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Biblioth`eque d"exercices´Enonc´es

L1Feuille n◦3Injection, surjection, bijectionExercice 1Soientf:R→Retg:R→Rtelles quef(x) = 3x+ 1 etg(x) =x2-1. A-t-on

f◦g=g◦f? Exercice 2Soitf:R→Rd´efinie parf(x) = 2x/(1 +x2).

1.fest-elle injective? surjective?

2. Montrer quef(R) = [-1,1].

3. Montrer que la restrictiong: [-1,1]→[-1,1]g(x) =f(x) est une bijection.

4. Retrouver ce r´esultat en ´etudiant les variations def.

Exercice 3On consid`ere quatre ensemblesA,B,CetDet des applicationsf:A→B, g:B→C,h:C→D. Montrer que : g◦finjective?finjective, g◦fsurjective?gsurjective.

Montrer que :

?g◦feth◦gsont bijectives???f,gethsont bijectives?. Exercice 4Soitf:R→Ct?→eit. Montrer quefest une bijection sur des ensembles `a pr´eciser. Exercice 5Soitf: [1,+∞[→[0,+∞[ telle quef(x) =x2-1.fest-elle bijective? 1

Biblioth`eque d"exercicesIndications

L1Feuille n◦3Injection, surjection, bijectionIndication 1Prouver que l"´egalit´e est fausse.

Indication 21.fn"est ni injective, ni surjective.

2. Poury?R, r´esoudre l"´equationf(x) =y.

3. On pourra exhiber l"inverse.

Indication 3Pour la premi`ere assertion le d´ebut du raisonnement est : "supposons queg◦f est injective, soita,a??Atel quef(a) =f(a?)",... `a vous de travailler, cela se termine par "...donca=a?, doncfest injective." Indication 4Montrer que la restriction def: [0,2π[-→U,t?→eitest une bijection. IciU

est le cercle unit´e deC, c"est-`a-dire l"ensemble des nombres complexes de module ´egale `a 1.

Indication 5Montrer quefest injective et surjective. 1

Biblioth`eque d"exercicesCorrections

L1Feuille n◦3Injection, surjection, bijectionCorrection 1Sif◦g=g◦falors ?x?Rf◦g(x) =g◦f(x). Nous allons montrer que c"est faux, en exhibant un contre-exemple. Prenonsx= 0. Alors

f◦g(0) =f(-1) =-2, etg◦f(0) =g(1) = 0 doncf◦g(0)?=g◦f(0). Ainsif◦g?=g◦f

Correction 21.fn"est pas injective carf(2) =45=f(12).fn"est pas surjective cary= 2 n"a pas d"ant´ec´edent : en effet l"´equationf(x) = 2 devient 2x= 2(1+x2) soitx2-x+1 = 0 qui n"a pas de solutions r´eelles.

2.f(x) =yest ´equivalent `a l"´equationyx2-2x+y= 0. Cette ´equation a des solutionsx

si et seulement si Δ = 4-4y2?0 donc il y a des solutions si et seulement siy?[-1,1]. Nous venons de montrer quef(R) est exactement [-1,1].

3. Soity?[-1,1] alors les solutionsxpossibles de l"´equationg(x) =ysontx=1-⎷1-y2y

oux=1+⎷1-y2y. La seule solutionx?[-1,1] estx=1-⎷1-y2yen effetx=1-⎷1-y2y= y1+⎷1-y2?[-1,1]. Donc pourg: [-1,1]-→[-1,1] nous avons trouv´e un inverseh: [-1,1]-→[-1,1] d´efini parh(y) =1-⎷1-y2y. Doncgest une bijection.

4.f?(x) =2-2x21+x2, doncf?est strictement positive sur ]-1,1[ doncfest strictement croissante

sur [-1,1] avecf(-1) =-1 etf(1) = 1. Donc la restriction def,g: [-1,1]-→[-1,1], est une bijection. Correction 31. Supposonsg◦finjective, et montrons quefest injective : soita, a??A avecf(a) =f(a?) doncg◦f(a) =g◦f(a?) org◦fest injective donca=a?. Conclusion on a montr´e : ?a,a??A f(a) =f(a?)?a=a? c"est la d´efinition definjective.

2. Supposonsg◦fsurjective, et montrons quegest surjective : soitc?Ccommeg◦f

est surjective il existea?Atel queg◦f(a) =c; posonsb=f(a), alorsg(b) =c, ce raisonnement est valide quelque soitc?Cdoncgest surjective.

3. Un sens est simple (?) sifetgsont bijectives alorsg◦fl"est ´egalement. De mˆeme avec

h◦g. Pour l"implication directe (?) : sig◦fest bijective alors en particulier elle est surjective et donc d"apr`es le deuxi`eme pointgest surjective. Sih◦gest bijective, elle est en particulier injective, doncgest injective (c"est le 1.). Par cons´equentgest `a la fois injective et surjective donc bijective. Pour finirf=g-1◦(g◦f) est bijective comme compos´ee d"applications bijectives, de mˆeme pourh. 1 Correction 4Montrons que la restriction def,φ: [0,2π[-→U,t?→eitest bijective. O`uU est le cercle unit´e deCdonn´e par l"´equation (|z|= 1).

•φest surjective car tout nombre complexe deUs"´ecrit sous la forme polaireeiθ, et l"on peut

choisirθ?[0,2π[. •φest injective :

φ(t) =φ(t?)?eit=eit?

?t=t?+ 2kπaveck?Z ?t=t?cart,t??[0,2π[ et donck= 0. En conclusionφest injective et surjective donc bijective.

Correction 5•fest injective :

f(x) =f(y)?x2-1 =y2-1 ?x=±yo`ux,y?[1,+∞[ doncx,ysont de mˆeme signe ?x=y.

•fest surjective : soity?[0,+∞[. Nous cherchons un ´el´ementx?[1,+∞[ tel quey=f(x) =

x

2-1 . Le r´eelx=⎷y+ 1 convient!

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