Ift 2421 Chapitre 3 Résolution des systèmes déquations linéaires
Méthode de Cramer Méthode de factorisation triangulaire. (décomposition LU) ... 2. Le pivotage se complique par rapport à la méthode de Gauss.
FORMULES DE CRAMER
1) Donner la démonstration élémentaire des formules de Cramer dans le cas d'un En utilisant la méthode du pivot de Gauss on conserve la première ...
CHAPITRE 1
Méthodes de résolution Résolution générale par la méthode de Cramer. C'est le mathématicien suisse Gabriel Cramer (1704-1752) qui a introduit ...
Systèmes linéaires
Vidéo ? partie 3. Résolution par la méthode du pivot de Gauss substitution méthode de Cramer
RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES
provient du fait que deux variables sont présentes dans chacune des équations. La méthode de substitution vous permettra d'utiliser l'information contenue dans
LES DÉTERMINANTS DE MATRICES
7- Expansion par cofacteurs - méthode de calcul des déterminants. Soit une matrice carrée et ses cofacteurs. Le déterminant est obtenu en suivant.
Chapitre 1: Calculs matriciels
la méthode de Cramer. g. Définitions : • Une matrice A = (aij) de type m?n est un tableau rectangulaire comprenant m lignes et n colonnes formées de nombres
résolution des systèmes déquations à 2 inconnues par la méthode
PAR LA MÉTHODE DES DÉTERMINANTS DE CRAMER. Système étudié à titre d'exemple: S{3x+4y=5. 6x+7y=8}. Appelons A la colonne (3. 6) B la colonne (4.
Systèmes déquations linéaires
de Gauss en inversant la matrice des coefficients
Déterminants
Autrement dit Aj est la matrice obtenue en remplaçant la j-ème colonne de A par le second membre B. La règle de. Cramer va nous permettre de calculer la
FORMULES DE CRAMER - touteslesmathsfr
2) Enoncer et dØmontrer les formules de Cramer dans le cas gØnØral d™un syst?me de nØquations à ninconnues à partir de la thØorie gØnØrale des dØterminants (voir le document "DØterminants" sur le site touteslesmaths fr) 1 Syst?mes de trois Øquations à trois inconnues
RÉSOLUTION DES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS À 2 INCONNUES PAR LA
RÉSOLUTION DES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS À 2 INCONNUES PAR LA MÉTHODE DES DÉTERMINANTS DE CRAMER RÉSOLUTION DES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS À 2 INCONNUES PAR LA MÉTHODE DES DÉTERMINANTS DE CRAMER Système étudié à titre d'exemple: S{3x 4y=5 6x 7y=8} Appelons Ala colonne 3 6 Bla colonne
Systèmes d’équations linéaires - e Math
1 Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution par la méthode du pivot de Gauss en inversant la matrice des coef?cients par la formule de Cramer) : ˆ 2x + y = 1 3x + 7y = 2 2 Choisir la méthode qui vous paraît la plus rapide pour résoudre selon les valeurs de a les systèmes suivants : ˆ ax + y = 2
Méthode de Résolution d'un Système Par Les Formules de Cramer
Contexte
Complément
On peut ainsi retenir l'expression des solutions par la méthode de Cramer : (1)(1)(1) {ax+by=ca?x+b?y=c?begin{cases} ax+by=c a'x+b'y=c'end{cases}{ax+by=ca?x+b?y=c?? On forme par exemple : x=x=x=?cbc?b???aba?b??frac{begin{vmatrix} c & b c'& b'end{vmatrix}}{begin{vmatrix} a & b a' & b'end{vmatrix}}????aa??bb??????????cc??bb???????=cb??...
Comment appliquer la méthode de Cramer?
Résoudre le système suivant : On peut appliquer la méthode de Cramer du fait qu?on a 3 équations et 3 inconnues mais il faut vérifier que det A est non nul. La solution du système est donnée par (-2, 1, 2) Application : Résoudre le système suivant : Solution Résolution par la méthode du pivot de Gauss
Qui a conçu la méthode de Cramer ?
La méthode de Cramer a été conçue par Gabriel Cramer, un mathématicien genévois, en 1750, il a conçu un moyen pour résoudre un système d’équations linéaires en utilisant une équation matricielle et les déterminants des matrices qui en découlent. Nous allons maintenant étudier la méthode de Cramer et son utilisation.
Qu'est-ce que la règle de Cramer?
La règle de Cramer (ou méthode de Cramer) est un théorème d’algèbre linéaire qui donne une solution au système de Cramer, c’est-à-dire un système d’équations linéaires avec autant d’équations que d’inconnues et dont le déterminant de la matrice des coefficients est nul, dans le forme de coefficients déterminants.
Qu'est-ce que le système de Cramer?
Le système AX=B (forme matricielle) est dit système de Cramer si A est une matrice carrée et det A est non nul. Dans ce cas le système de Cramer admet une solution unique vérifiant AX=B. 2- Résolution La résolution à l?aide de la méthode de Cramer n?est donc possible que dans le cas où le nombre d?équations est égal à celui des inconnues.
Déterminants
pède engendré par cesnvecteurs. On peut aussi définir le déterminant d"une matriceA. Le déterminant permet de
savoir si une matrice est inversible ou pas, et de façon plus générale, joue un rôle important dans le calcul matriciel et
la résolution de systèmes linéaires.Dans tout ce qui suit, nous considérons des matrices à coefficients dans un corps commutatifK, les principaux
exemples étantK=RouK=C. Nous commençons par donner l"expression du déterminant d"une matrice en petites
dimensions.1. Déterminant en dimension2et3
1.1. Matrice22
En dimension 2, le déterminant est très simple à calculer : deta b c d =adbc.C"est donc le produit des éléments sur la diagonale principale (en bleu) moins le produit des éléments sur l"autre
diagonale (en orange).ab cd0 @1 A+1.2. Matrice33
SoitA2M3(K)une matrice 33 :
A=0 @a11a12a13
a21a22a23
a31a32a331
AVoici la formule pour le déterminant :
DÉTERMINANTS1. DÉTERMINANT EN DIMENSION2ET32Il existe un moyen facile de retenir cette formule, c"est larègle de Sarrus: on recopie les deux premières colonnes à
droite de la matrice (colonnes grisées), puis on additionne les produits de trois termes en les regroupant selon la
direction de la diagonale descendante (à gauche), et on soustrait ensuite les produits de trois termes regroupés selon
la direction de la diagonale montante (à droite).a 11a 12a 13a 11a 12a 21a22a
23a
21a
22a
31a
32a
33a
31a
320
B
BBBBB@1
CCCCCCAa
11a 12a 13a 11a 12a 21a22a
23a
21a
22a
31a
32a
33a
31a
320
B
BBBBB@1
CCCCCCAExemple 1.
Calculons le déterminant de la matriceA=0
@2 1 0 11 33 2 11
APar la règle de Sarrus :
detA=2(1)1+133+0123(1)0232111=6.21021
11311321320
BBBBBB@1
CCCCCCA
Attention : cette méthode ne s"applique pas pour les matrices de taille supérieure à3. Nous verrons d"autres méthodes
qui s"appliquent aux matrices carrées de toute taille et donc aussi aux matrices 33.1.3. Interprétation géométrique du déterminant
On va voir qu"en dimension 2, les déterminants correspondent à des aires et en dimension 3 à des volumes.
Donnons nous deux vecteursv1=(ac)etv2=bddu planR2. Ces deux vecteursv1,v2déterminentun parallélogramme.v
1v 2xy O~ i~ jProposition 1. L"aire du parallélogramme est donnée par la valeur absolue du déterminant :A=det(v1,v2)=deta b
c d .De manière similaire, trois vecteurs de l"espaceR3: v 1=0 @a 11 a 21a 311
A v2=0 @a 12 a 22
a 321
A v3=0 @a 13 a 23
a 331
A définissent un parallélépipède. DÉTERMINANTS1. DÉTERMINANT EN DIMENSION2ET33v 1v 2v
3À partir de ces trois vecteurs on définit, en juxtaposant les colonnes, une matrice et un déterminant :
det(v1,v2,v3) =det0 @a11a12a13
a21a22a23
a31a32a331
A .Proposition 2. Le volume du parallélépipède est donné par la valeur absolue du déterminant :V=det(v1,v2,v3).On prendra comme unité d"aire dansR2l"aire du carré unité dont les côtés sont les vecteurs de la base canonique10,01, et comme unité de volume dansR3, le volume du cube unité.
Démonstration.
Traitons le cas de la dimension2. Le résultat est vrai siv1=(a0)etv2=0d. En effet, dans ce cas ona affaire à un rectangle de côtésjajetjdj, donc d"airejadj, alors que le déterminant de la matricea0
0d vautad.v 1v 2ad O~ i~ jSi les vecteursv1etv2sont colinéaires alors le parallélogramme est aplati, donc d"aire nulle; on calcule facilement
que lorsque deux vecteurs sont colinéaires, leur déterminant est nul.Dans la suite on suppose que les vecteurs ne sont pas colinéaires. Notonsv1=(ac)etv2=bd. Sia6=0, alors
v02=v2ba
v1est un vecteur vertical :v02=0
dba cL"opération de remplacerv2parv0
2ne change pas l"aire du parallélogramme (c"est comme si on avait coupé le triangle
vert et on l"avait collé à la place le triangle bleu).v 1v 2v 0 2O~ i~ jCette opération ne change pas non plus le déterminant car on a toujours : det(v1,v02) =deta0
b dba c =adbc=det(v1,v2).On pose alorsv0
1=(a0): c"est un vecteur horizontal. Encore une fois l"opération de remplacerv1parv0
1ne change ni
l"aire des parallélogrammes ni le déterminant car det(v0 1,v02) =deta0
0dba c =adbc=det(v1,v2). DÉTERMINANTS2. DÉFINITION DU DÉTERMINANT4v 1v 0 2v 0 1O~ i~jOn s"est donc ramené au premier cas d"un rectangle aux côtés parallèles aux axes, pour lequel le résultat est déjà
acquis. Le cas tridimensionnel se traite de façon analogue.Mini-exercices. 1.P ourA=1 2
5 3 etB=7 8 9 5 calculer les déterminants deA,B,AB,A+B,A1,A,AT. 2.Mêmes questions pour A=a b
c d etB=a00 c 0d0 3.Mêmes questions pour A=0
@2 0 1 21 23 1 01
A etB=0 @1 2 3 0 2 20 0 31
A 4. Calculer l"aire du parallélogramme défini par les vecteurs73et14.
5. Calculer le volume du parallélépipède défini par les vecteurs 211 ,114 ,131 .2. Définition du déterminantCette partie est consacrée à la définition du déterminant. La définition du déterminant est assez abstraite et il faudra
attendre encore un peu pour pouvoir vraiment calculer des déterminants.2.1. Définition et premières propriétés
Nous allons caractériser le déterminant comme une application, qui à une matrice carrée associe un scalaire :
det :Mn(K)!KThéorème 1(Existence et d"unicité du déterminant).Il existe une unique application de M
n(K)dansK, appeléedéterminant, telle que (i)le déterminant est linéaire par rapport à chaque vecteur colonne, les autres étant fixés ;
(ii) si une matrice A a deux colonnes identiques, alors son déterminant est nul ; (iii) le déterminant de la matrice identité I nvaut1.Une preuve de l"existence du déterminant sera donnée plus bas en section2.4 . On note le déterminant d"une matriceA= (aij)par : detAou a11a12a1n
a21a22a2n.........
a n1an2annSi on noteCilai-ème colonne deA, alors
detA=C1C2Cn=det(C1,C2,...,Cn).DÉTERMINANTS2. DÉFINITION DU DÉTERMINANT5Avec cette notation, la propriété (i) de linéarité par rapport à la colonnejs"écrit : pour tout,2K,det(C1,...,Cj+
C0 j,...,Cn) =det(C1,...,Cj,...,Cn)+det(C1,...,C0 j,...,Cn), soit a11a1j+a0
1ja1n a i1aij+a0 ijain aquotesdbs_dbs10.pdfusesText_16[PDF] faire un bilan comptable exemple
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