COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENT
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENT. Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/VVY4K-OT4FI.
COURS DE DENOMBREMENT
Plus généralement : un arrangement de n éléments d'un ensemble E à n éléments est appelé une permutation des éléments de E. 1/ Définition des objets :
Comptage-numérotage et comptage-dénombrement
le comptage-dénombrement défendu par Rémi Brissiaud. puis il pointe le deuxième objet et dit « deux » et enfin il pointe le troisième objet et dit ...
DENOMBREMENTS COMBINATOIRE EXERCICES CORRIGES
Exercice n°15. Combien y-a-t-il d'anagrammes du mot MATH ? Exercice n°16. 1) Dénombrer les
DENOMBREMENTS COMBINATOIRE EXERCICES CORRIGES
Exercice n°15. Combien y-a-t-il d'anagrammes du mot MATH ? Exercice n°16. 1) Dénombrer les
Dénombrement
Pour chaque choix de a on peut choisir le deuxième élément b de 2 façons possibles nombre entier n "raisonnable" (sur TI 89 : Menu Maths-Probabilités).
Ch 1. Ensembles et dénombrement I. Ensembles II. Cardinaux
permutations d'un ensemble de cardinal n. preuve : clair par le principe du dénombrement. ? exemple : combien existe-t-il d'anagrammes de PROBA ?
Dénombrement
La formule sur le nombre de combinaisons découle de la remarque la première et la troisième assertion. Pour prouver la deuxième on peut raisonner de manière
TD 4. Dénombrement - Espaces probabilisés
Solution de l'exercice 4. 1. Il y a 3 × 63 codes différents. 2. Il y a 3 × 53 codes différents sans le chiffre 4.
Dénombrement
Soit la représentation sagittale des ensembles E A et B. 1°) Existe-t-il des éléments de A qui ne sont pas dans E ? Que dit-on des ensembles. A
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Cours DENOMBREMENT PROF : ATMANI NAJIB 1BAC SM BIOF avec Exercices avec solutions Dénombrer c'est compter des objets I Ensemble fini : introduction
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Dénombrement : Principe fondamental équilibrée (tout év`enement relatif au premier lancé est indépendant http ://www math univ-toulouse fr/ rau/
Dénombrement - Cours 1 pdf - ALLO ACADEMY
L'objectif de dénombrement est de présenter les concepts et résultats fondamentaux permettant de calculer le cardinal d'ensembles finis donnés Introduction:
Dénombrement : Cours-Résumés-Exercices corrigés - F2School
A chaque stade de choix chaque branche « éclatant » en un même nombre de choix les arrangements possibles sont au nombre de : 4x3x2 = 24 Soit : (4-0)x(4-1)x(
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11 juil 2021 · 2 Dénombrer avec les p-listes 4 2 1 Nombre de p-listes TERMINALE MATHS SPÉ On initialise une première liste L1 à [1]
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quatre chiffres le premier étant non nul mots suivants : MATHS RIRE ANANAS D'après le principe général dénombrement le nombres
[PDF] Dénombrement
(conclusion) On conclut que la propriété est vraie pour tout n ? n0 par le principe de récurence 1 2 Ensembles finis infinis notion de cardinal 1 2 1
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TS ? Dénombrement page 1 / 7 Dénombrement I Utilisation de diagrammes de tableaux d'arbres Exemple Un centre de loisirs accueille 100 enfants
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Exercice n°15 Combien y-a-t-il d'anagrammes du mot MATH ? Exercice n°16 1) Dénombrer les
Comment dénombrer en maths ?
Dénombrer, c'est compter le nombre d'éléments que contient un ensemble fini, c'est à dire en déterminer le cardinal. Exemples : ? L'ensemble ?? des joueurs d'une équipe de foot est un ensemble fini. Alors ????????(??) = 11. L'ensemble ? des entiers naturels n'est pas un ensemble fini.Comment expliquer le dénombrement ?
En mathématiques, le dénombrement est la détermination du nombre d'éléments d'un ensemble. Il s'obtient en général par un comptage ou par un calcul de son cardinal à l'aide de techniques combinatoires.Comment faire le dénombrement ?
Lorsque vous faites des probabilités, vous devez dénombrer, c'est-à-dire compter le nombre d'éléments se réalisant par rapport au nombre d'éléments présents dans l'univers. Il existe 4 maniè res de faire afin de n'oublier aucun élément et surtout afin d' être efficace et méthodique lors de la réalisation d'un exercice.- Pour former une combinaison de p éléments de E ne contenant pas a, il faut choisir les p éléments parmi les (n-1) éléments de E différents de a. k' est donc égal au nombre de combinaisons de p éléments d'un ensemble à (n-1) éléments.
![Ch 1. Ensembles et dénombrement I. Ensembles II. Cardinaux Ch 1. Ensembles et dénombrement I. Ensembles II. Cardinaux](https://pdfprof.com/Listes/17/57268-17cours1-4.pdf.pdf.jpg)
Ch 1. Ensembles et d´enombrementI. EnsemblesD´efinition 1Un ensemble est une collection de choses
qu"on appelle´el´ements. L"ensemble vide est not´e∅. Dans la suite, on consid`erera toujours un ensemble universel Ω(on lit"grand om´ega"), et tous les ensembles consid´er´es seront des parties deΩ. On noteP(Ω)l"ensemble des parties deΩ. Exemple. D´efinition 2SoientAetBdeux ensembles. On d´efinit : -A?B, l"union deAetB, est l"ensemble des´el´ements qui sont dansAou dansBou dans les deux. -A∩B, l"intersection deAetB, est l"ensemble des´el´e- ments qui sont dansAet dansB. -A\B, la diff´erenceAmoinsB, est l"ensemble des´el´e- ments qui sont dansA, mais pas dansB. -AΔB, la diff´erence sym´etrique deAetB, l"ensemble des´el´ements qui sont soit dansAsoit dansB, mais pas dansA∩B. -Acou A, le compl´ementaire deA, l"ensemble des´el´e- ments qui ne sont pas dansA. 1 On repr´esente graphiquement, d´es que c"est possible, les ensembles grˆace`ades diagrammes de Venn.Proposition 3Premi`eres relations :
- commutativit´e:A∩B=B∩A,A?B=B?A. - associativit´e:A∩(B∩C) = (A∩B)∩C=A∩B∩C,A?(B?C) = (A?B)?C=A?B?C.
- distributivit´e:(A?B)∩C= (A∩C)?(B∩C),A?(B∩C) = (A?B)∩(A?C).
-(A?B)c=Ac∩Bc,(A∩B)c=Ac?BcProposition 4 (R`egles de De Morgan)
n? i=1A i? ∩B=n? i=1(Ai∩B) n? i=1A i? ?B=n? i=1(Ai?B) n? i=1A i? c=n? i=1Aci,? n? i=1A i? c=n? i=1AciD´efinition 5SoientAetBdeux ensembles. On pose
C={(a,b) :a?A,b?B}. On appelleCl"ensemble
produit deAetBet on le noteA×B. 2 (exemples, g´en´eralisation) v´erifie les deux conditions : -Ai∩Aj=∅pour tousi?=j n? i=1A i= Ω (exemples, g´en´eralisation) D´efinition 7SoitA?Ω. On d´efinit surΩla fonction indicatrice deA,1lA, par : ?ω?Ω,1lA(ω) =?1siω?A0sinon
(exemple) 3II. Cardinaux
D´efinition 8SoitAun ensemble fini. Le cardinal deA, not´e|A|, est le nombre d"´el´ements que contientA. (exemple)Proposition 9Additivit´e
SoientAetBdeux ensembles finis, disjoints (c"est-`a-direA∩B=∅). Alors
|A?B|=|A|+|B|Proposition 10Multiplicativit´e
SoientAetBdeux ensembles finis, etC=A×B. Alors
|C|=|A| · |B| (preuve)Corollaire 11Principe du d´enombrement
On r´ealise deux exp´eriences qui peuvent produire respec- tivementnetmr´esultats diff´erents. Au total, pour les deux exp´eriences prises ensemble, il existen.mr´esultats possibles. Corollaire 12SoitAun ensemble fini de cardinaln. Le nombre de suites de longueurrconstitu´ees d"´el´ements deAestnr.
4Proposition 13 (Inclusion-exclusion)SoientAetB
deux ensembles finis. |A?B|=|A|+|B| - |A∩B| Plus g´en´eralement, pournensembles finisA1,...,An, |A1? ··· ?An|=n? i=1|Ai| -? iProposition 181)?n
p?=?n n-p? 2) ?n p?=?n-1 p?+?n-1 p-1?3)(x+y)n=?np=0?n
p?xpyn-p Corollaire 19SoitΩun ensemble fini de cardinaln. Le cardinal deP(Ω)vaut2n. preuve : il existe 1 partie`a0´el´ement, il existenparties`a1´el´ement, il existe?n p?parties`ap´el´ements, il existe 1 partie`an´el´ements.Finalement, le nombre total de parties est
n p=0? n p?=n? p=0? n p?1r1n-r= (1 + 1)n= 2n Th´eor`eme 20On consid`erenobjets, parmi lesquelsn1 sont indistinguables,...,nrsont aussi indistinguables. Le nombre de permutations diff´erentes estn! n1!···nr! exemple : combien d"anagrammes de STAT? 4!/2!=12 7 exemple :r´esultat du loto (6 num´eros). - mani`ere de voir 1 : on regarde en direct le tirage du loto et on obtient un arrangement de 6 nombres pris dans {1,...,49}. On a alorsω= (x1,...,x6): les 6 nom- bres sortis avec leur ordre d"arriv´ee. Quel est le nombre de tirages diff´erents? A 649= 49?48?47?46?45?44 = 10.068.347.520
Mais on peut gagner les 6 bons num´eros quel que soit l"or- dre de sortie des 6 num´eros... - mani`ere de voir 2 : on regarde les 6 nombres sortis sans s"occuper de l"ordre d"arriv´ee.On a alorsω={x1,...,x6}. D"o`uΩest l"ensemble des combinaisons de 6 nombres pris dans{1,...,49}.Quel est le nombre de tirages diff´erents?
496?=49?48?47?46?45?44
6?5?4?3?2= 13.983.816
remarque :(1,2,3,4,5,6)?= (2,1,3,4,5,6), mais {1,2,3,4,5,6}={2,1,3,4,5,6} 8Ch 2. Le mod`ele probabiliste
I. Ensemble fondamental et ´ev´ene-
ments D´efinition 21Une exp´erience al´eatoire est une action, une proc´edure, qui donne un r´esultat impr´evisible, mais dont on connaˆıt pr´ecis´ement l"ensemble des r´esultats pos- sibles. Cet ensemble, not´eΩ, est appel´eensemble fonda- mental ou univers ou ensemble des possibles.Exemples :
- lancer d"un d´e. On observera un r´esultatk? {1,...,6}. - sondageaupr`es de 1000 utilisateursd"un t´el´ephoneportable.On observera le nombre d"abonn´es`aorange.
- questionnaire`a100 r´eponses binaires. On observera des suitesωde 100 r´eponses prisesdans{0,1};ω? {0,1}100. - parcours d"un taxi. On observera une fonction continue (trajectoire). - mise en service d"un ordinateur. On observera sa dur´ee de fonctionnement qui appartient`aR+. 9 D´efinition 22Onappelle´ev´enement´el´ementairetout´el´e- mentωdeΩ. C"est un r´esultat possible de l"exp´erience al´eatoire. On appelle´ev´enement toute partie deΩ. Pour d´esigner des´ev´enements, on utilisera souvent des let- tres capitales du d´ebut de l"alphabet (A,B,...). Exemples : - on lance un d´e. AlorsΩ ={1,...,6}. L"´ev´enementA:"on obtient un chiffre pair"est consti- tu´edes trois´ev´enements´el´ementaires 2, 4 et 6. On a :A={2,4,6}.
- on lance trois fois une pi`ece de monnaie. Il est bon que les´ev´enements´el´ementaires d´ecrivent le plus pr´ecis´ement possible le r´esultat de cette exp´erience. On choisit donc de d´ecrireωpar un triplet(r1,r2,r3)qui donne les r´esul- tats des trois lancers (dans l"ordre). L"´ev´enementB:"onquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] probabilité dénombrement cours
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[PDF] que veut dire ci après dénommé
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