

La norme euclidienne||·||2:Rn-→R+est continue sur l'espace

Exemple 2.

Toute norme|| · ||:Rn-→R+est continue sur l'espace norm´e (Rn,|| · ||2). En fait comme ci-dessus

Exemple 3.

On peut construire des fonctions continuesf:Rn-→Rm`a partir des fonctions continuesf:R-→Rgrˆaces aux r`egles de calcul pour des fonctions continues. Par exemple, soitfi:R-→Rcontinues enai∈R, i= 1,...n. Alorsf:Rn-→Rd´efini parf(x) =n∑ i=1f i(xi),x=n∑ i=1x ieiest continuea=n∑ i=1a iei. Comme nous avons vu en Analyse I le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass im- plique le r´esultat suivant sur les fonctions r´elles continues.

Th´eor`eme.

SoitM⊂(Rn,|| · ||2) born´e et ferm´e. Soitf:M→Rcontinue.

Alors,fatteint son minimum et son maximum surM.

Th´eor`eme du point fixe de Banach.

SoitM⊂(Rn,||·||2) born´e et ferm´e.

Soitf:M-→Mune contraction, c'est-`a-dire il existe 0< q <1 tel que pour toutx,y∈M d Alors, il existe un unique ¯x∈Mtel quef(¯x) = ¯x.

CHAPITRE 1. L'ESPACERN11

Limite d'une fonction.

En analogie avec l'Analyse 1 on peut d´efinir la limite d'une fonctionf:Rn-→Rmena∈Rnpar l'existence d'un prolongement par continuit´e. Nous allons pr´esenter ce concept seulement au chapitre 3 pour des fonctionsf:Rn-→Rpour pouvoir illustrer des r´esultats surpr´enants du calcul diff´erentiel.

1.6 Autres normes surRn

Il y a d'autres normes surRn, par exemple :

||x||1=n∑ k=1|xk|(1.9) Pour montrer que la notion de convergence introduite surRnne d´epend pas de la norme choisie on introduit la notion de l'´equivalence des normes. On dit que deux normes|| · ||et||| · |||sont ´equivalentes s'ils existent des constantes C

1,C2>0 telles que pour toutx∈E:

C Evidemment, les trois normes|| · ||1,|| · ||2,|| · ||∞sont ´equivalentes, puisque 1 n et n||x||∞. Soit|| · ||une norme surRn. Alors, il existe une constanteC >0 telle que

En fait, en ´ecrivantx=n∑

i=1x iei, par les propri´et´es d'une norme et l'in´egalit´e de Cauchy-Schwarz : n∑ i=1x 2i) 1 2 (n∑ i=1||ei||2) 1 2 =C||x||2 avecC=( n∑ i=1||ei||2) 1 2 . Nous allons d´emontrer que toutes les normes surRn sont ´equivalentes. Cette propri´et´e implique que la notion de convergence qu'on d´efinit `a l'aide de la distance induite par une norme ne d´epend pas de la norme utilis´ee.

Continuit´e des normes surRn.

Toute norme||·||:Rn-→R+est continue

sur l'espace norm´e (Rn,|| · ||2). En fait comme ci-dessus

CHAPITRE 1. L'ESPACERN12

Proposition - Equivalence des normes.

Soit||·||une norme surRn. Alors,

|| · ||est equivalente `a|| · ||2.

D´emonstration.

M={x∈Rn:||x||2= 1}est un sous-ensemble born´e et ferm´e de (Rn,|| · ||2). La fonction continue|| · ||atteint son minimum et son maximum surM. Par l'homog´en´eit´e des normes ils existentC1,C2>0 telles que C pour toutx∈Rn. Il en suit ´egalement que pour l'espaceRnla notion d'un ouvert ne d´epend pas de la norme puisque toutes les normes sont ´equivalentes. Par exemple, soient

B(a,ϵ) ={x∈Rn:||x-a||2< ϵ}

lesϵ-voisinages par rapport `a la norme euclidienne et B ′(a,ϵ) ={x∈Rn:||x-a||∞< ϵ} lesϵ-voisinages par rapport `a la norme du maximum, alors on a les inclusions suivantes : B 1 y

±1 ±0.5 0.5 1

x

Des boules pour les normes 1,2,∞

1.7 Applications lin´eaires

A toute application lin´eairef:Rn→Rmon peut associer une matrice

A∈Mm,ntelle que

f(x) =Ax(1.13) pour toutx∈Rn. Plus explicitement, siA= (aij)ij,i= 1...m,j= 1...n, alors

Ax=m∑

i=1n j=1a ijxjei

CHAPITRE 1. L'ESPACERN13

o`u lesei∈Rmsont les vecteurs de la base canonique. Par l'in´egalit´e de Cauchy-

Schwarz :

||Ax||22=m∑ i=1n j=1n l=1aquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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