Nombres complexes. Équations du 2ième degré à coefficients réels
2a ). L'équation P(z)=0 admet deux solutions complexes conjuguées : z1= ?b?i ??. 2a et z2= ?b+i??. 2a.
Correction : 65 p. 132 Correction : 68 p. 132
D'après le théorème des valeurs intermédiaires on conclut que l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution ? comprise entre 1 et 2. Correction : 68 p.
1 Léquation et son équation homogène
Commençons par remarquer que l'équation (Eh) admet au moins une solution Nous allons maintenant montrer que ces deux fonctions engendrent un ...
DM 7 correction Exercice 1 : ( ) ( ) ( ) 1°) Montrer que cette équation
1°) Montrer que cette équation admet une racine réelle. existe une unique solution réelle ... L'équation du second degré a alors deux solutions :.
comment utiliser le TVI ou ses corollaires
Le corollaire (ou extensions) du TVI s'utilise dans le cas ou on demande de montrer qu'une équation du type f(x)=k admet une unique solution.
Corrigé du TD no 11
Montrer que l'équation x5 = x2 + 2 a au moins une solution sur ]0 2[. particulier
Nombres complexes. Équations du 2ième degré à coefficients réels
Exercice. 1. Résoudre dans C: z2. ?16 z+89=0. 2. Montrer que l'équation : z3. ?(16?i)z2. +(89?16 i)z+89 i=0 admet une solution imaginaire pur que l'on.
Théorème de la bijection : exemples de rédaction
Montrer qu'il existe un unique ? ? tel que . . . » « Montrer que l'équation f(x) = ... admet une unique solution dans . . . ».
Séance de soutien PCSI2 numéro 4 : Résolution des EDL1 et EDL2
2) x ?? ?1 exp(rx) + ?2xexp(rx) si l'équation n'a qu'une solution double r. 3) x ?? ?1 cos(?x) exp(?x) + ?2 sin(?x) exp(?x) si K = R et l'équation admet.
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2
L'équation ( ) = 0 possède deux solutions (éventuellement égales) correspondante ne possède qu'un seul point d'intersection avec l'axe des abscisses.
[PDF] SECOND DEGRE (Partie 2) - maths et tiques
Définition : Une équation du second degré est une équation de la forme ax2 + bx + c = 0 où a b et c sont des réels avec a ? 0 Une solution de cette
Comment savoir si une équation admet deux solutions ?
Comment montrer qu'une équation admet une solution réelle ? Pour que E soit réel il faut que ce "quelque chose de réel") soit nul !
[PDF] ( ) ( ) ( ) 1°) Montrer que cette équation admet une racine réelle 2
DM 7 correction Exercice 1 : ( ) ( ) ( ) 1°) Montrer que cette équation admet une racine réelle 2°) Résoudre cette équation Correction 1°) On pose
Théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue
Soit ƒ une fonction continue sur un intervalle I Soient a et b deux points de I et k Démontrer que l'équation cos x = x admet une solution unique dans
[PDF] Equation f(x) = x
À l'aide des résultats de la partie A démontrer l'existence d'un réel ? solution de l'équation f (x) = x 2 On suppose que cette équation admet des solutions
Equation 2nd degré et discriminant polynôme 2nd degré
Si ? = 0 alors l' équation admet une solution double x = ?b/2a Si ? >0 alors l' équation admet deux solutions distinctes x' et x' telles que:
[PDF] 1 Léquation et son équation homogène
Commençons par remarquer que l'équation (Eh) admet au moins une solution On procède en deux temps : on commence par montrer que l'existence de
Comment savoir si une l'équation admet deux solutions ?
Si ? = 0 alors l' équation admet une solution double x = ?b/2a. Si ? >0 alors l' équation admet deux solutions distinctes x' et x' telles que: x' =( ?b + ?? ) / 2a et x'' =(Comment montrer qu'une équation admet des solutions ?
En utilisant le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (c'est-à-dire le théorème appliqué au cas des fonctions strictement monotones), on peut montrer qu'une équation admet une unique solution sur un intervalle.Comment montrer qu'une équation n'admet pas de solution ?
On change de variable en posant y = -x, donc avec x négatif, y est positif. L'équation se réécrit, avec y, en . Manifestement, cette équation n'a absolument aucune solution, puisque à gauche du signe égal on a une expression toujours supérieure ou égale à 1.- donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe AU MOINS un réel alpha de ]a;b[ tel que f(alpha)=0. donc f définit une bijection de [a;b] sur f([a;b]). Par conséquent il existe UN UNIQUE réel alpha de ]a;b[ tq f(alpha)=0.
Tatiana Labopin-Richard
19 novembre 2014
Pour résoudre une équation différentielle linéaire, il faut :1) Reconnaître le type d"équation et élaborer un plan d"étude.
2) Se lancer dans les calculs.
1 Définir un plan d"étude
Nous allons étudier deux types d"équations différentielles lors de cette séance.Les EDL1 qui sont de la forme :
y ?(x) +a(x)y(x) =δ(x) avecaetδdes fonctions continues sur un intervalleIdeR. Et les EDL2 qui sont de la forme : ay ??(x) +by?(x) +cy(x) =δ(x) avec(a,b,c)?K(qui sera iciRouC) etδune fonction continue surIintervalle deR. La méthode pour résoudre ce type d"équation sera toujours la même.Méthode :
1) Résolution de l"équation homogène.
2) Recherche d"une solution particulière.
3) Expression de la solution générale par somme de 1) et de 2).
Détaillons un peu ces étapes.
12 Résolution de l"équation homogène
2.1 Ordre 1
Dans le cadre des EDL1, l"ensemble des solutions de l"équation homogène est SH={x?→λexp(-A(x)),λ?K}
oùAest une primitive de la fonction continuea.Remarques :
1) On verra plus tard que cet ensemble a une structure très particulière. Il
s"agit en effet d"un espace vectoriel.2) La difficulté est donc ici de trouver une primitive dea.
Exemple - Exercice 1 :Déterminer la solution générale de l"équation y ?+2x1 +x2y= 0. Attention :Il faut simplifier au maximum les expressions enlnetexpmais il ne faut pas écrire de bêtises! On rappelle que exp(-ln(x)) =1exp(ln(x))=1x2.2 Ordre 2
Pour trouver l"ensemble des solutions d"une EDL2, il faut résoudre l"équation caractéristiqueC:az2+bz+c= 0.
Les solutions de l"équation homogène sont alors de la forme :1)x?→λ1exp(r1x)+λ2exp(r2x)si l"équation a deux solutions distinctesr1et
r 2.2)x?→λ1exp(rx) +λ2xexp(rx)si l"équation n"a qu"une solution doubler.
3)x?→λ1cos(ωx)exp(ρx) +λ2sin(ωx)exp(ρx)siK=Ret l"équation admet
deux solutions différentes :r=ρ+iωet son conjugué.Exemple-Exercice 2 :Résoudrey??-4y?+ 4y= 0.
Attention :Il ne faut pas se tromper pour le cas 2. Les solutions ne peuvent être de la formex?→λexp(rx)uniquement. On comprendra mieux pourquoi 2 lorsque nous verrons les espaces vectoriels et leur dimension. Mais en attendant, on peut se souvenir que une EDL2 a une solution utilisant toujours 2 paramètres.3 Recherche d"une solution particulière
Il existe plusieurs méthodes classiques pour trouver des solutions particulières.3.1 Solution évidente
Il faut toujours commencer la recherche par les solutions évidentes. On vérifie si une fonction simple (même une constante) n"est pas trivialement solution.3.2 Utiliser la linéarité
Le concept de linéarité signifie que lorsque deux fonctions sont solutions de l"équation alors toute combinaison linéaire de ces fonctions est encore solution.3.2.1 Principe de superposition
Cette propriété est à la base du principe de superposition, qui permet de décou- per une gros problème en plusieurs petits problèmes : si nous considérons l"équation (δ) : (δ1) + (δ2)et que nous connaissonsf1etf2des solutions respectives de(δ1) et(δ2)alors en faisant la sommef1+f2nous construisons une solution de(δ). Exemple - Exercice 3 :Résoudre l"équationy?+y= exp(x) + cos(x).3.2.2 Passage d"une solution complexe à une solution réelle
La linéarité permet aussi de trouver des solutions réelles à partir de solutions complexes. En effet, si nous sommes dans le cadre suivant : •Ordre 1 etaest à valeurs réelles. •Ordre 2 et(a,b,c)?R. Alors sifest solution de l"équation différentielle,Re(f)etIm(f)sont solutions respectivement de l"équation différentielle où l"on remplace le second membre par la partie réelle de celui-ci et par la partie imaginaire. Attention - Exercice 4 :Attention toute fois de bien vérifier le cadre pour ne pas écrire de bétises!1) Trouver une solution particulière de
y ??+y?+y= exp(ix). 3 En déduire des solutions particulières dey??+y?+y= cos(x)ety??+y?+y= sin(x).2) Vérifier queφ:x?→exp(ix)est une solution particulière de
y ??-iy?+y= exp(ix).La fonctionRe(φ)est-elle solution de
y ??-iy?+y= cos(x)?Pourquoi?
3.3 Second membre à forme particulière
3.3.1 Second membre polynÃťmial-exponentielle
On se place dans la cadre suivant : on étudie des EDL1 et EDL2 à coefficients constants, (donc de la formey?(x)+ay(x) =δ(x)pour l"ordre 1). On suppose que le second membre est de la formeQ(x)exp(αx)avecQun polynÃťme non nul de degrénetα?C.Méthode :
On considère les équations caractéristiquesCvalantX+a= 0pour l"ordre 1 etaX2+bX+c= 0en ordre 2.1) Siαn"est pas solution deCalors l"équation différentielle admet une solution
de la formex?→P(x)exp(αx)avecPun polynÃťme du même degré que Q.2) Siαest l"une des deux solutions deCalors une solution particulière est de
la formex?→xP(x)exp(αx)avecPde même degré queQ.3) Siαest l"unique solution deC, une solution particulière estx?→P(x)exp(αx)
oùP?=Qen ordre 1 ouP??=Qen ordre 2. Exemple - Exercice 5 :Trouver une solution particulière dey??-4y?+y= (x2+x)exp(2x) +xexp(x).3.3.2 Second membre encosetsin
Lorsque le second membre est encos(αx)ousin(αx)on peut rechercher une solution particulière enAcos(αx)+Bsin(αx)en trouverAetBpar identification.Exemple-Exercice 6 :Résoudrey?+y= cos(x).
43.4 Méthode de variation de la constante
Seul le cadre EDL1 est au programme pour cette méthode. Méthode :Pour trouver une solution particulière dey?+a(x)y=δ(x), on peut chercher sous la formex?→C(x)h(x)oùhest solution de l"équation homogène. Lorsqu"on a le choix, il est conseillé de préférer les autres méthodes, qui donnent souvent des calculs moins lourds. Exemple - Exercice 7 :Résoudre(1+x2)y?-y= (1+x2)exp(-arctan(1/x)) surR?+.4 Autres exercices pour s"entraîner
Exercice 8 :Déterminer les fonctionsf:R-→Rcontinues telles que ?x?R, f(x) = sin(x)-2? x0exp(x-t)f(t)dt.
Exercice 9 :Résoudre les EDL suivantes :
1)⎷1-x2y?+y= 1sur]-1,1].
2)y??+y= 0surR.
3)y??+ 2y?+ 2y= 0surR.
4)y??-3y?+ 2y= 0surR.
5)y??+ 2y?+ 2y= sin(x)surR.
6)y??+y= 2cos(x)2surR.
7)(1 + exp(x))y?+ exp(x)y= (1 + exp(x))surR.
8)sin(x)3y?= 2cos(x)ysur]0,π[.
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