THEOREMES DANALYSE
Apr 12 2005 Par définition de la limite
Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles
On montre par la même méthode que f est minorée et que la borne inférieure est atteinte. D'apr`es le théor`eme des valeurs intermédiaires
1. R Ensembles
Bornes
Continuité
Pour cet exemple l'application f est non majorée et elle est minorée mais sa borne inférieure est non atteinte. Le théor`eme 2.2 permet de montrer que
Borne Inférieure borne supérieure
? A m ? a). • On dit que A est majorée (resp. minorée) dans R si A admet au moins un majorant (resp. au moins
Continuité 1 Théorie
Montrer que f = 1 ou f = ?1. Exercice 3 Soit f : R+ ? R continue admettant une limite finie en +?. Montrer que f est bornée. Atteint-elle ses bornes ?
COURS 12 : Fonctions continues (suite)
Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a b] alors f est bornée sur [a
203. Utilisation de la notion de compacité
May 29 2010 Si on considère une fonction dérivable alors f (I) est un intervalle. Application 4. ... est minorée et atteint sa borne inférieure.
Module B01 : Étude locale des fonctions.
Dec 21 2007 Soient l
Optimisation.
alors on dit que m? est la borne inférieure de J et on note m? = inf(J). Montrer que f est bornée sur F et y atteint sa borne sa borne inférieure.
[PDF] Borne Inférieure borne supérieure
Si l'ensemble des minorants d'une partie A de R admet un plus grand élément m on dit que m est la borne inférieure de A et on note m = inf(A) Cette borne est
[PDF] 1 R Ensembles Applications 11 Valeur absolue Bornes
Exercice : Si A ? R est majorée montrer que sa borne supérieure est unique (1) 1) Dans R toute partie non vide minorée admet une borne inférieure
[PDF] Bornes supérieures et inférieures - Licence de mathématiques Lyon 1
Montrer que admet une borne inférieure et la déterminer est-ce un minimum ? Montrer que est minoré si et seulement si est majoré
[PDF] COURS 12 : Fonctions continues (suite)
Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a b] alors f est bornée sur [a b] et atteint ses bornes sur [a b] Démonstration Pour montrer
[PDF] CHAPITRE 1 R BORNE SUP´ERIEURE ET CONS´EQUENCES
On montre de même que f est minorée sur [a b] et que la borne inférieure est atteinte Remarques 1 23 — 1) L'image de [04?] par la fonction continue sin est
[PDF] THEOREMES DANALYSE
12 avr 2005 · Par définition de la limite f(I) n'est ni majoré ni minoré f est bornée sur R Montrer que f atteint l'une de ses bornes
[PDF] Bornes des fonctions
La fonction exponentielle est minorée par 0 tandis que la fonction Donnez la définition de la borne inférieure inf f d'une fonction f
[PDF] Rappels 1 Logique ensembles - Exo7 - Exercices de mathématiques
f n'est pas inférieure à g Correction ? Vidéo ? [000120] Exercice 2 Montrer par contraposition les assertions
[PDF] Analyse 1 - Alexandre Afgoustidis
Définition 1 6 – Majorant minorant ; partie majorée minorée bornée Ainsi la borne inférieure de A lorsqu'elle existe est le plus grand des
[PDF] CH XI : Étude globale des fonctions réelles dune variable réelle
La fonction f n'admet pas de minimum sur R • Elle est minorée par tout réel m ? 0 • Sa borne inférieure est : inf R f = 0 • La fonction g : x ??
Comment montrer que f est minorée ?
f est minorée sur I , s' il existe un réel m tel que pour tout x de I , f ( x ) ? m . On dit que m est un minorant de f . f est bornée sur I , si elle est minorée et majorée sur I . Tout réel M' supérieur à M est aussi un majorant de f .Comment montrer qu'une fonction admet une borne inférieure ?
Si l'ensemble des majorants d'une partie A de R admet un plus petit élément M on dit que M est la borne supérieure de A et on note M = sup(A). Cette borne est alors unique. Si l'ensemble des minorants d'une partie A de R admet un plus grand élément m, on dit que m est la borne inférieure de A et on note m = inf(A).Comment montrer le majorant et minorant ?
Proposition Si M est un majorant de f et N un majorant de g, alors M + N est un majorant de f + g. Si M est un majorant de f et N un majorant de g, avec f et g positives, alors MN est un majorant de fg. . Si M est un majorant de f , alors ?M est un minorant de ?f .- Les bornes (supérieure et inférieure) d'une fonction se lisent sur son TV : ce sont le plus grand et le plus petit des nombres qui apparaissent dans la ligne des y.
Chapitre2
Continuit´e
2.1D´efinit ionetpropri´et´es
D´efinition2.1(Continuit´eenu npoint)Soitfuneapplicat iondeD?RdansReta?D.1.Onditq uefestcon tinueenasipour toutε>0,ilexisteδ>0t.q.:
2.Ondi tquefests´equ entiellementcontinueenasiftransformetoutesuiteconve rgentev ersaen
suiteconverg enteversf(a),c'est-`a-dire: (x n n?N ?D,lim n→+∞ x n =a?lim n→+∞ f(x n )=f(a). Remarque2.1Sousleshy poth`esesd elad´efinition2.1etsiilexisteb,c?Rt.q.bD?RdansReta?D.Soi tγ>0.On pose
D=D∩]a-γ,a+γ[.Onapp elle
flarest rictiondefa D (c'est-`a-direque festd´e finiesur Det f=fsurD).Alors, festcontin ueenasiet seulemen tsi
fest continueena. D´efinition2.2(Continuit´e)Soitfuneapplicat iondeD?RdansR.onditquefestcon tinuesif estconti nueentoutpointdeD. Ondonne maintenantlad ´efinitiondelacontinuit´eu niforme ,plusfortequelacontinuit´e. 18 D´efinition2.3(Continuit´euni forme)Soitfuneapplicationde D?RdansR.onditquefestExemple2.1Onpren diciD=]0,1[et f(x)=
1 x pourx?]0,1[.L'appl icationfestcontinu e(c'est-`a- direcontinue entoutpointdeD)mai sn'estpas uniform´ementcont inue. Proposition2.1(Somme,produitetqu otientd' applicationscontinues)Soitf,gdeuxapplica- tionsdeD?RdansReta?D.Onsupposequefetgsontco ntinuesena.Alors:1.L'applicationf+gestcon tinueena,
2.L'applicationfgestconti nueena,
3.Ilex isteβ>0t.q.g(x)?=0pourx?D∩]a-β,a+β[etf/g(quiestb iend´efinie pourx?
D∩]a-β,a+β[)estcontinueena.
D´emonstration:Iciaussi, ilsuffites sentiellementdereprendrelad´emonstrationdelapr oposition 1.6.
Proposition2.2(Continuit´edelaco mpos´ee)Soitfuneapplicationde D?RdansRetgune applicationdeE?RdeR.OnsupposequeIm(f)={f(x),x?D}?E(desorteq ue g◦festd´efi nie surD).Soita?D.Onsupposequefestcont inueenaetgestcon tinueenf(a).Alors,g◦fest continueena.D´emonstration:Iciaussi, ilsuffites sentiellementdereprendrelad´emonstrationdelapr oposition 1.8.
2.2Th´eo r`emedesvaleursinterm´ediaires
Th´eor`eme2.2(Th´eor`emedesval eursinter m´ediaires)Soita,b?R,aOncomme nceparremarquerqu'ilex isteu nesuite(c
n n?N depoint sdeAt.q.li m n→+∞ c n =c(voir, parexem ple,l'exercice1.6).Parconti nuit´edefenc,ona donc f(c)=lim n→+∞ f(c n )et donc,c omme f(c n Onsupp osemaintenantquef(c)<γ(etonvamont rer quecec iestimpossible).On adoncct.q.f(c)=γparunrai sonnem entsemblableaupr´ec´edentenpren antA={x?[a,b]t.q.f(x)≥γ}.Ce
raisonnementn'estpasd´etaill´eici . Remarque2.3Voicideuxcons ´equencesimm ´ediatesduth´eor`emedesvaleursinterm´e diaires.1.Soita,b?R,a l'intervalledontlesbornessontf(a)etf(b). 2.SoitIuninte rvalledeRetfuneapplic ationcontinuedeIdansR.Alor s,fv´erifiela"propri´et´ed es
valeursinterm´ediai res",c'est`adire:Pourtouta,b?I,amontrequelacontin uit´edefimpliquequefv´erifielapropri´et´ed esvaleu rsinterm´ediaires.Lar´eciproque estfausse, c'est-`a-direquele faitquefv´erifielapropri´et´ed esvaleu rsinterm´ediairesn'impliquepasl a
continuit´edef.(La propri ´et´edesvaleursinterm´ediairesp eutˆetrep r´esent´eecommeune sortedecontinuit´e
aveclanotiond' ordredan sR,alor squelacon tinuit´ef aitplut ˆotappel`alanotiondedistance.)Nous verronsauchapitre3que si festd´eri vablede]a,b[dan sR,alor sf v´erifielapropri´et´ed esvaleu rs 2.3Fonctio ncontinuesuruninterval leferm´eborn´e
Th´eor`eme2.3(fonctioncontinues uru ncompact)Soita,b?R,aD´emonstration: Etape1Onmontr etoutd'abordquefestmajor´ ee(c'est-`a-direqueIm( f)={f(x),x?[a,b]}est major´ee).Pourcela,onraisonneparl 'absurde.O nsupposedoncq uefn'estpasmajor´ee . Soitn?N,com mefn'estpasmajor´ee ,l'ens embleA
n ={x?[a,b]t.q.f(x)≥n}estnonvid e.Comme cetensemb leestmajor´eparb,il admetu nebornesup´er ieure,not´ eex n ,et onax n ?[a,b].Onsai taussi quex n estlimit ed'unesuitedepointd eA n .Com mefestcontin ueenx n ,ona donc f(x n )≥n. Lasu ite(x
n n?N estd´ecr oissante(carA n+1 ?A n )et minor´ ee(para).Elle estdoncconver gentedansR. Onposex=lim
n→+∞ x n n continueenx,ona lim n→+∞ f(x n )=f(x),cequ iimpos siblecarf(x n )≥npourtoutn?N(etdonc lim n→+∞ f(x n Onadonc mont r´equefestmajor´e e.Unraisonnementsimilairenon fai ticipermetdemontrerquefest minor´ee. Etape2OnnoteM=sup{Im(f)}.On montre maintenantqu'ilex isted?[a,b]t.q.f(d)=M.Pou r cela,onutilise unr aisonnementsemblable`ac eluide lapremi`ere´etape. 20 Soitn?N,On poseM
n =M- 1 n etB n ={x?[a,b]t.q.f(x)≥M n }.Com meM n n'estpasun majorantdeIm(f),l'e nsembleB n estnonvid e.Comme cetensembleestm ajor´eparb,il admetu ne bornesup´erie ure,not´eey n ,et onay n ?[a,b].Comme y n estlimit ed'unesuitedepointd eB n etque f estcontinu eeny n ,ona donc f(y n )≥M n .(O naaussif(y n Lasu ite(y
n n?N estd´ecr oissante(carB n+1 ?B n )et minor´ ee(para).Elle estdoncconver gentedansR. Onposed=lim
n→+∞ y n n continueend,ona lim n→+∞ f(y n )=f(d).On end´ed uitquef(d)=Menpassan t`alalimitesur les in´egalit´esM n =M- 1 n n Unrai sonnementsimilairenonfaiticiperme tdemontrerqu'ilexistec?[a,b]t.q.f(c)=m=inf(Im(f)). Exemple2.2Onpren diciI=]0,1[et f(x)=1/xpourx?]0,1[.Pourc etexempl e,l'applic ationfest nonmajor ´eeetelleestminor´eem aissabor neinf´erieur eestnonatt einte. Leth ´eor`eme2.2permetdemontrerque l'imaged 'unintervalleparune applicat ioncontinueestun intervalle.Avecleth´eor`eme2.3,ona mˆemequel 'imagepar uneapplicationcontinued'unint ervalle ferm´eborn´eestuni ntervalleferm´eb orn´e.Cec iestdon n´edansleth´eor`eme2.4. Th´eor`eme2.4(Imaged'uninterval leparuneap plicationcontinu e) SoitIintervalle(nonvide)deRetfuneapplicat ioncontinuedeIdansR.OnposeIm(f)={f(x), x?I}.Alors: 1.L'ensembleIm(f)estuni ntervall e.(Autrementdit,l'imageparu neapplicationcontinued'u n
intervalleestunintervalle.) 2.SiI=[a,b]aveca,b?R,a m=inf(Im(f))etM=sup(Im(f))).(Autr ementdit,l'imageparuneapplicationco ntinued'un intervalleferm´eborn´eestu nintervallefe rm´eborn´e.) D´emonstration:
Onmontr etoutd'abordle1eri temduth´e or`eme.SiIm(f)es tminor´ee ,onposeα=inf(Im(f)).S i Im(f)n' estpasminor´ee,on poseα=-∞(danscecas,onpos eaussii nf(Im(f))=-∞).Dem ˆe me,si
Im(f)es tmajor´ee ,onposeβ=sup(Im(f)).Si Im( f)n' estpasmajor´ee,on poseβ=+∞(danscecas,
onpos eaussisup (Im(f))=+ ∞). Lad´ efinitiondeαetβdonnedoncimm´ ediatement queIm(f)?[α,β].Pourm ontrerque Im(f)estun
intervalle,ilsu ffi tde montre rque]α,β[?Im(f). Soitγ?]α,β[.Comme γn'estpasunminoran tdeIm( f),il existea?It.q.f(a)<γ.De mˆeme, Comme
γn'estpasunmajoran tdeIm( f),il existeb?It.q.f(b)>γ.le nombreγestdonccomp risentre f(a) etf(b).Comme festcontin uesurl'intervalleferm´ eborn´edon tlesbornessontaetb,le th´eor `emedes
valeursinterm´ediai res(th´eor`eme2.2)donnequ'ilexistexentreaetb(etdoncxdansI)t.q.f(x)=γ. Onadonc bi enmontr´eq ue]α,β[?Im(f)et doncqu eIm(f)es tuninter valle(c 'estunintervalledontles
bornessontαetβ). Onmontr emaintenantledeu xi`emeitemduth´eor`eme.Let h´eor` eme2.3montrequ'ilexistem,M?Ret c,d?[a,b]t.q.f(c)=m,f(d)=Metqu eIm(f)?[m,M).Puis leth´eor`emed esvale ursinterm´ediaires (th´eor`eme2.2)montrequepourtoutγ?[m,M],ile xist exentrecetd(etdoncx?[a,b])t. q.f(x)=γ. Onend ´e duitqueIm(f)=[m,M].
21
2.4Fonction strictementmonotonee tcontinue
funeapplicationst rictementcr oissante,continue,deIdansR.OnposeIm(f)={f(x),x?I},α= inf(Im(f))(avecinf(Im(f))=-∞siIm(f)estnon minor´ee),β=sup(Im(f))(avecsup(Im(f))=+ ∞ siIm(f)estnon major´ee).Al ors: 1.Im(f)estuni ntervall edontlesextr´emit´essontαetβ.OnnoteJcetint ervalle.
2.SiI=]a,b[,onaalorsJ=]α,β[.
3.L'applicationfestbije ctivedeIdansJ.
4.Onnot eglafo nctionr´eciproquedef(c'est-`a-diregd´efiniedeJdansIt.q.g◦f(x)=xpourtout
x?Ietf◦g(x)=xpourtoutx?J).L'applic ationgestcont inueetstrictementcroissante( de JdansI).
D´emonstration:
1.Leth ´eor`eme2.4donnequeIm(f)es tuninter valle.La d´efinitiondeαetβdonnealorsquel es
quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
2.SoitIuninte rvalledeRetfuneapplic ationcontinuedeIdansR.Alor s,fv´erifiela"propri´et´ed es
valeursinterm´ediai res",c'est`adire:Pourtouta,b?I,aestfausse, c'est-`a-direquele faitquefv´erifielapropri´et´ed esvaleu rsinterm´ediairesn'impliquepasl a
continuit´edef.(La propri ´et´edesvaleursinterm´ediairesp eutˆetrep r´esent´eecommeune sortedecontinuit´e
aveclanotiond' ordredan sR,alor squelacon tinuit´ef aitplut ˆotappel`alanotiondedistance.)Nous verronsauchapitre3que si festd´eri vablede]a,b[dan sR,alor sf v´erifielapropri´et´ed esvaleu rs2.3Fonctio ncontinuesuruninterval leferm´eborn´e
Th´eor`eme2.3(fonctioncontinues uru ncompact)Soita,b?R,aSoitn?N,com mefn'estpasmajor´ee ,l'ens embleA
n ={x?[a,b]t.q.f(x)≥n}estnonvid e.Comme cetensemb leestmajor´eparb,il admetu nebornesup´er ieure,not´ eex n ,et onax n ?[a,b].Onsai taussi quex n estlimit ed'unesuitedepointd eA n .Com mefestcontin ueenx n ,ona donc f(x n )≥n.Lasu ite(x
n n?N estd´ecr oissante(carA n+1 ?A n )et minor´ ee(para).Elle estdoncconver gentedansR.Onposex=lim
n→+∞ x n n continueenx,ona lim n→+∞ f(x n )=f(x),cequ iimpos siblecarf(x n )≥npourtoutn?N(etdonc lim n→+∞ f(x n Onadonc mont r´equefestmajor´e e.Unraisonnementsimilairenon fai ticipermetdemontrerquefest minor´ee. Etape2OnnoteM=sup{Im(f)}.On montre maintenantqu'ilex isted?[a,b]t.q.f(d)=M.Pou r cela,onutilise unr aisonnementsemblable`ac eluide lapremi`ere´etape. 20Soitn?N,On poseM
n =M- 1 n etB n ={x?[a,b]t.q.f(x)≥M n }.Com meM n n'estpasun majorantdeIm(f),l'e nsembleB n estnonvid e.Comme cetensembleestm ajor´eparb,il admetu ne bornesup´erie ure,not´eey n ,et onay n ?[a,b].Comme y n estlimit ed'unesuitedepointd eB n etque f estcontinu eeny n ,ona donc f(y n )≥M n .(O naaussif(y nLasu ite(y
n n?N estd´ecr oissante(carB n+1 ?B n )et minor´ ee(para).Elle estdoncconver gentedansR.Onposed=lim
n→+∞ y n n continueend,ona lim n→+∞ f(y n )=f(d).On end´ed uitquef(d)=Menpassan t`alalimitesur les in´egalit´esM n =M- 1 n n Unrai sonnementsimilairenonfaiticiperme tdemontrerqu'ilexistec?[a,b]t.q.f(c)=m=inf(Im(f)). Exemple2.2Onpren diciI=]0,1[et f(x)=1/xpourx?]0,1[.Pourc etexempl e,l'applic ationfest nonmajor ´eeetelleestminor´eem aissabor neinf´erieur eestnonatt einte. Leth ´eor`eme2.2permetdemontrerque l'imaged 'unintervalleparune applicat ioncontinueestun intervalle.Avecleth´eor`eme2.3,ona mˆemequel 'imagepar uneapplicationcontinued'unint ervalle ferm´eborn´eestuni ntervalleferm´eb orn´e.Cec iestdon n´edansleth´eor`eme2.4. Th´eor`eme2.4(Imaged'uninterval leparuneap plicationcontinu e) SoitIintervalle(nonvide)deRetfuneapplicat ioncontinuedeIdansR.OnposeIm(f)={f(x), x?I}.Alors:1.L'ensembleIm(f)estuni ntervall e.(Autrementdit,l'imageparu neapplicationcontinued'u n
intervalleestunintervalle.)2.SiI=[a,b]aveca,b?R,a m=inf(Im(f))etM=sup(Im(f))).(Autr ementdit,l'imageparuneapplicationco ntinued'un intervalleferm´eborn´eestu nintervallefe rm´eborn´e.) D´emonstration:
Onmontr etoutd'abordle1eri temduth´e or`eme.SiIm(f)es tminor´ee ,onposeα=inf(Im(f)).S i Im(f)n' estpasminor´ee,on poseα=-∞(danscecas,onpos eaussii nf(Im(f))=-∞).Dem ˆe me,si
Im(f)es tmajor´ee ,onposeβ=sup(Im(f)).Si Im( f)n' estpasmajor´ee,on poseβ=+∞(danscecas,
onpos eaussisup (Im(f))=+ ∞). Lad´ efinitiondeαetβdonnedoncimm´ ediatement queIm(f)?[α,β].Pourm ontrerque Im(f)estun
intervalle,ilsu ffi tde montre rque]α,β[?Im(f). Soitγ?]α,β[.Comme γn'estpasunminoran tdeIm( f),il existea?It.q.f(a)<γ.De mˆeme, Comme
γn'estpasunmajoran tdeIm( f),il existeb?It.q.f(b)>γ.le nombreγestdonccomp risentre f(a) etf(b).Comme festcontin uesurl'intervalleferm´ eborn´edon tlesbornessontaetb,le th´eor `emedes
valeursinterm´ediai res(th´eor`eme2.2)donnequ'ilexistexentreaetb(etdoncxdansI)t.q.f(x)=γ. Onadonc bi enmontr´eq ue]α,β[?Im(f)et doncqu eIm(f)es tuninter valle(c 'estunintervalledontles
bornessontαetβ). Onmontr emaintenantledeu xi`emeitemduth´eor`eme.Let h´eor` eme2.3montrequ'ilexistem,M?Ret c,d?[a,b]t.q.f(c)=m,f(d)=Metqu eIm(f)?[m,M).Puis leth´eor`emed esvale ursinterm´ediaires (th´eor`eme2.2)montrequepourtoutγ?[m,M],ile xist exentrecetd(etdoncx?[a,b])t. q.f(x)=γ. Onend ´e duitqueIm(f)=[m,M].
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2.4Fonction strictementmonotonee tcontinue
funeapplicationst rictementcr oissante,continue,deIdansR.OnposeIm(f)={f(x),x?I},α= inf(Im(f))(avecinf(Im(f))=-∞siIm(f)estnon minor´ee),β=sup(Im(f))(avecsup(Im(f))=+ ∞ siIm(f)estnon major´ee).Al ors: 1.Im(f)estuni ntervall edontlesextr´emit´essontαetβ.OnnoteJcetint ervalle.
2.SiI=]a,b[,onaalorsJ=]α,β[.
3.L'applicationfestbije ctivedeIdansJ.
4.Onnot eglafo nctionr´eciproquedef(c'est-`a-diregd´efiniedeJdansIt.q.g◦f(x)=xpourtout
x?Ietf◦g(x)=xpourtoutx?J).L'applic ationgestcont inueetstrictementcroissante( de JdansI).
D´emonstration:
1.Leth ´eor`eme2.4donnequeIm(f)es tuninter valle.La d´efinitiondeαetβdonnealorsquel es
quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
D´emonstration:
Onmontr etoutd'abordle1eri temduth´e or`eme.SiIm(f)es tminor´ee ,onposeα=inf(Im(f)).S iIm(f)n' estpasminor´ee,on poseα=-∞(danscecas,onpos eaussii nf(Im(f))=-∞).Dem ˆe me,si
Im(f)es tmajor´ee ,onposeβ=sup(Im(f)).Si Im( f)n' estpasmajor´ee,on poseβ=+∞(danscecas,
onpos eaussisup (Im(f))=+ ∞).Lad´ efinitiondeαetβdonnedoncimm´ ediatement queIm(f)?[α,β].Pourm ontrerque Im(f)estun
intervalle,ilsu ffi tde montre rque]α,β[?Im(f).Soitγ?]α,β[.Comme γn'estpasunminoran tdeIm( f),il existea?It.q.f(a)<γ.De mˆeme, Comme
γn'estpasunmajoran tdeIm( f),il existeb?It.q.f(b)>γ.le nombreγestdonccomp risentre f(a)etf(b).Comme festcontin uesurl'intervalleferm´ eborn´edon tlesbornessontaetb,le th´eor `emedes
valeursinterm´ediai res(th´eor`eme2.2)donnequ'ilexistexentreaetb(etdoncxdansI)t.q.f(x)=γ.Onadonc bi enmontr´eq ue]α,β[?Im(f)et doncqu eIm(f)es tuninter valle(c 'estunintervalledontles
bornessontαetβ). Onmontr emaintenantledeu xi`emeitemduth´eor`eme.Let h´eor` eme2.3montrequ'ilexistem,M?Ret c,d?[a,b]t.q.f(c)=m,f(d)=Metqu eIm(f)?[m,M).Puis leth´eor`emed esvale ursinterm´ediaires (th´eor`eme2.2)montrequepourtoutγ?[m,M],ile xist exentrecetd(etdoncx?[a,b])t. q.f(x)=γ.Onend ´e duitqueIm(f)=[m,M].
212.4Fonction strictementmonotonee tcontinue
funeapplicationst rictementcr oissante,continue,deIdansR.OnposeIm(f)={f(x),x?I},α= inf(Im(f))(avecinf(Im(f))=-∞siIm(f)estnon minor´ee),β=sup(Im(f))(avecsup(Im(f))=+ ∞ siIm(f)estnon major´ee).Al ors:1.Im(f)estuni ntervall edontlesextr´emit´essontαetβ.OnnoteJcetint ervalle.
2.SiI=]a,b[,onaalorsJ=]α,β[.
3.L'applicationfestbije ctivedeIdansJ.
4.Onnot eglafo nctionr´eciproquedef(c'est-`a-diregd´efiniedeJdansIt.q.g◦f(x)=xpourtout
x?Ietf◦g(x)=xpourtoutx?J).L'applic ationgestcont inueetstrictementcroissante( deJdansI).
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