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THEOREMES DANALYSE

Apr 12 2005 Par définition de la limite



Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles

On montre par la même méthode que f est minorée et que la borne inférieure est atteinte. D'apr`es le théor`eme des valeurs intermédiaires





Continuité

Pour cet exemple l'application f est non majorée et elle est minorée mais sa borne inférieure est non atteinte. Le théor`eme 2.2 permet de montrer que 



Borne Inférieure borne supérieure

? A m ? a). • On dit que A est majorée (resp. minorée) dans R si A admet au moins un majorant (resp. au moins 



Continuité 1 Théorie

Montrer que f = 1 ou f = ?1. Exercice 3 Soit f : R+ ? R continue admettant une limite finie en +?. Montrer que f est bornée. Atteint-elle ses bornes ?



COURS 12 : Fonctions continues (suite)

Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a b] alors f est bornée sur [a



203. Utilisation de la notion de compacité

May 29 2010 Si on considère une fonction dérivable alors f (I) est un intervalle. Application 4. ... est minorée et atteint sa borne inférieure.





Optimisation.

alors on dit que m? est la borne inférieure de J et on note m? = inf(J). Montrer que f est bornée sur F et y atteint sa borne sa borne inférieure.



[PDF] Borne Inférieure borne supérieure

Si l'ensemble des minorants d'une partie A de R admet un plus grand élément m on dit que m est la borne inférieure de A et on note m = inf(A) Cette borne est 



[PDF] 1 R Ensembles Applications 11 Valeur absolue Bornes

Exercice : Si A ? R est majorée montrer que sa borne supérieure est unique (1) 1) Dans R toute partie non vide minorée admet une borne inférieure



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Montrer que admet une borne inférieure et la déterminer est-ce un minimum ? Montrer que est minoré si et seulement si est majoré



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Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a b] alors f est bornée sur [a b] et atteint ses bornes sur [a b] Démonstration Pour montrer 



[PDF] CHAPITRE 1 R BORNE SUP´ERIEURE ET CONS´EQUENCES

On montre de même que f est minorée sur [a b] et que la borne inférieure est atteinte Remarques 1 23 — 1) L'image de [04?] par la fonction continue sin est 



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12 avr 2005 · Par définition de la limite f(I) n'est ni majoré ni minoré f est bornée sur R Montrer que f atteint l'une de ses bornes



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La fonction exponentielle est minorée par 0 tandis que la fonction Donnez la définition de la borne inférieure inf f d'une fonction f



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f n'est pas inférieure à g Correction ? Vidéo ? [000120] Exercice 2 Montrer par contraposition les assertions 



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Définition 1 6 – Majorant minorant ; partie majorée minorée bornée Ainsi la borne inférieure de A lorsqu'elle existe est le plus grand des 



[PDF] CH XI : Étude globale des fonctions réelles dune variable réelle

La fonction f n'admet pas de minimum sur R • Elle est minorée par tout réel m ? 0 • Sa borne inférieure est : inf R f = 0 • La fonction g : x ??

  • Comment montrer que f est minorée ?

    f est minorée sur I , s' il existe un réel m tel que pour tout x de I , f ( x ) ? m . On dit que m est un minorant de f . f est bornée sur I , si elle est minorée et majorée sur I . Tout réel M' supérieur à M est aussi un majorant de f .

  • Comment montrer qu'une fonction admet une borne inférieure ?

    Si l'ensemble des majorants d'une partie A de R admet un plus petit élément M on dit que M est la borne supérieure de A et on note M = sup(A). Cette borne est alors unique. Si l'ensemble des minorants d'une partie A de R admet un plus grand élément m, on dit que m est la borne inférieure de A et on note m = inf(A).

  • Comment montrer le majorant et minorant ?

    Proposition Si M est un majorant de f et N un majorant de g, alors M + N est un majorant de f + g. Si M est un majorant de f et N un majorant de g, avec f et g positives, alors MN est un majorant de fg. . Si M est un majorant de f , alors ?M est un minorant de ?f .
  • Les bornes (supérieure et inférieure) d'une fonction se lisent sur son TV : ce sont le plus grand et le plus petit des nombres qui apparaissent dans la ligne des y.
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COURS 12 : Fonctions continues (suite)

Théorème 0.1.Sifest une fonction continue sur un intervalle fermé borné[a,b]alors fest bornée sur[a,b]et atteint ses bornes sur[a,b].

DémonstrationPour montrer quefest bornée, il suffit de montrer que la fonction (composée)|f|est

majorée. Comme la fonctionx?→ |x|est continue surR, sifest continue sur[a,b]alors |f|aussi. Supposons que|f|ne soit pas majorée. Alors il existe une suite(xn)nd"éléments de[a,b]tels que|f(xn)|tend vers+∞. Comme la suite(xn)nest bornée, il existe une sous-suite(xnk)kconvergeant vers un élémentcde[a,b]. Comme|f|est continue sur[a,b] donc enc, on alimk→∞|f(xnk)|=|f(c)|. Finalement, on a lim k→∞|f(xnk)|=|f(c)|et limk→∞|f(xnk)|= +∞. Contradiction. La fonction est donc bornée et les nombres sup{f(x)/ x?[a,b]}et inf{f(x)/ x?[a,b]} sont bien définis. Montrons quefatteint ses bornes c"est à dire qu"il existeαetβdans [a,b]tels que f(α) = sup{f(x)/ x?[a,b]}etf(β) = inf{f(x)/ x?[a,b]}. Par définition de la borne inférieure il existe une suite de nombres de la formef(xn)(avec x ndans[a,b]pour toutn) convergeant verssup{f(x)/ x?[a,b]}. Considérons une sous suite(xnk)kde(xn)nconvergeant vers un élémentαde[a,b]. Alors on a d"une part, lim k→∞f(xnk) =f(α)) carfest continue enα. D"autre part lim k→∞f(xnk) = sup{f(x)/ x?[a,b]} par définition, autrement ditf(α) = sup{f(x)/ x?[a,b]}. Le cas de la borne inférieure

se traite de la même manière.Corollaire 0.2.L"image d"un segment par une application continue est un segment.

1

En généralf([a,b])ne coïncide pas avec[f(a),f(b)].Théorème 0.3.Soitfune fonction définie sur un intervalleIdeR, continue surI,

strictement monotone surI. La fonctionfest alors une bijection deTsur l"intervalle f(I)et sa bijection réciproque est continue strictement monotone surf(I)(de même sens de variation quef). DémonstrationFaisons la preuve dans le cas oùfest strictement décroissante. Par définitionfdéfinit une surjection deIsurf(I). Sixetysont différents, on ax < y ouy < x. Dans le premier casf(x)<(fy)dans le deuxièmef(y)< f(x). Autrement dit x?=y?f(x)?=f(y),i.e.fest injective surI. Notonsgla bijection réciproque def. g(y). Alorsg(x)etg(y)sont deux nombres distincts deItels quex=f(g(x))≥f(g(y)) = y(carfest décroissante), ce qui est en contradiction avecx < y. On a doncg(x)> g(y), autrement ditgest strictement croissante. Considérons deux pointsaetbdansf(I)etcun élément de[a,b]. Par définition il existe xetydansItels quea=f(x)etb=f(y). CommeIest un intervalle[x,y]est inclus dansI. Commefest continue surI, elle est continue sur[x,y]. Le théorème des valeurs intermédiaires assure alors l"existence d"un pointzde[x,y]tel quec=f(z). Autrement ditcappartient àf(I). On a donc montré que l"image deIest un intervalle. Reste à montrer quegest continue. Soitxun point def(I)et(xn)une suite de points def(I)convergeant versx. Supposons que(g(xn))nne converge pas versg(x). Alors il existe? >0tel que pour toutNil existen > Ntel que|g(xn)-g(x)|> ?. On peut donc construire une suite(xnk)kconvergeant versxtel que pour toutkon ait |g(xnk)-g(x)|> ?; ou encore1une suite(xnk)kconvergeant versxtel que pour toutkon aitg(xnk)-g(x)> ?ou bien une suite(xnk)kconvergeant versxtel que pour toutkon aitg(x)-g(xnk)> ?. Dans le premier cas on axnk=f(g(xnk))< f(g(x)+?)(commefest décroissante). Mais g(x) +? > g(x)doncf(g(x) +?)< f(g(x)) =xdoncxnk< f(g(x) +?)< xet(xnk)kne converge pas versx. Contradiction. Dans le second cas on obtientxnk> f(g(x)-?)> xet aussi une contradiction.1

Attention j"affirme l"existence de telles suites. Je ne dis pas ici qu"une suite convergeant versxconverge

versxpar valeurs supérieures ou inférieures. Pour passer de la première suite(xnk)kà l"une des deux

autres, il faut éventuellement extraire une nouvelle fois une suite.2quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
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