[PDF] Injection surjection bijection - Exo7 - Exercices de mathématiques
(seul l'espace d'arrivée change par rapport à k) alors cette fonction k est injective et surjective donc bijective (en fait sa bijection réciproque est elle
[PDF] MÉTHODES ET EXERCICES - Dunod
Corrigés des exercices Injectivité surjectivité ou bijectivité d'une application Théorème de la bijection pour les fonctions numériques
[PDF] Injection surjection bijection
Exercice 2 Soit f : R ? R définie par f(x)=2x/(1 + x2) 1 f est-elle injective ? surjective ? 2 Montrer que f(R)=[?11]
[PDF] Corrigé du TD no 6
(e) Grâce à l'analyse réelle (théorème de la bijection) on voit que f ? g : R ? R est bijective en particulier elle est injective et surjective
[PDF] Bijections et fonctions réciproques usuelles - ptsi-deodat
Donner un exemple où g ? f est bijective mais f n'est pas surjective et g n'est pas injective Exercice 2 : [corrigé] Étudier l'injectivité la surjectivité
[PDF] Pascal Lainé Ensembles-Applications Exercice 1 : Soit
Les fonctions sont-elles injectives surjective ? (i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni
[PDF] Exercices du chapitre 2 avec corrigé succinct - UTC - Moodle
Exercice II 1 Ch2-Exercice1 Soit la fonction f : R ? R f : x ? x Cette application est-elle injective? surjective? bijective? Que
[PDF] Leçon 01- Correction des exercices
f n'étant ni injective ni surjective f n'est pas bijective c) Pour que la fonction soit bijective il faut que l'équation f(x) = y ait une et une seule
[PDF] Applications injectives surjectives et bijectives
Une application (ou une fonction) est la donnée de trois objets : Exercice 1 x ?? ? x2 n'est pas injective mais elle est surjective Exemple 14
[PDF] GÉNÉRALITÉS Injectivité surjectivité bijectivité des applications
Exercice 1 : Soit f : R ? R la fonction définie pour tout nombre réel x par : L'application f est-elle injective surjective bijective ?
[PDF] Injection surjection bijection - Exo7 - Exercices de mathématiques
Soit f : [1+?[? [0+?[ telle que f(x) = x2 ?1 f est-elle bijective ? L'application exp : C ? Cz ?? ez est-elle injective ? surjective ?
[PDF] Pascal Lainé Ensembles-Applications Exercice 1 : Soit
Les fonctions sont-elles injectives surjective ? (i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni
[PDF] Injection surjection bijection
Exercice 2 Soit f : R ? R définie par f(x)=2x/(1 + x2) 1 f est-elle injective ? surjective ? 2 Montrer que f(R)=[?11] 3 Montrer que la restriction g
[PDF] MÉTHODES ET EXERCICES - Dunod
Corrigés des exercices Injectivité surjectivité ou bijectivité d'une application Théorème de la bijection pour les fonctions numériques
[PDF] Applications injectives surjectives et bijectives
Exercice 1 13 4 Applications injectives surjectives bijectives ? 9 Toute fonction strictement monotone sur un intervalle de R est injective
[PDF] td2s1corrigpdf
1 f ainsi définie est-elle injective? surjective ?bijective? Exercice 2: Soit l'application f définie comme suit: f: RR Année 2012-2013 1ere Année
[PDF] Corrigé du TD no 6
Comme f n'est pas surjective elle n'est pas bijective (b) L'application g n'est pas injective En effet g(0) = g(1) = 0
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Exercice II 3 Ch2-Exercice3 Soit f : R+ ? R définie par f (x) = x Cette application est-elle injective? surjective? bijective? Que
[PDF] Mathématiques 1 Série de TD 03! Les applications 1Dre Année
Exercice 01: Soient f et g deux applications définies de R dans R telles que: (a) Cette application est$elle injective? surjective? bijective?
Comment montrer qu'une fonction est injective surjective et bijective ?
Une fonction f:E?F f : E ? F est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective, ou encore si pour tout y?F y ? F , l'équation y=f(x) y = f ( x ) poss? une unique solution. Si E et F sont des ensembles finis, E et F doivent alors avoir le même nombre d'éléments.Comment montrer que g est bijective ?
si y = 0 et h(0) = 0. Donc g est une bijection. avec f(?1) = ?1 et f(1) = 1. Donc la restriction de f, appelée g : [?1,1] ?? [?1,1], est une bijection.Comment montrer qu'une fonction est bijective PDF ?
1. L'application f est bijective si et seulement si il existe une application g : F ? E telle que f ? g = idF et g ? f = idE. 2. Si f est bijective alors l'application g est unique et elle aussi est bijective.- Pour montrer que f n'est pas injective, il suffit de trouver deux éléments distincts x et x de E tels que f(x) = f(x ). Pour montrer que f n'est pas surjective, il suffit de trouver un élément y de F qui n'a aucun antécédent. Soit u : R ?? R+ l'application telle que u(x)=0si x < ?1 et u(x) = x + 1 si x ? ?1.
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Pascal Lainé
1Ensembles-Applications
Exercice 1 :
Soit ݂ǣܫ՜ܬ
1. Donner des ensembles ܫ et ܬ
2. Donner des ensembles ܫ et ܬ
3. Donner des ensembles ܫ et ܬ
4. Donner des ensembles ܫ et ܬ
Allez à : Correction exercice 1 :
Exercice 2 :
Dire (en justifiant) pour chacune des applications suivantes si elles sont injectives, surjectives, bijectives :Allez à : Correction exercice 2 :
Exercice 3 :
Soit ؿܫԹ et ؿܬԹ, deux intervalles de Թ. Soit ݂ǣܫ՜ܬ1. Montrer que ݂ est injective.
2. ܭ tel que ݂ǣܫ՜ܭ
Allez à : Correction exercice 3 :
Exercice 4 :
1. ݂ est-elle injective ?
2. ݂ est-elle surjective ?
3. ݃ est-elle injective ?
4. ݃ est-elle surjective ?
Allez à : Correction exercice 4 :
Exercice 5 :
Soient
Où ܧ
Les fonctions sont-elles injectives, surjective ? Comparer ݂ל݃ et ݃לAllez à : Correction exercice 5 :
Exercice 6 :
Soit ݂ une application de ܧ vers ܧ
Montrer que ݂ est surjective.
Pascal Lainé
2Allez à : Correction exercice 6 :
Exercice 7 :
݂ǣԳ՜Գ définie pour tout ݊א1. Existe-t-il ݃ǣԳ՜Գ telle que :݂ל݃ൌܫ
2. Existe-t-il ݄ǣԳ՜Գ telle que :݄ל݂ൌܫ
Allez à : Correction exercice 7 :
Exercice 8 :
1. Existe-t-il une fonction ݃ǣԺ՜Ժ telle que ݂ל݃ൌܫ
2. Existe-t-il une fonction ݄ǣԺ՜Ժ telle que ݄ל݂ൌܫ
Allez à : Correction exercice 8 :
Exercice 9 :
Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes (i) ݂ est injective (ii) ݂ est surjective (iii) ݂ est bijectiveAllez à : Correction exercice 9 :
Exercice 10 :
Répondre aux questions qui suivent, en justifiant, le cas échéant, votre réponse par un bref argument, un
calcul ou un contre-exemple.1. Si les applications ݑǣԳ՜Ժ et ݒǣԺ՜Գ ݑלݒל
aussi bijective. Vrai ou Faux, justifier.(i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni
injectiveJustifier.
euclidienne de ݈ par ݊ est une application.(i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni
injectiveJustifier.
4. Soient ܽǡܾǡܿǡ݀אԺ tels que ܽ݀െܾܿ
Allez à : Correction exercice 10 :
Exercice 11 :
Montrer que :
Pascal Lainé
3 a. Montrer que ݂ est injective ? b. ݂ est-elle surjective ?Allez à : Correction exercice 11 :
Exercice 12 :
Pour un entier ݊אԳ on désigne par ܫ2. A quelle condition portant sur les entiers ݉ et ݊ peut-on définir une application ݂ǣܫ՜ܫ
injective, surjective, bijective ?Allez à : Correction exercice 12 :
Exercice 13 :
Soient ܨ, ܧ et ܩ trois ensemble et soient ݂ǣܧ՜ܨ et ݃ǣܨ՜ܩ1. Montrer que si ݂ et ݃ sont injectives alors ݃ל
2. Montrer que si ݂ et ݃ sont surjectives alors ݃ל
3. Que peut-on conclure sur ݃ל
4. Montrer que si ݃ל
5. Montrer que si ݃ל
6. Si à présent ݂ǣܧ՜ܨ et ݃ǣܨ՜ܧ
suivants : a. ݃ל݂ൌܫ b. ݂ל݃ൌܫ c. ݂ל݂ൌܫAllez à : Correction exercice 13 :
Exercice 14 :
1. Montrer que si ݂ admet au moins une section alors ݂ est surjective.
2. Montrer que toute section de ݂ est injective.
Une application ݎ, de ܻ dans ܺ, telle que ݎל݂ൌܫ3. Montrer que si ݂ possède une rétraction alors ݂ est injective.
4. Montrer que si ݂ est injective alors ݂ possède une rétraction.
5. Montrer que toute rétraction de ݂ est surjective.
Allez à : Correction exercice 14 :
Exercice 15 :
Allez à : Correction exercice 15 :
Exercice 16 :
Pascal Lainé
4Allez à : Correction exercice 16 :
Exercice 17 :
Soit ݂ǣܦ
1. Représenter ܦ
b. Montrer que ݂ est injective, on pourra se ramener au système du 2.a..3. Est-ce que ݂ est surjective ?
Allez à : Correction exercice 17 :
CORRECTIONS
Correction exercice 1 :
Allez à : Exercice 1 :
Correction exercice 2 :
Une fonction est bijective si et
bijective.݂ est bijective.
Pascal Lainé
5 ݃ est une bijection strictement croissante de Թ sur Թ, par conséquent pour tout ݕא unique ݔא On va étudier (sommairement) cette fonction et dresser son tableau de variation. Les seules bijections de ؿܧԹ sur ؿܨԹ ܧ est ܨPour tout ݕאԹ il existe ݔא
Pour tout ݕא
autres ݕLe " ݔସ ݔ ».
Pour tout ݕെଷ
య, ݕ admet deux antécédents, ݇ est ni surjective ni injective.Pascal Lainé
6Allez à : Exercice 2 :
Correction exercice 3 :
1.Donc ݂ est injective.
Allez à : Exercice 3 :
Correction exercice 4 :
1.Donc ݂
Donc pour tout א
݂ est surjective.
3.Donc ݃ est injective.
AlorsCe qui équivaut à
Allez à : Exercice 4 :
Correction exercice 5 :
݂ est injective.
ͳ ݊ tel que ͳൌ-݊, ݂
injective. Pour tout ݕൌ݊אԳ ݔൌ-݊א que :݃ est surjective.
Si ݊ est pair, il existe א
Si ݊ est impaire, il existe א
Pascal Lainé
7Que ݊ soit paire ou impaire
Remarque :
Comme on le voit sur cet exemple, il ne suffit pas que ݃ל de ݂݂ଵǣܧ՜ܧAllez à : Exercice 5 :
Correction exercice 6 :
Allez à : Exercice 6 :
Correction exercice 7 :
݃ǣԳ՜Գ telle que :݂ל݃ൌܫAllez à : Exercice 7 :
Correction exercice 8 :
݃ǣԺ՜Ժ telle que ݂ל݃ൌܫ Soit ݄ la fonction définie, pour tout אAllez à : Exercice 8 :
Correction exercice 9 :
On suppose que ݂ est injective, on va montrer que ݂ est surjective. pas injective.Soit ݂ܨא ݁ܧא
݁భ്݁మ donc ݂
Pascal Lainé
8 On suppose que ݂ est surjective et on va montrer que ݂ est injective. -à-݂ ors ݂ pas surjective. ݊െͳ éléments et le second ݊ donc il existe un ݂ montre que ݂ surjective. montrer les trois équivalences.Allez à : Exercice 9 :
Correction exercice 10 :
Cela montre que ݑלݒל
Car ݑ est injective
Car ݒ est injective
Car ݑ est injective
Finalement ݑלݒל
2. ݂
oduit de facteur premier entraine que ܽൌܽᇱ, ܾܾᇱ et ܿൌܿ
Donc ݂ est injective et pas surjective.
Donc ߮
Donc ߮
Premier cas ܽ
Pascal Lainé
9 Si ܽൌ-, alors ܾܿൌെͳ, en particulier ܾ Ce sont les mêmes formules que dans le cas où ܽAllez à : Exercice 10 :
Correction exercice 11 :
1. 2.Pascal Lainé
10Cela montre que ଵ
Finalement
Ce qui montre que ݂ est injective.
b. Regardons si ͳאCe qui équivaut à
Mais ଵ
Allez à : Exercice 11 :
Correction exercice 12 :
1. Première méthode : raisonnons par récurrence
applications injectives de plus. applications injectives de plus.Deuxième méthode :
2. ݂ǣܫ՜ܫ
tous distincts par conséquent ݉݊.Remarque :
Supposons que ݂ est surjective.
plusieurs images), par conséquent ݊݉.Pascal Lainé
11Pour que ݂ soit bijective il faut (et il suffit) que ݂ soit injective et sujective, par conséquent il
faut que ݉݊ et que ݊݉, autrement dit il faut que ݉ൌ݊.Remarque :
Allez à : Exercice 12 :
Correction exercice 13 :
Car ݃ est injective
Car ݂ est injective.
Donc ݃ל
2. Première méthode :
Pour tout ݖܩא il existe ݕܨא
Comme pour tout ݕܨא il existe ݔܧא surjective.Remarque :
(b) Si on commence par écrire " pour tout ݕܨא il existe ݔܧאDeuxième méthode :
que ݃ל3. Si ݃ et ݂ sont bijectives alors elles sont injectives et ݃ל
alors elles sont surjectives et ݃ל݂ est surjective, on en déduit que ݃לCar ݃ל
5. Première méthode :
Pour tout ݖܩא, il existe ݔܧא tel que ݖൌ݃לDeuxième méthode :
Ce qui montre que ݃ est surjective.
6. a. ݃ל݂ൌܫPascal Lainé
12Remarque :
b. ݂ל݃ൌܫ c. ݂ל݂ൌܫ Par conséquent ݂ est bijective et ݂ିଵൌ݂.Allez à : Exercice 13 :
Correction exercice 14 :
݂ est injective.
4. Pour tout ݔܺא
de ܺ valeur dans ܺ tous la même valeur).Pour tout ݔܺא
ݎ est bien une rétraction de ݂.
Remarque :
5. Pour tout ݔܺא
Cela montre que ݎ est surjective.
Remarque :
Les rôles habituels de ݔ et ݕ
6.Si ݂ admet une section alors ݂
Si ݂ admet une rétraction alors ݂
Par conséquent ݂ est bijective, on note ݂ିଵǣܻ՜ܺComme ܫ݀ൌݎל
Comme ܫ݀ൌ݂ל
Allez à : Exercice 14 :
Correction exercice 15 :
2.Pascal Lainé
13Allez à : Exercice 15 :
Correction exercice 16 :
Donc 2.Allez à : Exercice 16 :
Correction exercice 17 :
deux demi-plan, ܦ 2. a. b. comme ݔെݕ- sur ܦPascal Lainé
14 comme ݔݕ- sur ܦAllez à : Exercice 17 :
quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] fonction non injective
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