[PDF] Chapitre 2 - Espaces vectoriels réels

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ECE2-Lycée La Folie Saint James Année 2014-2015

Chapitre 2

Espaces vectoriels réels

I) De l"exemple à la définitionOn considère le planEAER£Rmuni d"un repère (O,~i,~j). Un vecteur~udu plan s"identifie à ses coordonnées

(u1,u2) dans ce repère. Étant donnés~uAE(u1,u2) et~vAE(v1,v2) deux vecteurs du plan et¸un nombre réel

quelconque, on définit ~uÅ~vAE(u1Åu2,v1Åv2); •¸¢~uAE(¸u1,¸u2).

Le vecteur nul

~0 a pour coordonnées (0,0).~ u~ v2 ~u~ uÅ~v

La somme vectorielle "Å» est uneloi de compositionet elle est diteinternepuisqu"elle "mange» deux

vecteurs du plan et renvoie un vecteur du plan. La multiplication à gauche "¢» d"un vecteur par unscalaire

est aussi une loi de composition, mais elle est diteexternecar elle "mange» un vecteur et un scalaire (qui

est donc extérieur au plan) et renvoie un vecteur.

Les calculs sur les vecteurs se font alors avec les règles suivantes (que vous appliquez naturellement depuis

leur introduction dans votre scolarité) : pour tous vecteurs~u,~v,~wdansEet pour tous nombres réels¸et¹

i) ~uÅ(~vÅ~w)AE(~uÅ~v)Å~wAE~uÅ~vÅ~w(associativité de la loi "Å»), ii) ~uÅ~vAE~vÅ~u(commutativité de la loi "Å»), iii) ~uÅ~0AE~u(élément neutre pour la loi "Å» noté~0), iv) ~uÅ(¡~u)AE~0 ( existence d"un opposé pour la loi "Å»),

v)¸¢(~uÅ~v)AE¸¢~uŸ¢~v(distributivité à gauche de la loi "¢» par rapport à l"addition dans E),

vi)

( ¸Å¹)¢~uAE¸¢~uŹ¢~v(distributivité à droite de la loi "¢» par rapport à l"addition dansR),

vii) ( ¸¹)¢~uAE¸¢(¹¢~v) (associativité mixte de la loi "¢»), viii)

1 ¢~uAE~u(élément neutre pour la loi "¢» noté 1).

De nombreux espaces peuvent être munis d"une addition et d"un produit par les nombres réels qui vérifient

les règles de calcul précédentes : matrices, polynômes, suites, fonctions, etc. C"est pour cela qu"on introduit

la notion d"espace vectoriel.

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Définition 1.On appelle espace vectoriel réel (ouR-espace vectoriel) tout triplet (E,Å,¢) constitué

d"un ensembleEet de deux lois "Å» et "¢» vérifiant les propriétés i) à viii) pour tous vecteurs~u,~v,~w

dans E et pour tous nombres réels¸et¹.II) Espaces vectoriels de référence Proposition 1.Pour tout entier n>1, le triplet(Rn,Å,¢)est un espace vectoriel surRavec •RnAE©(x1,...,xn) :x12R,...,xn2Rª; ~xÅ~yAE(x1Åy1,...,xnÅyn), si~xAE(x1,...,xn)et~yAE(y1,...,yn)sont des éléments deRn;

•¸¢~xAE(¸x1,...,¸xn), si~xAE(x1,...,xn)est un élément deRnet¸un nombre réel.

En particulier,(R,Å,¢),(R2,Å,¢)et(R3,Å,¢)sont des espaces vectoriels surR.Proposition 2.

Pour tous entiersn>1etp>1, le triplet(Mn,p(R),Å,¢), est un espace vectoriel surR avec •Mn,p (R)AE8 :0 B @m

1,1¢¢¢m1,p.........

m n,1¢¢¢mn,p1 C

A:mi,j2R,8i2{1,...,n},8j2{1,...,p}9

;,l"ensembledesmatrices réelles à n lignes et p colonnes,; •AÅBAE0 B @a a n,1Åbn,1¢¢¢an,pÅbn,p1 C A , siAAE0 B @a

1,1¢¢¢a1,p.........

a n,1¢¢¢an,p1 C

AetBAE0

B @b

1,1¢¢¢b1,p.........

b n,1¢¢¢bn,p1 C

Asont des

éléments deMn,p(R);

•¸¢AAE0 B @¸a1,1¢¢¢¸a1,p.........

¸an,1¢¢¢¸an,p1

C A , siAAE0 B @a

1,1¢¢¢a1,p.........

a n,1¢¢¢an,p1 C

Aest un élément deMn,p(R)et¸un nombre

réel.

Le vecteur nul est dans ce cas la matrice nulle0

B @0¢¢¢0

0¢¢¢01

C A.

En première année étaient introduits les espacesMn,1(R) présentés comme des espaces vectoriels. Ces

espaces s"identifient aux espacesRnsi on identifie les vecteurs (x1,...,xn) deRnavec les vecteurs co-

lonnes0 B @x 1... x n1 C AdeMn,1(R).Proposition 3.Le triplet(R[X],Å,¢)est un espace vectoriel surRavec •R

[X]l"ensemble des fonctions polynomiales que l"on identifie à l"ensemble des polynômes à coeffi-

cients réels©Pn kAE0akXk:n2N, (a0,...,an)2RnÅ1ªen posantXk:x7!xk; •[PÅQ](X)AEP(X)ÅQ(X), siP(X)etQ(X)sont des éléments deR[X];Page 2/12 ECE2-Lycée La Folie Saint James Année 2014-2015 •[¸¢P](X)AE¸£P(X), siP(X)est un élément deR[X]et¸un nombre réel.

Le vecteur nul est dans ce cas le polynôme nul, le polynôme dont tous les coefficients sont nuls.Proposition 4.Le triplet(RN,Å,¢)est un espace vectoriel surRavec

1.RNAE©(un)n2N:un2,8n2Nª, l"ensemble des suites réelles;

2. u ÅvAE(unÅvn)n2N, si uAE(un)n2Net vAE(vn)n2Nsont des éléments deRN;

3.¸¢uAE(¸un)n2N, si uAE(un)n2Nest un élément deRNet¸un nombre réel.

Le vecteur nul est dans ce cas la suite nulle, la suite dont tous les termes valent0.Proposition 5.SoitDun ensemble non vide inclus dansR. Le triplet(RD,Å,¢)est un espace vectoriel

surRavec

1.RDAE©f:D!Rª, l"ensemble des fonctions deDdansR;

2. f Åg:x7!f(x)Åg(x), si f et g sont des éléments deRD;

3.¸¢f:x7!¸£f(x), si f est un élément deRDet¸un nombre réel.

Le vecteur nul est dans ce cas la fonction nulle, la fonction qui prend la valeur0sur toutD.III) Sous-espaces vectoriels

À partir de maintenant, les vecteurs (c"est à dire les éléments d"un espace vectoriel) sont notés sans "flèche»

(sauf exception dépendant du contexte).

Par ailleurs, dans toute la suite, on confond l"ensemble E avec leR-espace vectoriel (E,Å,¢).Définition 2.

SoientEunR-espace vectoriel,nun entier non nul etFAE(u1,...,un) une famille de nvecteurs deE. On dit que le vecteuruest unecombinaison linéairedes vecteurs deFsi il existen nombres réels¸1, ...,¸ntels que kAE1¸ kuk.Exemple 1. Le vecteuruAE(3,2) s"écrituAE3iÅ2javeciAE(1,0) etjAE(0,1). Le vecteuruest donc une combinaison linéaire des vecteursietj.iju2j3iPage 3/12 ECE2-Lycée La Folie Saint James Année 2014-2015 Définition 3.SoientEunR-espace vectoriel etFune partie deE. On dit queFest un sous-espace vectoriel de E si a)

F est non v ide;

b)

F est sta blep arcombin aisonli néaire.Méthode 1 : Montrer qu"une partie F est stable par combinaison linéaire.

On montre que F est stable par combinaison linéaire de deux vecteurs : i) p ourtous v ecteursuetvdans F et tous¸et¹dansR, le vecteur¸uŹvappartient à F.

Parfois, il est plus simple de montrer séparément queFest stable par addition et par multiplication

externe : i") pour tou sv ecteursuetvdans F, le vecteuruÅvappartient à F; ii") pou rt outv ecteurudans F et tout¸dansR, le vecteur¸uappartient à F. Le point i) est équivalent à i") et ii") ainsi qu"au point b) de la définition 3 .Exemple 2.On se place dans EAER2et on considère l"ensemble F défini par

FAE{(x,y)2R2:xAEy}.

Montrer que F est un sous-espace vectoriel.Proposition 6. SoitFun sous-espace vectoriel d"unR-espace vectorielE. AlorsFcontient le vecteur nul.Exemple 3.On se place dans EAER2et on considère l"ensemble G défini par

GAE{(x,y)2R2:xAEyÅ1}.

L"ensemble G est il un sous-espace vectoriel deR2?Remarque 1. Pour étudier le fait qu"un ensembleFest, ou n"est pas, un sous-espace vectoriel, on commencera toujours par vérifier que le vecteur nul est dans l"ensemble F étudié puisque 1.

si le vecteur nul est dansF, alorsFest non vide et on vient de vérifier une des deux propriétés

qui définissent un sous-espace vectoriel; 2. si l ev ecteurn uln "estp asdan sF ,alors F n "estpas un s ous-espacev ectoriel.Exemple4. SoitEAERNet soientaetbdeux nombres réels. On considère l"ensembleFa,bdéfini par Fa,bAE©(un)n2N2E : pour toutn>0,unÅ2AEaunÅ1Åbunª.

Montrer que F

a,best un sous-espace vectoriel.Page 4/12 ECE2-Lycée La Folie Saint James Année 2014-2015

Proposition7.Tout sous-espace vectoriel d"un espace vectoriel surRest lui-même un espace vectoriel

surR.Méthode 2 : Une manière de montrer qu"un ensemble est un espace vectoriel Pour montrer qu"un ensemble est un espace vectoriel, on pourra montrer que c"est un sous-espace

vectoriel d"un des espaces vectoriels de référence.Proposition 8.Pour tout entier n, le triplet(Rn[X],Å,¢)est un espace vectoriel surRavec

1.Rn

[X]AE©P2R[X] : deg(P)6nª, l"ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou

égal à n;

2.[PÅQ](X)AEP(X)ÅQ(X), siP(X)etQ(X)sont des éléments deRn[X];

3.[¸¢P](X)AE¸£P(X), siP(X)est un élément deRn[X]et¸un nombre réel.

Le vecteur nul est dans ce cas le polynôme nul, le polynôme dont tous les coefficients sont nuls.IV) Familles de vecteurs

1) Espace engendré par une famille de vecteursDéfinition 4.

SoientEunR-espace vectoriel,nun entier naturel non nul etFAE(u1,...,un) une famille denvecteurs deE. On définit l"ensembleVect(F) comme l"ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs deF, c"est à dire

Vect(F)AEVect(u1,...,un)AEn

nX kAE1¸ kuk: (¸1,...,¸n)2Rno

Autrement dit, le vecteuruappartient àVect(F) si et seulement siuest une combinaison linéaire des

vecteurs deF, c"est à dire qu"il existennombres réels¸1, ...,¸ntels queuAEPn

kAE1¸kuk.Remarque 2.Par convention, on définit Vect(;)AE{0}.Exemple 5.Montrer que FAE{(x,y)2R2:yAE2x} s"écrit FAEVect(u) avecuAE(1,2).Exemple 6.

Montrer queFAE{(x,y,z)2R3:xÅyAE2z}s"écritFAEVect(u,v) avecuAE(1,0,1) et vAE(0,1,2).Proposition 9. SoientEunR-espace vectoriel,nun entier naturel non nul etFAE(u1,...,un)une famille de n vecteurs deE. Alors i) L "ensembleVect(F)est un sous-espace vectoriel deEqui contientF. ii) S iFest un sous-espace vectoriel qui contientF, alors il contientVect(F). iii) S iFetGsont deux familles de vecteurs telles queF½G, alorsVect(F)½Vect(G). L"ensembleVect(F)est donc le sous-espace vectorielengendréparFet c"est le plus petit sous-espace vectoriel qui contientF.Page 5/12 ECE2-Lycée La Folie Saint James Année 2014-2015 Théorème 1(Opérations sur les vecteurs).SoientEunR-espace vectoriel,nun entier naturel non nul etFAE(u1,...,un)une famille denvecteurs deE. Le sous-espace vectorielVect(F)n"est pas modifié l orsquel"on per muteles v ecteursde F; l orsquel"on r etiret ousl esv ecteursn ulsde F; lorsqu"àkfixé, on remplaceukpar une combinaison linéaire des vecteurs deF, à condition toutefois d"affecter à ukun coefficient non nul.2) Familles génératrices

Définition 5.

SoientEunR-espace vectoriel,nun entier naturel non nul etFAE(u1,...,un) une

famille de vecteurs deE. On dit que la familleFestgénératricedeElorsqueEAEVect(F), c"est à dire

que tout vecteur de E s"écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs deF.Méthode 3 : Montrer qu"une familleFest génératrice d"une espace vectoriel E

Par définition, il faut montrer que tout vecteurudeEs"écrit comme une combinaison linéaire des

vecteurs deF. Concrètement, siFAE(u1,...,un), on se donne un vecteur quelconqueudeEet

il faut trouver (généralement de manière constructive) unn-uplet de scalaires (¸1,...,¸n) tels que

uAE¸1u1Å¢¢¢Å¸nun.

Ceci aboutit en général à la résolution d"un système linéaire.Exemple 7.Montrer que la familleFAE(u1,u2,u3) avec

u

1AE(1,0,0),u2AE(1,1,0) etu3AE(1,1,1)

est génératrice deR3.Théorème 2.Toute sur-famille d"une famille génératrice est encore génératrice.

Théorème 3.

Si on ôte d"une famille génératrice un vecteur qui est une combinaison linéaire des

autres vecteurs de cette famille, alors la famille obtenue est toujours génératrice.3) Familles libres, familles liées

Définition 6.

SoientEunR-espace vectoriel,nun entier naturel non nul etFAE(u1,...,un) une famille de vecteurs deE. On dit que la familleFestlibreou que les vecteurs deFsontlinéairement indépendantssi pour toutn-uplet (¸1,...,¸n) deRn Dans le cas contraire, on dit que la familleFestliéeou que les vecteurs deFsontlinéairement dépendants.Page 6/12 ECE2-Lycée La Folie Saint James Année 2014-2015

Méthode 4 : Montrer qu"une familleFest libreIl suffit de se laisser guider par la définition. On se donne unn-uplet (¸1,...,¸n) deRntel que¸1u1Å

¢¢¢Å¸nunAE0 et on étudie les implications d"une telle égalité sur les coefficients¸1, ...,¸n.

Là encore, ceci aboutit en général à la résolution d"un système linéaire.Exemple 8.Montrer que la familleFAE(u1,u2,u3) avec

u

1AE(1,0,0),u2AE(1,1,0) etu3AE(1,1,1)

est libre.Exemple 9. On se place dans l"ensembleR[X] des polynômes à coefficients réels. Montrer que la

familleFAE(1,X¡1,X2¡2X) est libre.Proposition 10.Soient u et v deux vecteurs d"unR-espace vectoriel.

1. L afamil le(u)est libre si et seulement si u est non nul. 2.

La famille(u,v)est libre si et seulement siuetvne sont pas colinéaires, c"est à dire qu"il n"existe

pas de réel k tel que uAEkv ou vAEku.uv uetvne sont pas colinéairesuv uetvsont colinéairesProposition 11. Toute famille de vecteurs d"un espace vectorielEest liée si, et seulement si, l"un des

vecteurs de cette famille est combinaison linéaire des autres (par exemple, toute famille contenant deux

fois le même vecteur est liée).Théorème 4. Toute sous-famille d"une famille libre est encore libre. Toute sur-famille d"une famille liée est encore liée.Proposition 12.Toute famille contenant le vecteur nul est liée.

4) Bases

Définition 7.

SoientEunR-espace vectoriel,nun entier naturel non nul etBAE(u1,...,un) une

famille de vecteurs deE. On dit que la familleBest unebasesi elle est à la fois libre et génératrice deE.Page 7/12

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Exemple 10.La familleFAE(u1,u2,u3) avec

u

1AE(1,0,0),u2AE(1,1,0) etu3AE(1,1,1)

est une base deR3puisqu"elle est libre (exemple8 ) et génératrice de E (exemple7 ).Théorème 5.SoientEunR-espace vectoriel,nun entier naturel non nul etFAE(u1,...,un)une

famille denvecteurs deE. La familleFest une base deEsi et seulement si pour tout vecteurudeE, il existe ununiquen-uplet(¸1,...,¸n)deRntel que uAE¸1u1Å¢¢¢Å¸nun.

Dans ce cas, le n-uplet(¸1,...,¸n)deRnsont lescoordonnéesde u dans la base(u1,...,un).Exemple11.

avec u

1AE(1,0,0),u2AE(1,1,0) etu3AE(1,1,1).V) Dimension finie

Définition 8.

Un espace vectoriel surRest dit dedimension finiesi il possède une famille généra- trice constitué d"un nombre fini de vecteurs.Remarque 3. Quand unR-espace vectorielEest réduit au vecteur nul, c"est à direEAE{0}, on dit

que dim(E)AE0.Théorème 6.SoitE6AE{0}unR-espace vectoriel de dimension finie. AlorsEpossède une base.Théorème 7.

SoitE6AE{0}unR-espace vectoriel de dimension finie. Alors toutes les bases deE

possèdent le même nombre d"éléments. Ce nombre est appelédimensiondeE.Théorème 8.SoitE6AE{0}unR-espace vectoriel de dimension finie n>1. Alors

t outesfamil lelibredeEpossèdeau plusn vecteurs; t outefamil lelibredeEcomposé de n vecteurs est une base; t outefamil legénératricedeEpossèdeau moinsn vecteurs. t outefamil legénératricedeEcomposé de n vecteurs est une base.Théorème 9. Soitnun entier non nul. Définissons pour tout entierkdans{1,...,n}le vecteurekde Rnconstitué de0à toutes les positions sauf à la k-ième qui comporte un1: e

1AE(1,0,...,0),

e

2AE(0,1,...,0),

e nAE(0,0,...,1).

Alors la famille(e1,...,en)est une base deRn, appeléebase canoniquedeRn. En particulier, nous avonsPage 8/12

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dim(Rn)AEn.Théorème 10.Soit n un entier. Alors la famille(1,X,...,Xn)est la base canonique deRn[X].

En particulier, nous avonsdim¡Rn[X]¢AEnÅ1.Théorème 11.Soitnetpdeux entiers non nuls. Définissons pour tout entierkdans{1,...,n}et tout

entier`dans{1,...,p}la matriceEk,`deRndont tous les coefficients valent0sauf le coefficient situé à la

k-ligne et`-ième colonne qui vaut1: E k,`AE0 B BBBBBBBBBBB@1 2¢¢¢`¡1` `Å1¢¢¢p

1 0 0¢¢¢0 0 0¢¢¢0

2 0 0¢¢¢0 0 0¢¢¢0.....................

k¡1 0 0¢¢¢0 0 0¢¢¢0 k0 0¢¢¢0 1 0¢¢¢0 kÅ1 0 0¢¢¢0 0 0¢¢¢0..................... n0 0¢¢¢0 0 0¢¢¢01 C

CCCCCCCCCCCA

Alors la famille

¡Ek,`¢

16k6n,16`6pest la base canonique deMn,p(R).

En particulier, nous avonsdim¡(Mn,p(R)¢AEn£p.Remarque 4.Formellement, nous avons

Ek,`¢

i,jAE±k,i£±`,j, avec±a,bAE½0 sia6AEb,

1 siaAEb.Méthode 5 : Montrer qu"une familleFest une base dans un espace vectorielEde dimension finie

Nous pouvons soit

mont rerqu ela fa milleest libr eet que s oncar dinalest égal à la dimension d eE ;

mont rerqu ela fa milleest g énératriceet qu eson c ardinale stéga là la dimen sionde E .Exemple 12.Montrer que la familleFAE(1,XÅ1,X2¡1) est une base deR2[X].Proposition 13.

SoientEunR-espace vectoriel de dimension finie etFun sous-espace vectoriel deE.

AlorsFest de dimension finie etdim(F)6dim(E). Par ailleurs, sidim(F)AEdim(E), alorsFAEE.Méthode 6 : Déterminer la dimension d"un sous-espace vectoriel

On pourra déterminer une base et la dénombrer, ce qui nous donnera la dimension.Page 9/12 ECE2-Lycée La Folie Saint James Année 2014-2015

Exemple 13.On noteS2(R) l"ensemble des matrices symétriques réelles à 2 lignes et 2 colonnes :

S

2(R)AE©A2M2(R) :tAAEAª.

1. M ontrerqu eS2(R) est un sous-espace vectoriel deM2(R). 2.

S oitA AEµa c

avec (a,b,c,d) dansR4. (a)

E xprimer

tA en fonction de (a,b,c,d).

(b)En déduire une condition nécessaire et suffisante sur (a,b,c,d) pour queAsoit symétrique.

3.

S oientA 1AEµ1 0

, A

2AEµ0 0

et A

3AEµ0 1

(a)

M ontrerq uel afamill e( A

1,A2,A3) est libre.

(b)

M ontrerq uel afam ille( A

1,A2,A3) est génératrice deS2(R).

(c) E ndéduir ela dimension d eS2(R).Définition 9. SoientEunR-espace vectoriel,nun entier non nul etFAE(u1,...,un) une famille de

nvecteurs de E. On appellerangde la familleF, noté rg(F), la dimension de Vect(F).Exemple 14.Soientu1AE(1,0,¡1),u2AE(¡1,2,1) etu3AE(3,¡4,¡3) trois vecteurs de l"espace vecto-

rielR3. Déterminer le rang de la famille (u1,u2,u3).Page 10/12 ECE2-Lycée La Folie Saint James Année 2014-2015

VI) Exercices

Exercice 1.Représenter les ensembles suivants et déterminer si ce sont des sous-espaces vectoriels

deR2. a)Z£Z; b) { (x,y) :yAE¡x}; c)

{( x,y)2R2:y>jxj};Exercice 2.Déterminer si les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels deR[X].

1. {P 2R[X] : P(1)AE0}; 2. {P 2R[X] : P(1)AE1}; 3.quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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