Cycles eulériens et hamiltoniens
Certains graphes ne possèdent ni cycle hamiltonien ni cycle eulérien par exemple celui- ci-dessous. Notons qu'on définit de la même manière les chaînes
Chapitre 6: Graphes eulériens et hamiltoniens 6.1 Introduction et les
parlera de cycle eulérien. • Un chemin hamiltonien est un chemin dans le graphe qui passe par tous les sommets une et une seule fois.
Cycles eulériens et hamiltoniens
eulérien ». Un cycle qui passe exactement une fois par chaque sommet d'un graphe est dit. « hamiltonien ». Certains graphes ne possèdent ni cycle
3.2 Chaînes et cycles
Un graphe admet un cycle eulérien si tous ses sommets sont de degré pair. CHAÎNE HAMILTONIENNE ET CYCLE HAMILTONIEN. • Une chaîne hamiltonienne est une
Parcours eulériens et hamiltoniens
Un graphe est eulérien s'il contient un cycle eulérien. Pour un graphe orienté G=(VA)
Parcours eulériens et hamiltoniens
Un circuit (cycle) eulérien est un circuit (cycle) qui passe exactement une fois par chaque arc (arête) du graphe considéré. Nous débutons ce document par
Graphe Eulériens et Hamiltoniens
Mar 12 2018 semi-Eulérien si il existe un chemin de G qui passe une et une fois par chaque arête. Hamiltonien si il existe un circuit (un chemin fermé) ...
Graphes eulériens & Graphes hamiltoniens
Graphe Eulérien. On dit qu'un graphe non orienté est : Eulérien s'il existe un lacet de Jordan contenant toutes les arêtes du graphe.
Introduction à la théorie des graphes
Un graphe contenant un chemin Hamiltonien n'est pas toujours Hamiltonien. (voir exemple ci-apr`es). Les graphes complets sont Hamiltoniens. Un graphe Eulérien n
Résumé des notions du chapitre 3
Circuit eulérien. (arc). C'est comme un cycle eulérien et tous les sommets doivent être de degrés pairs. Le sens des flèches est important. Chemin hamiltonienne.
[PDF] Chapitre 6: Graphes eulériens et hamiltoniens
Si ce chemin est fermé on parlera de cycle eulérien • Un chemin hamiltonien est un chemin dans le graphe qui passe par tous les sommets une et une seule fois
[PDF] Graphes eulériens & Graphes hamiltoniens - LRDE
On dit qu'un graphe non orienté connexe est : hamiltonien s'il existe un cycle de Jordan contenant toutes les sommets du graphe semi-
[PDF] Cheminement eul´erien et hamiltonien 1 Chemins eulériens
Monter qu'un graphe admettant un cycle eulérien a tout ses sommets de degré pair Un graphe est hamiltonien s'il admet un cycle hamiltonien Exemple 2
[PDF] Graphe Eulériens et Hamiltoniens
12 mar 2018 · Eulérien si il existe un circuit (un chemin fermé) de G qui passe une et une fois par chaque arête semi-Eulérien si il existe un chemin de G
[PDF] Parcours eulériens et hamiltoniens - GERAD
Parcours eulériens et hamiltoniens Un circuit (cycle) eulérien est un circuit (cycle) qui passe exactement une fois par chaque arc (arête) du graphe
[PDF] Parcours eulériens et hamiltoniens - GERAD
Un graphe est quasi fortement connexe s'il contient une racine c'est-à-dire un sommet r tel qu'il existe un chemin de r vers tout autre sommet du graphe Une
[PDF] Introduction à la théorie des graphes
Cycle eulérien : cycle simple passant par toutes les arêtes d'un graphe une et Un graphe possédant un sommet de degré 1 ne peut être hamiltonien
[PDF] Théorie des graphes et optimisation dans les graphes - CNRS
En revanche ce graphe n'admet pas de cycle eulérien 4 5 Notion de graphe hamiltonien Dans un graphe simple non orienté comportant n sommets une chaine
[PDF] 32 Chaînes et cycles
Une chaîne hamiltonienne est une chaîne simple qui emprunte une seule fois tous les sommets d'un graphe connexe • Un cycle hamiltonien est un cycle simple qui
Comment savoir si un graphe est eulérien ?
Un cycle qui passe exactement une fois par chaque arête d'un graphe est dit « eulérien ». Un cycle qui passe exactement une fois par chaque sommet d'un graphe est dit « hamiltonien ».Comment montrer qu'un graphe n'est pas hamiltonien ?
Théorème — Un graphe est hamiltonien si et seulement si sa fermeture est hamiltonienne. En particulier, si la fermeture d'un graphe est le graphe complet, qui est hamiltonien, on est sûr que le graphe de départ est hamiltonien.Comment trouver le chemin hamiltonien ?
Exemple. Dans ce graphe orienté, le chemin reliant dans l'ordre les sommets A, B, C, D et E est un chemin hamiltonien de longueur 5. Il est formé des arcs a, b, c, d et e. Noter qu'il n'est pas nécessaire que le chemin passe par toutes les arêtes du graphe.- Une chaine eulérienne est une chaine qui parcourt toutes les arêtes d'un graphe connexe une et une seule fois.
![[PDF] Graphes eulériens & Graphes hamiltoniens - LRDE](https://pdfprof.com/Listes/17/57050-17cours4.pdf.pdf.jpg "[PDF] Graphes eulériens & Graphes hamiltoniens - LRDE")
THEG167colange@epita.lrde.frV Graphes eulériens Graphes hamiltoniens
THEG168colange@epita.lrde.frProblème des 7 ponts BCDA" Lors d'une promenade,
est-il possible de passer sur tous les ponts de la et une seule fois ? » " Existe-t-il dans le graphe, un chemin où les arêtes sont différentes deux à deux et qui revient sur le sommet de départ ? »1726 THEG169colange@epita.lrde.frLemme des poignées de mainsThéorème - (lemme des poignées de main)i. La somme de tous les degrés est un nombre pair.
C'est le double du nombre d'arêtes
ii. Le nombre de sommets de degré impair est pair. Démonstration (i)Chaque arête est comptée deux fois :Une fois pour le sommet de départ.
Une fois pour le sommet d'arrivée.
THEG170colange@epita.lrde.frLemme des poignées de mainsDémonstration (ii)Soit Stotal le nombre de sommets du graphe
Soit Simp le nombre de sommets de degré impair
Sommedesdegrés=∑i=1
Simp degImpi+∑i=Simp+1Stotal
degPairei =∑i=1 Simp (2ki+1)+∑i=Simp+1Stotal
(2ki) =2∑i=1Stotal
(ki)+SimpSomme des degrés est paire ⇒ Simp est paireTHEG171colange@epita.lrde.frLacet de Jordan
Dans un graphe non orienté, on dit qu'un chemin (v0,v1,v2, ... vk-1,vk ) est un :Chemin de Jordan si les arêtes qu'il emprunte
sont distinctes deux à deux :∀ i, j {0,..., k-1}, i≠ j ⇒ (vi ,vi+1) ≠ (vj ,vj+1)Lacet de Jordan si c'est un chemin de Jordan
avec v0 = vk Cycle de Jordan si c'est un lacet de Jordan et si les sommets intermédiaires sont distincts 2 à 2 ∀ i, j {1,..., k-1}, i≠ j ⇒ vi ≠ vjTHEG172colange@epita.lrde.frGraphe Eulérien
On dit qu'un graphe non orienté est :
Eulérien s'il existe un lacet de Jordan contenant toutes les arêtes du graphe.Semi-Eulérien s'il existe un chemin de Jordan
contenant toutes les arêtes du graphe (mais pas de lacet de Jordan). Pré-eulérien ou chinois s'il existe un lacet contenant au moins une fois chacune des arêtes du graphe. THEG173colange@epita.lrde.frThéorème de caractérisation Théorème de caractérisation :Un graphe connexe est Eulérien ssi tous ses sommets sont de degré paireUn graphe connexe est Semi-Eulérien ssi
il ne contient que 2 sommets de degré impaireTHEG174colange@epita.lrde.frDémonstrationEulérien ⇒ Tous les sommets ont un degré pairEulérien ⇒ un lacet de Jordan qui passe par toutes les arrêtes.
En suivant ce lacet on passe par tous les arcs une et une seul foisOn suit ce lacet en enregistrant pour :
Le sommet départ :
l'arc sortant ⇒DEG + 1Les sommets intermédiaires :
l'arc entrant et l'arc sortant ⇒DEG + 2Le sommet d'arrivée :
l'arc entrant ⇒ DEG + 1Cycle ⇒ sommet départ = sommet arrivée ⇒DEG + 1 + 1Tous les degrés obtenus sont paires
THEG175colange@epita.lrde.frDémonstrationSemi-eulérien ⇒ Exactement 2 degrés impairsOn applique la même méthode
Semi-eulérien ⇒ sommet départ ≠ sommet arrivée Si un sommet n'est ni le départ ni le sommet d'arrivée : A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on fait DEG + 2Le degré obtenu pour ce sommet est pairePour le sommet de départ (resp. d'arrivé) :
On fait
DEG + 1 au départ (resp. a l'arrivée)
A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on fait DEG + 2Le degré obtenu pour ce sommet est impaireDEG = ( nbOccurrences x 2 ) + 1
Lemme :Si tous les sommets ont un degré pair,
on peut toujours étendre un chemin de Jordan vers un lacet de JordanDémonstration :Soit un chemin de Jordan de
u a v si u ≠ v alors :On a emprunter un nombre impaire arêtes de
vPuisque par hypothèse v a un nombre paire d'arêtes, il reste au moins une arrête qui n'appartient pas au chemin de Jordan. Donc u ≠ v ⇒ on peut étendre le chemin Or il y a un nombre fini d'arêtes ⇒ extension pas infiniOn finit donc par avoir
u = v On peut toujours étendre ce chemin vers un lacet de Jordan Tous les sommets ont un degré pair ⇒ EulérienRaisonnements par récurrence sur
n le nombre d'arêtes Pour n = 1, il n'existe que deux graphes : Seul le premier n'a que des degrés paires et il est Eulérien Supposons la proposition vraie pour les graphes à n-1 arêtes D'après le lemme on peut construire un lacet de Jordan Les arêtes n'appartenant pas au lacet forment des comp. connexesADA u2 u1u3 u4 u0u5Dans ces composantes tous les degrés sont paires Par hypothèse de récurrence elles sont Eulériennes Soit Li les lacets de Jordan les couvrant totalement u0 L0 u0 u1 L1 u1 u2 L2u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 u5 L0 u5 u0 Forme un lacet de Jordan qui couvre tout le graphe ⇒ le graphe est EulérienL0L5L4L3L2 L1 Lemme :Si exactement 2 sommets u et v ont un degré impair, on peut toujours étendre un chemin de Jordan partant de u vers un chemin de Jordan reliant u et vDémonstration :Soit un chemin de Jordan de
u a w si w ≠ v et w ≠ u alors : On a emprunté un nombre impair d'arêtes de w qui avait par hypothèse un nombre pair d'arêtes. si w = u :On a emprunté un nombre pair d'arêtes de u qui avait par hypothèse un nombre impair d'arêtes. Dans les 2 cas il reste au moins une arête qui n'appartient pas au chemin de Jordan. ⇒ on peut étendre le chemin Or il y a un nombre fini d'arêtes ⇒ extension pas infinieOn finit donc par avoir w
= v et donc chemin de Jordan reliant u et v2 sommets (u et v ) avec un degré impair ⇒ Semi-Eulérien
Raisonnements par récurrence sur
n le nombre d'arêtes Pour n = 1, il n'existe que deux graphes : Seul le deuxième a deux degrés impairs et il est Semi-Eulérien Supposons la proposition vraie pour les graphes à n-1 arêtes D'après le lemme on peut construire un chemin de Jordan Les arêtes n'appartenant pas au chemin forment des comp. connexesADA u2 u1u3 u4 uvDans ces composantes tous les degrés sont pairs Par hypothèse de récurrence elles sont Eulériennes Soit Li les lacets de Jordan les couvrant totalement u L0 u u1 L1 u1 u2 L2u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 v L0 v Forme un chemin de Jordan qui couvre tout le graphe ⇒ le graphe est EulérienL0L5L4L3L2 L1 THEG180colange@epita.lrde.frLes 7 ponts : La solution BCDADegré(A) = 3
Degré(B) = 5
Degré(C) = 3
Degré(D) = 3
Des théorèmes précédents on peut déduire que :Il n'y a pas de promenade possible
Et ce même si on ne revient pas au point départTHEG181colange@epita.lrde.frGraphe Hamiltonien
On dit qu'un graphe non orienté connexe est :
hamiltonien s'il existe un cycle de Jordan contenant toutes les sommets du graphe. semi-hamiltonien s'il existe un chemin de Jordanélémentaire contenant toutes les sommets du
graphe (mais pas de cycle de Jordan).Rappel :
Un chemin (v0,v1,v2, ... vk-1,vk ) est élémentaire ssi i, j, vi ≠ vjUn cycle est toujours élémentaireTHEG182colange@epita.lrde.frExemple
Les graphes suivants sont :
HamiltonienSemi
HamiltonienNon
Hamiltonien
Contrairement au cas des graphes eulériens : on n'a encore trouvé aucune condition nécessaire et suffisante assurant qu'un graphe soit hamiltonien ou semi-hamiltonien.Il existe, cependant, de nombreux théorèmes
donnant des conditions suffisantes. Théorème de caractérisation de O. Ore :Soit G un graphe simple possédant n>2 sommets : ∀ u,v non adjacents, degré(u) + degré(v) nLe graphe G est HamiltonienRappel :
Un graphe est simple s'il ne contient pas de
boucle et que deux sommets sont reliés par au plus une arête. La propriété intéressante d'un graphe simple : degré(s) = nbVoisin(s) Corollaire de Dirac :Soit G un graphe simple possédant n>2 sommets : ∀ u, degré(u) n/2Le graphe G est Hamiltonien
quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] chemin eulérien algorithme
[PDF] caractérisation séquentielle de la continuité
[PDF] caractérisation séquentielle de la limite exemple
[PDF] théorème de comparaison des limites
[PDF] angle entre deux vecteurs
[PDF] formule des sinus produit scalaire
[PDF] demonstration thales 3eme
[PDF] démonstration théorème de thalès vecteurs
[PDF] théorème de thalès calculer l'aire
[PDF] démonstration théorème de pythagore
[PDF] unicité de la limite d'une suite
[PDF] caractérisation séquentielle de la limite
[PDF] demonstration de l'unicité de la limite d'une fonction
[PDF] théorème de la limite monotone
