[PDF] Xcas et les mathématiques de troisième

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Xcaset les mathématiques de troisième

Renée De Graeve

7 janvier 2015

2

Remerciements

Je remercie :

Bernard P arissepour ses précieux conseils et ses remarques sur ce te xte, c

2002, 2006 Renée De Graeve,renee.degraeve@wanadoo.fr

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Préface

Bernard Parisse est Maître de Conférences à l"Université de Grenoble I. Il est le développeur du logiciel de calcul formelgiacet de son interfaceXcas.

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4

Table des matières

5

6TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1

Calculs : nombres relatifs,

fractions, puissances

1.1 Calculs exacts avecXcas

AvecXcas, on fait du calcul exact.

AvecXcas, les simplifications ne se font pas automatiquement, seules les paren- thèses inutiles sont enlevées et les fractions sont simplifiées. Pour avoir la forme simplifiée d"une expression, il faut utiliser la commandenormal. On remarquera que la réponse se fait dans un éditeur d"équations, ce qui fait que l"on peut mettre en surbrillance chaque sous-arbre de l"expression et agir sur lui à l"aide des com- mandes situées dans les différents menus.

Pour faire les calculs :

On ef fectueles calculs mis entre les parenthèses,

On ef fectueles puissances,

On ef fectueles multiplications et les di vitionsdans l"ordre de g aucheà droite. On ef fectueles additions et les soustractions dans l"ordre de g aucheà droite.

1.2 Calculsavecdesnombresrelatifsetavecdespuissances

Calculer et écrire chacune des expressions de 2 façons différentes (soit en cal- culant les calculs mis entre les parenthèses, soit en effectuant les puissances) :

1.2 + 342=561

2.2 + (34)2=561

3.2 + 342=(56)1

4.2 + (34)2=(56)1

5.2 + 342=(561)

6.(2 + 342)=561

7.(2 + 342)=(561)

AvecXcas,

7

8CHAPITRE1. CALCULS:NOMBRESRELATIFS,FRACTIONS,PUISSANCES

1.

On tape :

-2+3 *4^2/5*6-1 ou -2+(3 *16)/5*6-1

On obtient :273/5

2.

On tape :

-2+(3 *4)^2/5*6-1 ou -2+12^2/5 *6-1

On obtient :849/5

3.

On tape :

-2+3 *4^2/(5*6)-1 ou -2+3 *16/30-1

On obtient :-7/5

4.

On tape :

-2+(3 *4)^2/(5*6)-1 ou -2+12^2/30-1

On obtient :9/5

5.

On tape :

-2+3 *4^2/(5*6-1) ou -2+3 *16/29

On obtient :(-10)/29

6.

On tape :

(-2+3 *4^2)/5*6-1 ou (-2+3 *16)/5*6-1

On obtient :271/5

7.

On tape :

(-2+3 *4^2)/(5*6-1) ou (-2+3 *16)/29

On obtient :46/29

1.3 Calculs avec des fractions et avec des racines

1.

Simplifier ou calculer :

-s2 + p2 2p2 +s2p2 2 + p2 -s2 + p3 2p3 +s2p3 2 + p3 -q2 + p2q2p2

1.3. CALCULS AVEC DES FRACTIONS ET AVEC DES RACINES9

p2q2 + p2r2 + q2 + p2r2q2 + p2

Solution avecXcas

sqrtest la fonction racine carrèe. normaletsimplifysont des fonctions qui effectuent des simplifica- tions. developperest une fonction qui développe une expression.

On tape :

normal(sqrt((2+sqrt(2))/(2-sqrt(2)))+ sqrt((2-sqrt(2))/(2+sqrt(2))))

On obtient :2*sqrt(2)

On tape :

normal(sqrt((2+sqrt(3))/(2-sqrt(3)))+ sqrt((2-sqrt(3))/(2+sqrt(3))))

On obtient :4

On tape :

normal(sqrt(2+sqrt(2)) *sqrt(2-sqrt(2)))

On obtient :sqrt(2)

On tape :

normal(sqrt(2) sqrt(2-sqrt(2+sqrt(2)))))

On obtient :2

Pour avoir le détail des calculs, on tape :

A:=sqrt(2)

sqrt(2-sqrt(2+sqrt(2)))) developper(A^2)

On obtient :

2

Puis on met en surbrillance :

(sqrt(sqrt(2)+2)+2) *(-(sqrt(sqrt(2)+2))+2) et on appuie sursimplifydu clavierkbddeXcas.

On obtient :

2 *(sqrt(2)+2)*(-(sqrt(2))+2)

Puis on met en surbrillance :

(sqrt(2)+2) *(-(sqrt(2))+2) et on appuie sursimplifydu clavierkbddeXcas.

On obtient la valeur deA^2:

2 *2

Aest positif doncAest égal à2

2.

Simplifier ou calculer :

13 +324
5 12 23
(35+56 )35 (54 712

10CHAPITRE1. CALCULS:NOMBRESRELATIFS,FRACTIONS,PUISSANCES

2p45 + 3

p12p206p3

2p605 + 3

p31254p845

2p25 + 3

p12p48

Solution avecXcas

On tape :

(1/3+3/2)/(4/5-1/2);

On obtient :55/9

On tape :

-2/3 *(-3/-5+-5/6)-3/5*(-5/4-7/12);

On obtient :113/90

On tape :

normal(2

On obtient :4*sqrt(5)

On tape :

normal(2 *sqrt(605)+3*sqrt(3125)-4*sqrt(845));

On obtient :45*sqrt(5)

3.

Écrire a vecun dénominateur rationnel :

23p5
+35 + 3
p5 71 +
p2 (323p2 )(74p2

Solution avecXcas

On tape :

normal(-2/(3-sqrt(5))+3/(5+ 3 *sqrt(5)))

On obtient :(-(sqrt(5))-45)/20

On tape :

normal(-7/(1+sqrt(2))-(3/(2-3 *sqrt(2)))*(-7/(4-sqrt(2))))

On obtient :(-17*sqrt(2)+11)/2

1.4 Calculs avec des puissances

Mettre sous forme d"un produit de puissances de nombres premiers

1.15452

212282(45)2

6220216433

622021286433

2.

Le nombre 22632052est-il un cube parfait?

3. Quel est le plus petit nombre par lequel il f autmultiplier 2325pour que ce produit soit un cube parfait et un carré parfait.

Solution avecXcas

factoriser_entierest une fonction qui factorise les nombres entiers en pro- duit de facteurs premiers

1.On tape :

(6^2 *20*21*28)/(2^3*40*3^3)

1.4. CALCULS AVEC DES PUISSANCES11

On obtient :49

On tape :

factoriser_entier(49)

On obtient :7^2

au numérateur et au dénominateur.

On tape :

factoriser_entier(6^2 *20*21*28)/factoriser_entier(2^3*40*3^3)

On obtient :2^6*3^3*5*7^2/(2^6*3^3*5)

Il reste ensuite à simplifier à la main!

On tape :

(6^2 *20*21*28)/(64*3^3)

On obtient :245

On tape :

factoriser_entier(245) On obtient :5*7^2Pour avoir le détail des calculs il faut appliquer la fonctionfactoriser_entierau numérateur et au dénominateur.

On tape :

factoriser_entier(6^2 *20*21*28)/factoriser_entier(64*3^3)

On obtient :2^6*3^3*5*7^2/(2^6*3^3)

Il reste ensuite à simplifier à la main!

2.

On tape :

factoriser_entier(2^2 *6*3^20*5^2)

On obtient :2^3*3^21*5^2

Le nombre22632052n"est pas un cube parfait car la puissabce de 5 n"est pas divisible par 3. 3. Pour que 23253soit un cube parfait et un carré parfait, il faut que les puissances de sa décomposition en facteurs premiers soient des multiples de 6. On tape : factoriser_entier((2 *3*5)^6/(2*3^2*5^3))

On obtient :2^5*3^4*5^3

12CHAPITRE1. CALCULS:NOMBRESRELATIFS,FRACTIONS,PUISSANCES

Chapitre 2

Le calcul littéral

2.1 Le calcul littéral et exact avecXcas

Xcaspeut faire des calculs avec des lettres car les variables deXcassont soit des variables symboliques, soit des variables contenant des expressions.

Par exemple si on tape :

quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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