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Le taux de variation de la fonction f entre a et b avec a ? b

DS derivation - Premiere S

Exercice 2 (9 points). On considère la fonction f définie sur par : f(x) = x3 - 3x - 3. On note Cf sa représentation graphique.

Première S Exercices dapplications sur la dérivation 2010-2011 1

Première S. Exercices d'applications sur la dérivation. 2010-2011. 1. Exercice 1. Déterminer l'ensemble de définition de f puis étudier ses variations.

DÉRIVATION (Partie 1)

Le nombre dérivé de f en 2 vaut 6 et on note : ?(2) = 6. III. Tangente à une courbe. Soit une fonction f définie sur un intervalle I et dérivable en un nombre

Première S - Nombre dérivé et tangente

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En déduire une équation de la tangente à sa courbe C au point d'abscisse 3. Exercice 3 f est la fonction x ©ª x²; a est un réel. 1) Donner l'approximation

LA DÉRIVÉE SECONDE

Effectuer la dérivée première de ;. 2. Trouver tous les points stationnaires ;. 3. Effectuer la dérivée seconde de ;. 4. Évaluer aux points stationnaires ;. 5.

FONCTION DERIVÉE

Calculons le nombre dérivé de la fonction f en un nombre réel quelconque a. Pour h ? 0 : Cette fonction s'appelle la fonction dérivée de f.

Première générale - Dérivation - Exercices - Devoirs

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Cette pente s'appelle le nombre dérivé de en et se note ?( ) Définition : On dit que la fonction est dérivable en s'il existe un nombre réel

Dérivée dune fonction : cours de maths en 1ère à télécharger en PDF

Cours sur la dérivée d'une fonction en 1ère avec son signe et les variations d'une fonction en première ainsi que les propriétés

Comment expliquer la dérivation ?
Graphiquement, la dérivée d'une fonction correspond à la pente de sa droite tangente en un point spécifique. L'illustration qui suit permet de visualiser la droite tangente (en bleu) d'une fonction quelconque en deux points distincts. Remarquez que l'inclinaison de la droite tangente varie d'un point à l'autre.
Comment faire la dérivée d'une fonction ?
Pour déterminer la fonction dérivée d'une fonction sur un intervalle donné, on peut revenir à la définition du nombre dérivé en un point a. On calcule alors la limite du taux d'accroissement de cette fonction entre x et a, lorsque x tend vers a. Ce calcul « à la main » est souvent très long et laborieux.
Qui a inventé la dérivation ?
Sa création est liée à une polémique entre deux mathématiciens : Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz. Néanmoins, on retrouve chez des mathématiciens plus anciens les prémices de ce type de calcul : Pierre de Fermat et Isaac Barrow notamment.
La dérivée permet de d'étudier les variations d'une fonction sur son domaine de définition. En terminale ES, la dérivée sert à déterminer les variations de la fonction.

Première ES Cours dérivation

I Nombre dérivé et tangente

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, sa représentation graphique dans un repère et A, le point de d

Taux de variation

Définition :

Le taux de variation de la fonction f entre a et b, avec a b, est le quotient f(b) f(a) b - a.

Avec b = a + h et h r(h) = f(a + h) f(a)

Interprétation graphique

Soient A et B les points de coordonnées A(a ;f(a)) et B(a + h ;f(a + h)). Le coefficient directeur de la droite (AB) est égal à yB yA xB - xA-à-dire f(a+h) f(a) h.

Propriété :

Le taux de variation de f entre a et a + h est égal au coefficient directeur de la droite (AB).

Nombre dérivé

Supposons que pour des valeurs de h de plus en plus proches de zéro, (avec h 0), r(h) limite de r(h) quand h tend vers 0. On écrit limh0 r(h) et on lit " limite de r(h) quand h tend vers 0 ».

Définition :

On dit alors que la fonction f est dérivable en a et que l est le nombre dérivé de f en a.

Ce nombre dérivé est noté avec :

limh0 f(a+h) - f(a) h

Première ES Cours dérivation

Exemple :

On considère la fonction f : x x² et a = 1. Alors f(a + h) = f(1 + h) = (1 + h)² = 1 + 2h + h² et f(a) = f(1) = 1² = 1

Donc f(a + h) f(a)

h = 1 + 2h + h² - 1 h = 2h + h² h = 2 + h limh0 (2 + h) = 2

Tangente en un point à une courbe

Graphiquement, lorsque h tend vers 0, le point B de se rapproche de A.

Définition :

Si f est dérivable en a, on appelle tangente en A à la courbe la droite qui passe par A et

Vocabulaire :

Le point A(a ;f(a)) est le point de contact de la tangente et de f.

Remarque :

Equation de la tangente à :

a) + f(a)

Première ES Cours dérivation

II Fonction dérivée

Définition

Si f est une fonction rivable

sur I. fonction dérivée

Exemple :

Soit f la fonction définie sur par f(x) = x². e. On étudie le rapport r(h) = (a + h)² - a² h = a² + 2ah + h² - a² h = 2ah + h² h = 2a + h.

La limite de r(h) lorsque h tend vers 0 est 2a.

Donc la fonction f est dérivable sur

La fonctio.

Dérivée des fonctions usuelles

Type de fonction Fonction dérivée

Fonctions affines définies sur

f(x) = mx + p f est dérivable sur . et

Fonctions puissances définies sur

f(x) = xn avec n entier naturel non nul f est dérivable sur . et n-1

Fonction inverse définie sur ]- ;0[ ]0 ;+ [.

f(x) = 1 x f est dérivable sur ]- ;0[ ]0 ;+ [ et - 1 x²

Fonction racine carrée définie sur [0 ;+ [.

f(x) = x f est dérivable sur ]0 ; + [ et 1 2x

Cas particuliers :

Fonctions constantes (fonctions affines avec m = 0) f(x) = p Fonctions linéaires (fonctions affines avec p = 0) f(x) = mx

Fonction carré

f(x) = x²

Fonction cube

f(x) = x3

Première ES Cours dérivation

III Dérivées et opérations

Dérivée de u + v

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

Propriété :

La somme u + v est dérivable sur I et :

Exemple :

La fonction f définie sur par f(x) = x² + 3x est la somme de deux fonctions u et v définies par u(x) = x² et v(x) = 3x. u et v sont deux fonctions dérivables sur

Donc f est dérivable sur et

Dérivée de uv

Propriété :

Le produit uv de deux fonctions dérivables sur un intervalle I est une fonction dérivable sur I et :

Exemple :

La fonction f définie sur par f(x) = 2x(3x + 1) est le produit de deux fonctions u et v définies sur par u(x) = 2x et v(x) = 3x + 1. u et v sont deux fonctions dérivables sur Donc f est dérivable sur v(x) + u(x)(3x + 1) + 2x3.

12x + 2

Dérivée de ku (avec k constante réelle)

Propriété :

Le produit ku, avec k constante réelle, est dérivable sur I et .

Exemple :

Soit f la fonction définie sur par f(x) = 7x². f(x) est de la forme ku(x) avec k = 7 et u(x) = x².

Donc 2x = 14x.

Dérivée de u²

Propriété :

Le carré de u²est dérivable sur I et (u²2u.

Exemple :

Soit f la fonction définie sur par f(x) = (x² + 1)². f(x) est de la forme (u(x))² avec u(x) = x² + 1. x)u(x) = 22x(x² + 1) = 4x(x² + 1)

Première ES Cours dérivation

Dérivée de 1

Propriété :

1 v de v avec v(x) 0 sur I, est dérivable sur I et 1 v = - v².

Exemple :

Soit f la fonction définie sur par f(x) = 1

3x² + 4

f(x) est de la forme 1 (v(x))² avec v(x) = 3x² + 4.

Or v32x = 6x

- v'(x) (v(x))² = - 6x (3x² + 4)²

Dérivée de u

Propriété :

Le quotient u

v, avec v(x) 0 sur I, est dérivable sur I et u v = v².

Exemple :

Soit f la fonction définie sur I = ]- ;-1[ ]-1 ; + [ par f(x) = 2x 1 x + 1. f(x) = u(x) v(x) avec u(x) = 2x 1 et v(x) = x + 1. (x)v(x) u(x)(x) (v(x))²

2(x + 1) (2x 1)1

(x + 1)² = 2x + 2 2x + 1 (x + 1)² = 3 (x + 1)²quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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Comment expliquer la dérivation ?

Comment faire la dérivée d'une fonction ?

Qui a inventé la dérivation ?

Première ES Cours dérivation

I Nombre dérivé et tangente

Taux de variation

Définition :

Avec b = a + h et h r(h) = f(a + h) f(a)

Interprétation graphique

Propriété :

Nombre dérivé

Définition :

Ce nombre dérivé est noté avec :

Première ES Cours dérivation

Exemple :

Donc f(a + h) f(a)

Tangente en un point à une courbe

Définition :

Vocabulaire :

Remarque :

Equation de la tangente à :

Première ES Cours dérivation

II Fonction dérivée

Définition

Si f est une fonction rivable

Exemple :

La limite de r(h) lorsque h tend vers 0 est 2a.

Donc la fonction f est dérivable sur

La fonctio.

Dérivée des fonctions usuelles

Type de fonction Fonction dérivée

Fonctions affines définies sur

Fonctions puissances définies sur

Fonction inverse définie sur ]- ;0[ ]0 ;+ [.

Fonction racine carrée définie sur [0 ;+ [.

Cas particuliers :

Fonction carré

Fonction cube

Première ES Cours dérivation

III Dérivées et opérations

Dérivée de u + v

Propriété :

La somme u + v est dérivable sur I et :

Exemple :

Donc f est dérivable sur et

Dérivée de uv

Propriété :

Exemple :

12x + 2

Dérivée de ku (avec k constante réelle)

Propriété :

Exemple :

Donc 2x = 14x.

Dérivée de u²

Propriété :

Exemple :

Première ES Cours dérivation

Dérivée de 1

Propriété :

Exemple :

Soit f la fonction définie sur par f(x) = 1

3x² + 4

Or v32x = 6x

Dérivée de u

Propriété :

Le quotient u

Exemple :

2(x + 1) (2x 1)1