[PDF] STAGE OLYMPIQUE DE MONTPELLIER 2013

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STAGE OLYMPIQUE DE MONTPELLIER 2013

Du 19 au 29 août 2013

Avant-propos

Le stage de Montpellier a été organisé par l"association Animath. Son objet a été de rassembler des jeunes passionné-e-s par les mathématiques et de les faire travailler sur des exercices en vue de la formation des équipes qui représenteront la France à plusieurs compétitions internationales, à savoir l"Olympiade Internationale de Mathématiques en Afrique du Sud en juillet 2014, l"Olympiade Balkanique de Mathématiques en mai 2014, les Olympiades Européennes pour Filles en Turquie en avril 2014 ainsi que les Olympiades Balkaniques Junior de Mathématiques en Macédoine en juin 2014.

Une attention particulière a été apportée au recrutement de collégien-ne-s brillant-e-s en vue

de les préparer aux Olympiades Internationales pendant plusieurs années. Nous tenons à remercier l"Internat d"Excellence de Montpellier pour son excellent accueil.

Les Animatheux

Céline Abraham Samuel Bach Razvan Barbulescu Pierre Bertin Margaret Bilu Thomas Budzinski Guillaume Vincent Jugé Igor Kortchemski Joon Kwon

Conchon-KerjanMatthieu Lequesne François Lo Jacomo Jean-François Martin Roxane Morel Vincent Mouly

Louis Nebout Victor Quach

5

Les élèves

Julien Alamelle Etienne Apers Noélie Bacq Thibault Bajodek Henry Bambury Augustin Bariant Sébastien Baumert Moïse Blanchard Solange Boucheron Vincent Bouis Pierre Bras Félix Breton Pablo Bustillo Nicolas Champseix Louis Charnavel Elodie Cholieu Pierre Clarou Guillaume Clisson Baptiste Collet Edwige Cyffers 6 Colin Davalo Timothée Defourne Morine Delhelle Julie Devaux Clara Ding Matthieu Dolbeault Antoine Dupuis Thibault Romain Fouilland Marc Ganet Fay de LestracOlivier Garçonnet Charles Gassot Solène Gomez Ilyes Hamdi Yassine Hamdi Maxence Lagarde Marc Lamberet Paul Laubie Julie Lauquin Adrien Lemercier 7 Jérémy Lengelé Félix Lequen Clément Lezane Adrien Lopez Charles Madeline-DerouChristian Michon Marc Michoux Arthur Nebout Florent Noisette Cédric Ollivier Tobias Parker Eva Philippe Myriam Qrichi Aniba Raphaël Ruimy Pascal Sedlmeier Thomas Sepulchre Antoine Séré Adam Siegel Elie Studnia Alexandre Thiault

Arthus Vanet Lucie Wang

8

Table des matières

I Déroulement du stage

15

II Première période

17

1 Groupe A : stratégies de base

18

1 Cours de stratégies de base : principe des tiroirs, invariants

18

2 Cours/TD de stratégies de base

22

3 Cours de logique

26

4 TD de stratégies de base

40

2 Groupe B : stratégies de base

44

1 Cours de logique

44

2 Cours/TD de stratégies de base : coloriages, invariants

44

3 Cours de stratégies de base

48

4 TD de stratégies de base

58

3 Groupe C : géométrie

60

1 Cours de géométrie

60

2 Cours/TD de géométrie : similitudes

87

3 TD de géométrie : barycentres

101

4 Groupe D : arithmétique

113

1 Cours d"arithmétique : structure deZ=nZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . .113

2 TD d"arithmétique

119

3 Cours/TD d"arithmétique

121

III Deuxième période

127

1 Groupe A : algèbre

128

1 Cours d"algèbre : développements, factorisations, combinatoire

128

2 TD d"algèbre

134

2 Groupe B : algèbre

137

1 Cours d"algèbre : techniques de calcul, coefficients binomiaux, inégalités

137

2 TD d"algèbre

141

3 Groupe C : polynômes

151

1 Cours de polynômes

151

2 TD de polynômes

177

4 Groupe D : géométrie

181

1 Cours/TD de géométrie : inversions

181

2 Cours de géométrie

189

3 Géométrie projective

195
11

IV Test de mi-parcours209

1 Groupe A

210

1 Énoncés

210

2 Solutions

210

2 Groupe B

212

1 Énoncés

212

2 Solutions

212

3 Groupe C

214

1 Énoncés

214

2 Solutions

214

4 Groupe D

218

1 Énoncés

218

2 Solutions

218

V Troisième période

221

1 Groupe A : géométrie

222

1 Cours de géométrie : chasse aux angles, puissance d"un point

222

2 TD de géométrie

229

3 Cours/TD de géométrie : transformations

238

2 Groupe B : géométrie

247

1 Cours de géométrie

247

2 TD de géométrie

250

3 Cours/TD de géométrie

256

3 Groupe C

257

1 Cours d"arithmétique

257

2 TD d"arithmétique

260

3 Cours/TD d"arithmétique

263

4 Inégalités

266

4 Groupe D

272

1 Cours de combinatoire : graphes finis et infinis

272

2 TD de combinatoire

279

3 Cours/TD de combinatoire

285

4 Polynômes

296

VI Quatrième période

299

1 Groupe A : arithmétique

300

1 Cours/TD d"arithmétique

300

2 Cours d"arithmétique

302

3 TD d"arithmétique

304

2 Groupe B : arithmétique

307

1 Cours/TD d"arithmétique

307

2 Cours d"arithmétique

309

3 TD d"arithmétique

311

3 Groupe C : équations fonctionnelles

316

1 Cours d"équations fonctionnelles

316

2 TD d"équations fonctionnelles

316

4 Groupe D : inégalités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

1 Cours d"inégalites

321

2 TD d"inégalités

328

VII Test de fin de parcours

337

1 Groupe A

338

1 Énoncés

338

2 Solutions

338

2 Groupe B

340

1 Énoncés

340

2 Solutions

340

3 Groupe C

342

1 Énoncés

342

2 Solutions

342

4 Groupe D

344

1 Énoncés

344

2 Solutions

345

VIIIDernière période

349

1 Groupe A

350

1 Théorie des graphes

350

2 Combinatoire

357

2 Groupe B

359

1 Fonctions

359

2 Théorie des graphes

361

3 Groupe C

362

1 Compter l"infini

362

2 Automates

367

4 Groupe D

379

1 Théorie de Galois

379

2 Probabilités

379

IX Les soirées

381

1 Conférence : la cryptographie, de vraies maths! (Razvan)

382

2 Présentation de compétitions mathématiques diverses

382

3 Présentation des différentes olympiades

397

4 Conférence : La théorie des jeux combinatoires (Louis)

398

X La Muraille

407

XI Solutions de la Muraille

421

XII Test de sélection du 4 juin 2013

435

XIIICitations mémorables

443

Chapitre I. Déroulement du stage

I. Déroulement du stage

Pour la deuxième année consécutive, le stage a eu lieu à l"Internat d"Excellence de Mont-

pellier, pendant dix jours (du 19 août vers midi au 29 août vers midi) avec plus de 60 élèves,

grâce à une nouvelle subvention de Cap" Maths, et malgré la diminution de la subvention du Ministère (DGESCO). Parmi les 270 candidats au test de sélection, nous en avons finalement

accepté 62, de 13 à 17 ans (âge moyen : 15,7 ans), dont 12 filles (en prévision des Olympiades

Européennes de Filles), 11 jeunes nés en 1999 (en prévision des Olympiades Balkaniques Ju- nior), et nous avons poursuivi notre effort de préparation sur plusieurs années. 17 animateurs

d"âge moyen inférieur à 25 ans - la plupart étant d"anciens stagiaires, six d"entre eux avaient

moins de vingt ans - ont assuré les 168+heures de cours, les soirées, les tests, la muraille, le

polycopié (plus de 400 pages : un record!)... Lestageétaitstructurédifféremmentdesprécédents.Nousavionsdeuxpériodesdequatre

jours (20 - 23 août et 24 - 27 août), trois de cours et travaux dirigés, un test le matin du qua-

trième jour, de quatre heures pour le groupe D des avancés, de trois heures pour chacun des

autres groupes, et une visite de la ville l"après-midi de ce quatrième jour. Enfin, le mercredi

28 août, dernier jour du stage, était consacré à des cours non sanctionnés par un test, sur des

sujets un peu plus larges que la stricte préparation olympique. Les tests étaient corrigés le

soir même, les soirées étaient libres les veilles de tests ainsi que le dernier jour (soirée spéciale

sans contrôle d"heure de coucher). Le premier soir était une simple prise de contact, deux

conférences ont été proposées : " la cryptographie : de vraies mathématiques! » le 20 août et

"théorie des jeux combinatoires» le 25 août, ainsi que des présentations des compétitions ma-

thématiques : "des tournois pas comme les autres : ITYM et le TFJM» le 21 août et "Animath

et les Olympiades de Mathématiques» le 24 août. Comme l"an passé, l"horaire des repas était :

petit-déjeuner à 8 h, déjeuner à 12 h 30, dîner à 19 h, les soirées commençaient à 20 h 30 (y

compris la correction des tests) et les élèves devaient être couchés à 23 h 30, mais ce n"était pas

toujours le cas. Malgré des contrôles systématiques, nous n"obtenions pas que tous les élèves

soient au moins dans leur chambre avant minuit.

Le lundi 19 août, jour de l"arrivée, après la présentation du stage (14 h 30) au cours de

laquelle chaque stagiaire a reçu un nouveau tee-shirt, un bic Animath et deux DVD "Dimen-

sions » et " Chaos », chaque élève a été convoqué à une heure précise, entre 16 h et 18 h 20,

pour un entretien individuel de 20 mn avec un animateur. A partir de ces entretiens, quatre

groupes de niveaux ont été constitués. Contrairement à l"an passé, il n"y avait pas de "groupe

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