[PDF] STAGE OLYMPIQUE DE VALBONNE 2019

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STAGE OLYMPIQUE DE VALBONNE 2019

du 19 au 29 août 2019

Avant-propos

Le stage olympique de Valbonne 2019 a été organisé par l"association Animath.

Son objet a été de rassembler 81 collégiennes, collégiens, lycéennes et lycéens de quatrième à première,

de 12 à 17 ans, passionés de mathématiques sélectionnés parmi les 964 candidats à la COUPE ANIMATH, dont certains représenteront la France aux compétitions internationales : Olympiades Internationales de Mathématiques (IMO), Olympiades Balkaniques Junior de Mathématiques (JBMO), Olympiades Européennes de Filles de Mathématiques (EGMO),

Romanian Masters of Mathematics (RMM),

Mediterranean Youth Mathematical Championship (MYMC). Trois membres de l"équipe de France 2019 des Olympiades Internationales de Mathématiques sont présents à ce stage, deux comme stagiaires, un autre comme animateur, et un certain nombre d"autres animateurs et stagiaires ont déjà participé à l"une des compétitions ci-dessus. Nous tenons à remercier le Centre International de Valbonne pour son excellent accueil.

Les Animatheurs

Henry Bambury Andreï Barbu Mathieu Barré Félix Breton Paul Cahen Aline Cahuzac Yohann Raphaël Ducatez

D"anello

Colin Davalo Pierre-Marie Théodore Olivier

Esmenjaud Fougereux Garçonnet

Vincent Jugé Savinien Auguste Théo Lenoir

Kreczman de Lambilly

Thomas Matthieu Rémi Lesbats Eva Philippe

Leplumey Lequesne

Maena Martin Timothée Victor Vermès

Quemener Rakowsky Rocquet

Lucie Wang Lilou Wattez

5

Les élèves

Sacha Samuel Avril Stefan Barbu Roberto Bolzan

Arrouès-Paykin

Anatole Bouton Enora Brémont Elias Caeiro Justin Cahuzac Nelly Cerf Noémie Cerrina Aurélien Chen Florian Chivé

Timothé Chupin Etienne Antoine Gaëtan

Conchon-Kerjan Corbineau Dautzenberg

Madeleine Cyprien Gaspard Delabre Faustine Delorme

De Belloy De Muynck

De St Liénard

Adrien Depres Yaël Dillies Adam Donadille Natan Doubez Isaline Duperon Emilhan Mano Etile Benoît Fanton

Dürrüoglu

Hannah Faucheu Aurélien Fourré Raphaël Gandin Théo Goix Paul Guichon Benoît Guillemet Olivier Henry Alexandre

Hervou

Quentin Hurez Vladimir Ivanov Isaline Jouve Augustin Kheng Zoé Lassale- Pauline Laval Evelyne Gregoire Le Corre

Deruelle Le Bezvoët

6

Alec Enya Leroy Charles Liu Corentin

Le Helloco Lombard

Claire Lorenzo Elsa Lubek Anna Brieux

Luchnikova Madeline-Derou

Antoine Maechler Suzanne Mairesse Emir Melliti Ayoub Melliti Arnault Mermet Hadi Mouline Rafal Naumiak Roméo Nazaret

Quentin Nguyen Ten Nguyen Camille Adrien Patoz

Ordronneau

Ninon Platel Adrien Rey Teiki Rigaud Domitille Saliou Arthur Salvati Inès Soua Georges Teze Elliot Thorel Clementina Ayoub Tirdad Elie Verhille Baptiste Vibert

Tierno

Matthieu Vogel Jean-Cyrille Jiaxi Xu Fangyu Xue

Wilhelm

Emilie Zheng

Table des matières

I Déroulement du stage

13

II Coupe Animath de printemps 2019

17

III Groupe A23

1 Première partie : Algèbre et géométrie

24

1 Introduction aux maths (Rémi Lesbats)

24

2 Boîte à outils du géomètre (Mathieu Barré)

24

3 TD (Lucie Wang, Martin Rakovsky, Mathieu Barré)

28

4 Récurrence, inégalités (Thomas Leplumey)

33

5 TD (Henry Bambury)

33

6 TD manipulations algébriques, récurrence (Yohann D"Anello)

37

2 Entraînement de mi-parcours

43

3 Deuxième partie : Arithmétique et combinatoire

45

1 Notions de base d"arithmétique (Théo Lenoir)

45

2 Principe des tiroirs (Andrei Barbu)

45

3 Stratégie des jeux (Félix Breton, Andrei Barbu)

50

4 Dénombrement (Maena Quemener)

50

5 Modulo, TD (Aline Cahuzac)

50

6 TD (Savinien Kreczman, Andrei Barbu)

58

4 Entraînement de fin de parcours

66

5 Derniers cours

67

1 Homothéties (Martin Rakovsky)

67

2 Maths et magie (Aline Cahuzac)

67

IV Groupe B69

1 Première partie : Arithmétique et combinatoire

70

1 Notions de base d"arithmétique (Thomas Leplumey, Pierre-Marie Esmen-

jaud) 70

2 Principe des tiroirs, récurrence (Yohann D"Anello)

80

3 Stratégie des jeux, TD de combinatoire (Théodore Fougereux)

89

4 Modulo (Colin Davalo)

94

5 TD d"arithmétique (Éva Philippe, Rémi Lesbats)

96

6 TD de combinatoire (Maena Quemener)

102

2 Entraînement de mi-parcours

103

3 Deuxième partie : Algèbre et géométrie

105

1 Équations fonctionnelles (Vincent Jugé)

105
9

2 Boîte à outils du géomètre (Aline Cahuzac). . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3 Inégalités (Victor Vermès)

120

4 TD de géométrie : configurations classiques (Olivier Garçonnet)

120

5 TD de géométrie (Auguste de Lambilly, Andrei Barbu)

121

6 TD d"algèbre (Lilou Wattez, Auguste de Lambilly)

128

4 Entraînement de fin de parcours

132

5 Derniers cours

135

1 Accrochage stratégique de peintures (Savinien Kreczman)

135

2 Nombres complexes (Timothée Rocquet)

141

V Groupe C143

1 Première partie : Arithmétique et combinatoire

144

1 Modulo, ordre (Henry Bambury)

144

2 Dénombrement (Lucie Wang, Henry Bambury)

144

3 Invariants, monovariants (Vincent Jugé)

147

4 TD d"arithmétique (Théo Lenoir)

159

5 TD d"arithmétique (Mathieu Barré)

159

6 TD de combinatoire (Colin Davalo)

160

2 Entraînement de mi-parcours

165

3 Deuxième partie : Algèbre et géométrie

167

1 Inégalités (Mathieu Barré)

167

2 TD de géométrie : configurations classiques (Olivier Garçonnet)

173

3 Polynômes (Savinien Kreczman)

176

4 Transformations géométriques (Timothée Rocquet)

183

5 TD de géométrie (Martin Rakovsky)

185

6 TD d"algèbre (Victor Vermès)

189

4 Entraînement de fin de parcours

190

5 Derniers cours

193

1 Dénombrabilité (Victor Vermès)

193

2 Méthode probabiliste (Théo Lenoir)

193

VI Groupe D

195

1 Première partie : Arithmétique et géométrie

196

1 TD d"arithmétique (Vincent Jugé)

196

2 TD de géométrie : autour des milieux de segments (Martin Rakovsky)

204

3 Tranformations géométriques (Pierre-Marie Esmenjaud)

204

4 TD d"arithmétique (Rémi Lesbats)

207

5 Entiers de Gauss (Raphaël Ducatez)

211

6 Géométrie projective (Pierre-Marie Esmenjaud)

211

2 Entraînement de mi-parcours

212

3 Deuxième partie : Algèbre et combinatoire

215

1 Polynômes (Éva Philippe)

215

2 Monovariants, théorie des jeux (Raphaël Ducatez)

217

3 Double comptage sur des graphes (Colin Davalo)

217

4 Équations fonctionnelles (Théodore Fougereux)

225

5 Fonctions génératrices (Timothée Rocquet)

232

6 TD d"algèbre (Félix Breton)

235

4 Entraînement de fin de parcours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

5 Derniers cours

240

1 Équations fonctionnelles (Paul Cahen)

240

2 Découverte théorie des nombres (Paul Cahen)

240

VII La chasse au trésor

243

VIII Les soirées

245

1 Conférence : Programmer avec des dessins (Marc de Falco)

246

2 Réflexion d"ondes (Fabrice Planchon)

254

3 Pavage du plan et papier peint (Colin Davalo)

259

4 PrésentationTFJM2et des Correspondances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

5 Soirées astronomie

266

6 Clôture du stage

267

IX La Muraille

271

X Citations mémorables

295

Chapitre I. Déroulement du stage

I. Déroulement du stage

Pour la sixième fois, le Centre International de Valbonne (CIV) nous a accueillis du lundi

19 août vers 15 h au jeudi 29 août vers 11 h, avec un effectif final de 81 stagiaires et 25 animat-

heurs. Parmi les presque 1000 candidats à la Coupe Animath, un peu moins de 700 ont franchi le cap des éliminatoires en ligne. Sur la base des résultats de la Coupe, nous devions accueillir

80 stagiaires, dont environ 40 de fin de première, 20 de seconde, 10 de troisième et 10 de

et de la JBMO, Olympiades Balkaniques Junior de Mathématiques, des bonifications ont été ajoutées pour favoriser les filles et les plus jeunes.

Le stage était structuré comme ceux des années précédentes : deux périodes de quatre

jours (20 - 23 août et 24 - 27 août), trois de cours / exercices, un entraînement de type olym-

pique le matin du quatrième jour (de 9h à 12h, ou, pour le groupe D, de 8h à 12h) et une

après-midi récréative. Les élèves étaient répartis en 4 groupes A, B,C et D en fonction de

leur expérience en mathématiques olympiques. Le programme est construit suivant ce qui

est demandé lors des compétitions internationales : Arithmétique, Algèbre, Combinatoire et

Géométrie.

En plus des cours étaient prévues, le soir, des conférences à vocation culturelle, permet-

tant de découvrir de nouveaux pans des mathématiques. On remerciera alors Marc de Falco, professeur en classe préparatoire, qui est venu nous montrer comment " coder avec des des-

sins »; Fabrice Planchon, de l"université de Nice, qui nous a parlé de " réflexions d"ondes »;

et Colin, qui nous a présenté les " pavages et papiers peints ».

L"après-midi après le premier entraînement fut organisée une chasse au trésor par Théo-

dore et Maena où, pour trouver les indices menant au trésor, il fallait résoudre des énigmes

mathématiques. L"après-midi du deuxième entraînement furent prévues des démonstrations

de tours de magie. Il était aussi possible de jouer au foot ou au volley et, durant chaque jour du stage, de profiter de la piscine du Centre. Enfin, grâce à l"association Provence Science Technique Jeunesse, furent proposées des soirées d"astronomie autour du télescope du CIV (télescope François-Giraud de 410 mm de diamètre) même si celles ci furent difficiles à organiser à cause de la météo. Il est possible de retrouver les comptes rendus du stage au jour le jour sur le site de la POFM :http://maths-olympiques.fr/?p=3022#more-3022 Voici quelques liens utiles pour poursuivre le travail réalisé pendant ce stage : le site d"A nimath: animath.fr le site de la POFM : maths-olympiques.fr et notamment les ar chivesde pr oblèmes(polycopiés etc. ..): maths-olympiques.fr/?page_id=41 13

Chapitre I. Déroulement du stage

le site Mathlinks:mathlinks.r o; le site Art of Problem Solving:artofpr oblemsolving.com. 14

Chapitre I. Déroulement du stage

Groupe AGroupe B

19 aoûtSoiréePRÉSENTATION DU STAGE,DE LAPOFMET DESOLYMPIADESVincent J.

20 aoûtMatinALGÈBREARITHMÉTIQUERémi L.Thomas L., Pierre-Marie E.

Après-midiGÉOMÉTRIECOMBINATOIREMathieu B.Yohann D. SoiréeCONFÉRENCE: PROGRAMMER AVEC DES DESSINSMarc de Falco

21 aoûtMatinGÉOMÉTRIE.COMBINATOIRELucie W., Martin R., Mathieu B.Théodore F.

Après-midiALGÈBREARITHMÉTIQUEThomas L.Colin D. SoiréeCONFÉRENCE: RÉFLEXION D"ONDESFabrice Planchon

22 aoûtMatinGÉOMÉTRIEARITHMÉTIQUEHenry B.Éva P., Rémi L.

Après-midiALGÈBRECOMBINATOIREYohann D.Maena Q.

SoiréeACTIVITÉS LIBRES23 aoûtMatinSESSION D"ENTRAÎNEMENT SUR DES EXERCICESAprès-midiCHASSE AU TRÉSORSoiréeCORRECTION DES EXERCICES,SOIRÉE ASTRONOMIE24 aoûtMatinARITHMÉTIQUEALGÈBREThéo L.Vincent J.

Après-midiCOMBINATOIREGÉOMÉTRIEAndrei B.Aline C. SoiréeCONFÉRENCE: PAVAGE DU PLAN ET PAPIER PEINTColin D.

25 aoûtMatinCOMBINATOIREALGÈBREFélix B., Andrei B.Victor V.

Après-midiARITHMÉTIQUEGÉOMÉTRIEMaena Q.Olivier G.

SoiréePRÉSENTATIONTFJM2Victor V., Andrei B.

26 aoûtMatinARITHMÉTIQUEGÉOMÉTRIEAline C.Auguste de L., Andrei B.

Après-midiCOMBINATOIREALGÈBRESavinien K., Andrei B.Lilou W., Auguste de L.

SoiréeACTIVITÉS LIBRES27 aoûtMatinSESSION D"ENTRAÎNEMENT SUR DES EXERCICESAprès-midiACTIVITÉS LIBRESSoiréeCORRECTION DES EXERCICES,SOIRÉE ASTRONOMIE28 aoûtMatinHOMOTHÉTIESACCROCHAGE STRATÉGIQUE DE

PEINTURESMartin R.Savinien K.

Après-midiMATHS ET MAGIENOMBRES COMPLEXESAline C.Timothée R.

SoiréeSOIRÉE DE CLÔTURE15

Chapitre I. Déroulement du stage

Groupe CGroupe D

19 aoûtSoiréePRÉSENTATION DU STAGE,DE LAPOFMET DESOLYMPIADESVincent J.

20 aoûtMatinARITHMÉTIQUEARITHMÉTIQUEHenry B.Vincent J.

Après-midiCOMBINATOIREGÉOMÉTRIELucie L., Henry B.Martin R. SoiréeCONFÉRENCE: PROGRAMMER AVEC DES DESSINSMarc de Falco

21 aoûtMatinCOMBINATOIREGÉOMÉTRIEVincent J.Pierre-Marie E.

Après-midiARITHMÉTIQUEARITHMÉTIQUEThéo L.Rémi L. SoiréeCONFÉRENCE: RÉFLEXION D"ONDEFabrice Planchon

22 aoûtMatinARITHMÉTIQUEARITHMÉTIQUEMathieu B.Raphaël D.

Après-midiCOMBINATOIREGÉOMÉTRIEColin D.Pierre-Marie E.

SoiréeACTIVITÉS LIBRES23 aoûtMatinSESSION D"ENTRAÎNEMENT SUR DES EXERCICESAprès-midiCHASSE AU TRÉSORSoiréeCORRECTION DES EXERCICES,SOIRÉE ASTRONOMIE24 aoûtMatinALGÈBREALGÈBREMathieu B.Éva P.

Après-midiGÉOMÉTRIECOMBINATOIREOlivier G.Raphaël D. SoiréeCONFÉRENCE: PAVAGE DE PLAN ET PAPIER PEINTColin D.

26 aoûtMatinALGÈBRECOMBINATOIRESavinien K.Colin D.

Après-midiGÉOMÉTRIEALGÈBRETimothée R.Théodore F.

SoiréePRÉSENTATIONTFJM2Victor V., Andrei B.

27 aoûtMatinGÉOMÉTRIECOMBINATOIREMartin R.Timothée R.

Après-midiALGÈBREALGÈBREVictor V.Félix B.

SoiréeACTIVITÉS LIBRES28 aoûtMatinSESSION D"ENTRAÎNEMENT SUR DES EXERCICESAprès-midiACTIVITÉS LIBRESSoiréeCORRECTION DES EXERCICES,SOIRÉE ASTRONOMIE29 aoûtMatinDÉNOMBRABILITÉÉQUATIONS FONCTIONNELLESVictor V.Paul C.

Après-midiMÉTHODE PROBABILISTEDÉCOUVERTE THÉORIE DES

NOMBRESThéo L.Paul C.

SoiréeSOIRÉE DE CLÔTURE16

Chapitre II. Coupe Animath de printemps 2019

II. Coupe Animath de printemps 2019

Le mercredi 29 mai 2019 avait lieu la coupe Animath de printemps. Parmi les 964 candi-

dats, cinq candidats se sont distingués en particulier, puisqu"ils ont fini en première position

pour leur catégorie d"âge. Les lauréats de la coupe Animath de printemps de 2019 sont donc :

Daniel C ORTILD(parmi les élèves de première); Aurélien F OURRÉ(parmi les élèves de seconde); Alec L EHELLOCOet Mano ETILE(parmi les élèves de troisième); Gaëtan D AUTZENBERG(parmi les élèves de quatrième). - Énoncés destinés aux élèves de collège -

Exercice

1 Pour tout nombre réelx, on notebxclapartie entièredex, c"est-à-dire le plus grand entier

inférieur ou égal àx. On notefxgsapartie décimale, c"est-à-direfxg=x bxc. Par exemple,

on ab3:1c= 3etf3:1g= 3:13 = 0:1. On a aussib2:7c=3etf2:7g=2:7(3) = 0:3. Trouver tous les nombres réelsxtels quebxc fxg= 2019x.

Exercice

2 Combien y a-t-il de nombres à8chiffres dont l"écriture décimale est de la formeab2019cdavec a >0, et qui sont divisibles par360?

Exercice

3 SoitABCDun rectangle. SoientPun point sur le segment[AB], etQun point sur le segment [BC]. Les segments[AQ]et[DP]s"intersectent enX, les segments[AQ]et[CP]s"intersectent enYet les segments[CP]et[DQ]s"intersectent enZ. On note respectivementa,betcles aires du triangleAPX, du triangleCQZet du quadrilatèreBPY Q. Montrer que l"aire du quadrilatèreDXY Zvauta+b+c. - Énoncés destinés à tous -

Exercice

4

On considère une grande grille carrée de côté10, découpée en petits carrés de côté1. Deux

petits carrés sont ditsvoisinssi ils ont un côté commun. Sur chacun des petits carrés est inscrit

un nombre réel positif. De plus,5grenouilles se déplacent sur la grille, et peuvent recouvrir 17

Chapitre II. Coupe Animath de printemps 2019

chacune un petit carré. Deux grenouilles ne recouvrent jamais le même carré. Entre deux instants, chaque grenouille saute du carré où elle se trouve vers un carré voisin. On suppose que la somme des nombres visibles vaut10à l"instant1, puis102à l"instant2, puis103à l"instant3, et ainsi de suite jusqu"à l"instantkoù la somme vaut10k. Quelle est la plus grande valeur possible dek?

Exercice

5 On rappelle (voir Exercice 1) que la partie entièrebxcd"un nombre réelxest le plus grand entier inférieur ou égal àx. Soitxun nombre réel positif. On suppose quebx2c,bx3cetbx4csont des carrés d"entiers. Montrer qu"alorsbxcest aussi le carré d"un entier. - Énoncés destinés aux élèves de lycée -

Exercice

6 SoitABCDun parallélogramme, etPun point à l"intérieur deABCDtel queCP=CB. On noteMetNles milieux de[AP]et[CD]. Montrer que les droites(BP)et(MN)sont perpendiculaires.

Exercice

7 Soit(un)une suite d"entiers telle queu1>0et, pour toutn>0, le nombreun+1est la somme deunet de son plus grand diviseur excepté lui-même. Par exemple, siun= 12, alorsun+1=

12 + 6 = 18.

Montrer qu"il existeNtel que, pour toutn > N, l"entierunest divisible par32019.

Exercice

8

carré en bleu ou en rouge. On noteAle nombre de lignes où les carrés bleus sont majoritaires,

etBle nombre de colonnes où les carrés rouges sont majoritaires.

Quelle est la plus grande valeur possible deA+B?

- Solutions -

Solution de l"exercice

1 Soitxune solution du problème. On noten=bxcety=fxg. On a alorsnentier et06y <1.

L"équation se réécritny= 2019(n+y), soit(n2019)y= 2019n. En particulier, sin= 2019, on obtient0 = 20192, ce qui est impossible, doncy=2019nn2019. On distingue maintenant plusieurs cas selon la valeur den. Sin >2019, alors2019n > n > n2019>0, doncy >1, ce qui est impossible. Si0< n <2019, alors2019n >0> n2019 doncy <0, ce qui est aussi impossible. On doit donc avoirn60, donc on posen=n0avec n

0>0. On a alorsy=2019n0n02019=2019n0n

0+2019.

Mais on a aussiy <1, donc2019n0< n0+ 2019, soit2018n0<2019, doncn0<20192018 , doncn0 vaut0ou1, doncnvaut0ou1. Dans le premier cas, on ay= 0doncx= 0. Dans le second cas, on ay=20192020 , doncx=1+20192020 =12020 . Il y a donc deux solutions, qui sont0et12020 18

Chapitre II. Coupe Animath de printemps 2019

Solution de l"exercice

2 Pour commencer, un nombre solution doit être divisible par10, donc on doit avoird= 0, et le nombre qui s"écritab2019cdoit être divisible par36, donc par4. Le nombre qui s"écritab20100 est divisible par100donc par4, donc le nombre qui s"écrit9cdoit aussi être divisible par4, donccvaut2ou6. Enfin, le nombre doit être divisible36donc par9, donc la somme de ses chiffres doit être divisible par9, donca+b+2+0+1+9+cest divisible par9, donca+b+c+3est divisible par9, donca+b+cvaut6ou15ou24(la somme de trois chiffres ne peut pas dépasser27). Sic= 2, alorsa+b+c62 + 9 + 9 = 20, donca+b+cvaut6ou15, donca+bvaut4ou

13, ce qui donne les solutions suivantes :

13201920;22201920;31201920;40201920;

Sic= 6, commea >0, on aa+b+c >6donca+b+cvaut15ou24, donca+bvaut9ou18, ce qui donne les solutions suivantes :

99201960:

On a donc au total20solutions.

Solution de l"exercice

3 ABCD

PQ XYZ ab c On notera par exempleAABCl"aire du triangleABC. On a alors A

DXY Z=ACDPACDZAPXY=ACDP(ACDQb)(AABQac)

=a+b+c+ACDPACDQAABQ:

Or, on a

A

CDP=12

CDBC et A

CDQ+AABQ=12

CDCQ+12

ABBQ=12

AB(CQ+BQ) =12

quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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