Distributions de plusieurs variables
May 8 2008 Variables aléatoires continues : deux variables aléatoires X = taille et Y = ... Trouver la distribution conjointe de X et Y .
Chapitre 2 : Variables aléatoires et distributions 2.1 Variable
2.4 Distribution conjointe de variables aléatoires. Définitions : - Soit deux v.a. X Y. La fonction de répartition conjointe est :.
Probabilités
On présente sa distribution de probabilité dans un tableau. ou fonction de densité conjointe des variables aléatoires X et Y .
Formulation probabiliste - rappel de la théorie des probabilités
variable aléatoire discrète probabilité jointe iven by the number of points falling la fonction de répartition P(z) (cumulative distribution function).
6 Lois `a densité
f(x y)dxdy = 1 . Soit X et Y deux variables aléatoires réelles. On dit que la loi jointe du couple (X
Couples et vecteurs de variables aléatoires Préparation `a l
Probl`eme : On dispose d'un couple de variables aléatoires discr`etes (X Y ) dont on conna?t la loi conjointe et on voudrait conna?tre la loi de la variable
12 - Probabilités conditionnelles et couple de variables aléatoires
discret on peut définir une fonction de distribution jointe et une densité jointe pour un couple de variable aléatoire. Definition.
5 Variables aléatoires simultanées
ou conjointe pour tout paire de variables aléatoires ? et ? : La loi de probabilité jointe des deux variables aléatoires ou la distribution bidimen-.
Probabilités continues
PART 5: Lois jointes indépendance. PART 6: Théor`emes limites Une variable aléatoire continue peut prendre une infinité non dénombrable de.
Simulation de variables aléatoires
On présente ici quelques méthodes de simulation de variables aléatoires de lois clas- siques. Dans la densité jointe des variable R et ? on reconna?t.
[PDF] Couples et vecteurs de variables aléatoires Préparation `a l
1 Couples et vecteurs aléatoires discrets 1 1 Loi conjointe On se donne X et Y deux variables aléatoires discr`etes avec X(?) = {xii ? N} et Y (?) =
[PDF] Distributions de plusieurs variables
8 mai 2008 · Distributions conjointes Comment généraliser les fonctions de probabilité et de densité `a plus d'une variable aléatoire ?
[PDF] Chapitre 2 : Variables aléatoires et distributions
2 4 Distribution conjointe de variables aléatoires L'exemple 1 illustre une variable aléatoire discrète l'exemple 2 une variable aléatoire continue
[PDF] Couple de variables aléatoires - Notion dindépendance
I - Loi jointe Définition : Soient X et Y deux variables aléatoires La loi jointe de (X Y ) est définie par sa fonction de répartition F(XY ) :
[PDF] Variables Aléatoires
Si FX est continue sur R et dérivable sur R (sauf peut-être en un nombre fini de points) alors X est une variable à densité f donnée par f(x) = FX(x) 1 4 Lois
[PDF] TD01- COUPLES DE VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES ET
Déterminer la loi de distribution de la variable aléatoire W = Y 2 – X Exercice 3 La loi jointe du couple (X Y) est donnée par le tableau ci-contre :
[PDF] Série 3 des Travaux Dirigés Variables aléatoires
Calculer la distribution de probabilité la moyenne la variance et l'écart-type de 2 Loi de probabilité produit variables aléatoires indépendantes Q2 1
[PDF] Correction TD no 3
On rappelle qu'une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre ? > 0 si elle admet une densité de la forme f(x) = ?e??x si x ? 0 et f(x)=0 si
[PDF] Couples de variables aléatoires possédant une densité Couples de
Couples de variables aléatoires possdant une densité Covariance Exemples d'utilisation Corrigé partiel des exercices Exercice 1 (Algorithme de Box–Müller)
[PDF] Probabilités
Définition 40 Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle fini ou infini 2 3 1 Fonction de densité de
![[PDF] Distributions de plusieurs variables [PDF] Distributions de plusieurs variables](https://pdfprof.com/Listes/17/57335-17slides7.pdf.pdf.jpg)
Distributions de plusieurs
variablesMathematiques Generales B
Universite de Geneve
Sylvain Sardy
8 mai 2008
11. Distributions conjointes
Comment generaliser les fonctions de probabilite et de densite a plus d'une variable aleatoire?Variables aleatoires discretes:
Considerons 2 variables discretes :X=utilite des mathematiques etY= branche d'etude.XnYPharma SdlT Bio ChimieTotalMath15 2 16 831
Math219 4 24 1259
Math32 2 6 414
Total26 8 46 24104
Tableau de contingence (2007)Distributions
2XnYPharma SdlT Bio ChimieTotal
Math10.05 0.02 0.15 0.080.30
Math20.18 0.04 0.23 0.120.57
Math30.02 0.02 0.06 0.040.13
Total0.25 0.08 0.44 0.231
Tableau de probabilite
La probabilite conjointe est simplement donnee par un tableau de probabilites, ouP(X = i;Y = j) = pijpour tout(i;j)
pour deux variables. Pour trois variables, il faut denir : P(X = i;Y = j;Z = k) = pijkpour tout(i;j;k):Distributions 3 Variables aleatoires continues: deux variables aleatoiresX=taille etY= poids ont unefonction de densite conjointesiP((X;Y)2A) =Z Z
A f(x;y) dx dy; ouf(x;y)>0etR Rf(x;y)dx dy= 1.Exemple :
f(x;y) =exp(y)0 < x < y <1 0 sinonEst-ce bien une fonction de densite?
Exemple : Distribution uniforme bivariee sur un carre, un disque, ...Distributions 4y x f(x,y)Fonction de densite a deux variables.Distributions
5 Il est aussi possible de denir unefonction de repartition conjointeF(x;y) = P(X6x;Y6y)
pour deux variables. Il est facile de generaliser an>2variables. La fonction de densite conjointe s'obtient de la fonction de repartition en dierenciant@2F@x@y =f pourn= 2.Distributions 6 Exemple : On tire deux boules sans remise d'une urne qui contient 8 Rouge,6 Bleue et 4 Verte. SoitX=le nombre de boules Rouge etY=le nombre de
boules Bleue. Trouver la distribution conjointe deXetY.XnY0 1 2
06 15324153
15153
132
153
48153
0228
153
0
0 Distributions
7 Exemple : Soit deux variables aleatoiresXetYde densitef(x;y) =c(x+y) sur[0;1][0;1]. (1) Que vautc? (2) Que vautP(X<1=2)? (etP(X61=2)?) (3) Que vautP(X + Y<1)? (1) (2)P(X<1=2) = P(X<1=2;Y2[0;1]) =R1=2 0R 10(x + y) dy dx =
(3)P(X + Y<1) = P(X<1Y;Y2[0;1]) =R1 0R 1y0(x + y) dx dy =Distributions
82. Distributions marginales
Comment trouver lesdistributions marginalesdeXet deYa partir de la distribution conjointe de(X;Y)?Cas discret
P(X = x) =
X yP(X = x;Y = y) est la distribution marginale deX.P(Y = y) =
X xP(X = x;Y = y) est la distribution marginale deY.Distributions 9Exemple :XnYPharma SdlT Bio ChimieP(X = x)
Math10.05 0.02 0.15 0.080.30
Math20.18 0.04 0.23 0.120.57
Math30.02 0.02 0.06 0.040.13
P(Y = y)0.25 0.08 0.44 0.231
Tableau de probabiliteDistributions
10Exemple :
XnY0 1 2P(X = x)
06 15324153
1515345
153132
153
48153
080
153
228
153
0 0 :::
P(Y = y):::
72153Distributions
11Cas continu
fX(x) =Z
f(x;y)dy est la distribution marginale deX. fY(y) =Z
f(x;y)dx est la distribution marginale deY. Cela denit-il bien des fonctions de densite?Distributions 12Exemple :
f(x;y) =exp(y)0 < x < y <1 0 sinonOn trouve :
fX(x)= Z
f(x;y)dy=Z 1 x exp(y)dy= exp(x) fY(y)= Distributions
130246810
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x f(x)Densité marginale X
0246810
0.0 0.1 0.2 0.3 y f(y) Densité marginale YFonctions de densite marginale.Distributions
143. Independance
Denition
Deux v.a.XetYsontindependantessi pour tout ensembleAetBon aP(X2A;Y2B) = P(X2A)P(Y2B):
On peut demontrer que cette denition est equivalente a :Cas disc ret:
P(X = x;Y = y) = P(X = x)P(Y = y)
Cas c ontinu:
f (X;Y)(x;y) =fX(x)fY(y) pour toutx;y.Distributions 15Exemple :
XnY0 1 2P(X = x)
06 15324153
1515345
153132
153
48153
080
153
228
153
0 0 28
153P(Y = y):::
72153Puisque
P(X = 2;Y = 2)6= P(X = 2)P(Y = 2);
on deduit queXetYne sont pas independantes.Distributions 16Exemple :
f(x;y) =exp(y)0 < x < y <1 0 sinonOn a trouve :
fX(x)= Z
f(x;y)dy=Z 1 x exp(y)dy= exp(x) fY(y)= yexp(y)
DoncXetYne peuvent pas ^etre independantes.
Exemple :(X;Y)a pour densite conjointef(x;y) = (x+y)2(xy)2sur [0;1]2. Les v.a.XetYsont-elles independantes?Distributions 174. Somme de deux v.a. independantes
Soit 2 v.a.XetY. On s'interesse a la distribution de leur sommeS=X+Y. D'une maniere generale, c'est un probleme dicile. En supposant queXetY sont independantes, le probleme est parfois simplie.Cas discret
P(S = s)
P(X + Y = s)
=X xP(X = x;Y = sx) X xP(X = x)P(Y = sx):Distributions 18 Exemple :XPoi()etYPoi()sont independantes. Peut-on dire quelque chose deS=X+Y? PuisqueP(X = j) = 0quandj <0, etP(Y = kj) = 0quandj > kP(X + Y = k)
kX j=0P(X = j)P(Y = kj) kX j=0exp()jj!exp()kj(kj)! exp( (+))1k!k X j=0C k;jjkj exp( (+))1k!:::Distributions 19Donc on peut ecrire "Poi()ind+ Poi() = Poi(+)".
C'est plus l'exception que la regle de trouver une distribution simple et de m^eme loi. Par exemple a-t-on "Bin(n;p1)ind+ Bin(n;p2) = Bin(n;p1+p2)"? Ou plut^ot "Bin(n1;p)ind+ Bin(n2;p) = Bin(n1+n2;p)"?Distributions 20Cas continu
SiXfXest independante deYfY, alorsS=X+Ya pour densite fX+Y(s) =Z
fX(x)fY(sx)dx:
On peut par exemple demontrer que
"N(1;21)ind+ N(2;22) = N(1+2;21+22)":Distributions 215. Distributions conditionnelles
Cas discret
P(X = xjY = y) =P(X = x;Y = y)P(Y = y)
Cas continu
f(xjY=y) =f(x;y)f Y(y) Ainsif(x;y) =f(xjY=y)fY(y). Donc siXetYsont independants, on obtient (page 14) : f(x;y) =fX(x)fY(y):Distributions 22Exemple :XnYPharma SdlT Bio ChimieP(X = x)
Math10.05 0.02 0.15 0.080.30
Math20.18 0.04 0.23 0.120.57
Math30.02 0.02 0.06 0.040.13
P(Y = y)0.25 0.08 0.44 0.231
Tableau de probabilite
P(X = 2jY = Bio) =P(X=2;Y=Bio)P(Y=Bio)
=0:230:44= 0:52Distributions 23Exemple :
f(x;y) =exp(y)0 < x < y <1 0 sinon f(xjY=y) =f(x;y)f(y)=exp(y)yexp(y)=1y pour0< x < yDoncXjY=y:::.
f(yjX=x) =f(x;y)f(x)=exp(y)exp(x)= exp((yx))poury > x.DoncYXjX=xExp(1).Distributions
24012345
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 x f(x|Y=0.5)Conditional X|Y=0.5
012345
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 y f(y|X=1)Conditional Y|X=1
012345
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 x f(x|Y=2)Conditional X|Y=2
012345
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 y f(y|X=3) Conditional Y|X=3Fonctions de densite conditionnelle.Distributions
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