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Distributions de plusieurs variables

May 8 2008 Variables aléatoires continues : deux variables aléatoires X = taille et Y = ... Trouver la distribution conjointe de X et Y .



Chapitre 2 : Variables aléatoires et distributions 2.1 Variable

2.4 Distribution conjointe de variables aléatoires. Définitions : - Soit deux v.a. X Y. La fonction de répartition conjointe est :.



Probabilités

On présente sa distribution de probabilité dans un tableau. ou fonction de densité conjointe des variables aléatoires X et Y .



Formulation probabiliste - rappel de la théorie des probabilités

variable aléatoire discrète probabilité jointe iven by the number of points falling la fonction de répartition P(z) (cumulative distribution function).



6 Lois `a densité

f(x y)dxdy = 1 . Soit X et Y deux variables aléatoires réelles. On dit que la loi jointe du couple (X



Couples et vecteurs de variables aléatoires Préparation `a l

Probl`eme : On dispose d'un couple de variables aléatoires discr`etes (X Y ) dont on conna?t la loi conjointe et on voudrait conna?tre la loi de la variable 



12 - Probabilités conditionnelles et couple de variables aléatoires

discret on peut définir une fonction de distribution jointe et une densité jointe pour un couple de variable aléatoire. Definition.



5 Variables aléatoires simultanées

ou conjointe pour tout paire de variables aléatoires ? et ? : La loi de probabilité jointe des deux variables aléatoires ou la distribution bidimen-.



Probabilités continues

PART 5: Lois jointes indépendance. PART 6: Théor`emes limites Une variable aléatoire continue peut prendre une infinité non dénombrable de.



Simulation de variables aléatoires

On présente ici quelques méthodes de simulation de variables aléatoires de lois clas- siques. Dans la densité jointe des variable R et ? on reconna?t.



[PDF] Couples et vecteurs de variables aléatoires Préparation `a l

1 Couples et vecteurs aléatoires discrets 1 1 Loi conjointe On se donne X et Y deux variables aléatoires discr`etes avec X(?) = {xii ? N} et Y (?) =



[PDF] Distributions de plusieurs variables

8 mai 2008 · Distributions conjointes Comment généraliser les fonctions de probabilité et de densité `a plus d'une variable aléatoire ?



[PDF] Chapitre 2 : Variables aléatoires et distributions

2 4 Distribution conjointe de variables aléatoires L'exemple 1 illustre une variable aléatoire discrète l'exemple 2 une variable aléatoire continue



[PDF] Couple de variables aléatoires - Notion dindépendance

I - Loi jointe Définition : Soient X et Y deux variables aléatoires La loi jointe de (X Y ) est définie par sa fonction de répartition F(XY ) :



[PDF] Variables Aléatoires

Si FX est continue sur R et dérivable sur R (sauf peut-être en un nombre fini de points) alors X est une variable à densité f donnée par f(x) = FX(x) 1 4 Lois 



[PDF] TD01- COUPLES DE VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES ET

Déterminer la loi de distribution de la variable aléatoire W = Y 2 – X Exercice 3 La loi jointe du couple (X Y) est donnée par le tableau ci-contre :



[PDF] Série 3 des Travaux Dirigés Variables aléatoires

Calculer la distribution de probabilité la moyenne la variance et l'écart-type de 2 Loi de probabilité produit variables aléatoires indépendantes Q2 1



[PDF] Correction TD no 3

On rappelle qu'une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre ? > 0 si elle admet une densité de la forme f(x) = ?e??x si x ? 0 et f(x)=0 si 



[PDF] Couples de variables aléatoires possédant une densité Couples de

Couples de variables aléatoires possdant une densité Covariance Exemples d'utilisation Corrigé partiel des exercices Exercice 1 (Algorithme de Box–Müller) 



[PDF] Probabilités

Définition 40 Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle fini ou infini 2 3 1 Fonction de densité de 

:
[PDF] Distributions de plusieurs variables

Distributions de plusieurs

variables

Mathematiques Generales B

Universite de Geneve

Sylvain Sardy

8 mai 2008

1

1. Distributions conjointes

Comment generaliser les fonctions de probabilite et de densite a plus d'une variable aleatoire?

Variables aleatoires discretes:

Considerons 2 variables discretes :X=utilite des mathematiques etY= branche d'etude.XnYPharma SdlT Bio ChimieTotal

Math15 2 16 831

Math219 4 24 1259

Math32 2 6 414

Total26 8 46 24104

Tableau de contingence (2007)Distributions

2

XnYPharma SdlT Bio ChimieTotal

Math10.05 0.02 0.15 0.080.30

Math20.18 0.04 0.23 0.120.57

Math30.02 0.02 0.06 0.040.13

Total0.25 0.08 0.44 0.231

Tableau de probabilite

La probabilite conjointe est simplement donnee par un tableau de probabilites, ou

P(X = i;Y = j) = pijpour tout(i;j)

pour deux variables. Pour trois variables, il faut denir : P(X = i;Y = j;Z = k) = pijkpour tout(i;j;k):Distributions 3 Variables aleatoires continues: deux variables aleatoiresX=taille etY= poids ont unefonction de densite conjointesi

P((X;Y)2A) =Z Z

A f(x;y) dx dy; ouf(x;y)>0etR Rf(x;y)dx dy= 1.

Exemple :

f(x;y) =exp(y)0 < x < y <1 0 sinon

Est-ce bien une fonction de densite?

Exemple : Distribution uniforme bivariee sur un carre, un disque, ...Distributions 4y x f(x,y)Fonction de densite a deux variables.

Distributions

5 Il est aussi possible de denir unefonction de repartition conjointe

F(x;y) = P(X6x;Y6y)

pour deux variables. Il est facile de generaliser an>2variables. La fonction de densite conjointe s'obtient de la fonction de repartition en dierenciant@2F@x@y =f pourn= 2.Distributions 6 Exemple : On tire deux boules sans remise d'une urne qui contient 8 Rouge,

6 Bleue et 4 Verte. SoitX=le nombre de boules Rouge etY=le nombre de

boules Bleue. Trouver la distribution conjointe deXetY.

XnY0 1 2

06 153
24153
15153
132
153
48153
0228
153
0

0 Distributions

7 Exemple : Soit deux variables aleatoiresXetYde densitef(x;y) =c(x+y) sur[0;1][0;1]. (1) Que vautc? (2) Que vautP(X<1=2)? (etP(X61=2)?) (3) Que vautP(X + Y<1)? (1) (2)P(X<1=2) = P(X<1=2;Y2[0;1]) =R1=2 0R 1

0(x + y) dy dx =

(3)P(X + Y<1) = P(X<1Y;Y2[0;1]) =R1 0R 1y

0(x + y) dx dy =Distributions

8

2. Distributions marginales

Comment trouver lesdistributions marginalesdeXet deYa partir de la distribution conjointe de(X;Y)?

Cas discret

P(X = x) =

X yP(X = x;Y = y) est la distribution marginale deX.

P(Y = y) =

X xP(X = x;Y = y) est la distribution marginale deY.Distributions 9

Exemple :XnYPharma SdlT Bio ChimieP(X = x)

Math10.05 0.02 0.15 0.080.30

Math20.18 0.04 0.23 0.120.57

Math30.02 0.02 0.06 0.040.13

P(Y = y)0.25 0.08 0.44 0.231

Tableau de probabiliteDistributions

10

Exemple :

XnY0 1 2P(X = x)

06 153
24153

1515345

153
132
153
48153
080
153
228
153
0 0 :::

P(Y = y):::

72153

Distributions

11

Cas continu

f

X(x) =Z

f(x;y)dy est la distribution marginale deX. f

Y(y) =Z

f(x;y)dx est la distribution marginale deY. Cela denit-il bien des fonctions de densite?Distributions 12

Exemple :

f(x;y) =exp(y)0 < x < y <1 0 sinon

On trouve :

f

X(x)= Z

f(x;y)dy=Z 1 x exp(y)dy= exp(x) f

Y(y)= Distributions

130246810

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x f(x)

Densité marginale X

0246810

0.0 0.1 0.2 0.3 y f(y) Densité marginale YFonctions de densite marginale.

Distributions

14

3. Independance

Denition

Deux v.a.XetYsontindependantessi pour tout ensembleAetBon a

P(X2A;Y2B) = P(X2A)P(Y2B):

On peut demontrer que cette denition est equivalente a :

Cas disc ret:

P(X = x;Y = y) = P(X = x)P(Y = y)

Cas c ontinu:

f (X;Y)(x;y) =fX(x)fY(y) pour toutx;y.Distributions 15

Exemple :

XnY0 1 2P(X = x)

06 153
24153

1515345

153
132
153
48153
080
153
228
153
0 0 28

153P(Y = y):::

72153

Puisque

P(X = 2;Y = 2)6= P(X = 2)P(Y = 2);

on deduit queXetYne sont pas independantes.Distributions 16

Exemple :

f(x;y) =exp(y)0 < x < y <1 0 sinon

On a trouve :

f

X(x)= Z

f(x;y)dy=Z 1 x exp(y)dy= exp(x) f

Y(y)= yexp(y)

DoncXetYne peuvent pas ^etre independantes.

Exemple :(X;Y)a pour densite conjointef(x;y) = (x+y)2(xy)2sur [0;1]2. Les v.a.XetYsont-elles independantes?Distributions 17

4. Somme de deux v.a. independantes

Soit 2 v.a.XetY. On s'interesse a la distribution de leur sommeS=X+Y. D'une maniere generale, c'est un probleme dicile. En supposant queXetY sont independantes, le probleme est parfois simplie.

Cas discret

P(S = s)

P(X + Y = s)

=X xP(X = x;Y = sx) X xP(X = x)P(Y = sx):Distributions 18 Exemple :XPoi()etYPoi()sont independantes. Peut-on dire quelque chose deS=X+Y? PuisqueP(X = j) = 0quandj <0, etP(Y = kj) = 0quandj > k

P(X + Y = k)

kX j=0P(X = j)P(Y = kj) kX j=0exp()jj!exp()kj(kj)! exp( (+))1k!k X j=0C k;jjkj exp( (+))1k!:::Distributions 19

Donc on peut ecrire "Poi()ind+ Poi() = Poi(+)".

C'est plus l'exception que la regle de trouver une distribution simple et de m^eme loi. Par exemple a-t-on "Bin(n;p1)ind+ Bin(n;p2) = Bin(n;p1+p2)"? Ou plut^ot "Bin(n1;p)ind+ Bin(n2;p) = Bin(n1+n2;p)"?Distributions 20

Cas continu

SiXfXest independante deYfY, alorsS=X+Ya pour densite f

X+Y(s) =Z

f

X(x)fY(sx)dx:

On peut par exemple demontrer que

"N(1;21)ind+ N(2;22) = N(1+2;21+22)":Distributions 21

5. Distributions conditionnelles

Cas discret

P(X = xjY = y) =P(X = x;Y = y)P(Y = y)

Cas continu

f(xjY=y) =f(x;y)f Y(y) Ainsif(x;y) =f(xjY=y)fY(y). Donc siXetYsont independants, on obtient (page 14) : f(x;y) =fX(x)fY(y):Distributions 22

Exemple :XnYPharma SdlT Bio ChimieP(X = x)

Math10.05 0.02 0.15 0.080.30

Math20.18 0.04 0.23 0.120.57

Math30.02 0.02 0.06 0.040.13

P(Y = y)0.25 0.08 0.44 0.231

Tableau de probabilite

P(X = 2jY = Bio) =P(X=2;Y=Bio)P(Y=Bio)

=0:230:44= 0:52Distributions 23

Exemple :

f(x;y) =exp(y)0 < x < y <1 0 sinon f(xjY=y) =f(x;y)f(y)=exp(y)yexp(y)=1y pour0< x < y

DoncXjY=y:::.

f(yjX=x) =f(x;y)f(x)=exp(y)exp(x)= exp((yx))poury > x.

DoncYXjX=xExp(1).Distributions

24012345

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 x f(x|Y=0.5)

Conditional X|Y=0.5

012345

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 y f(y|X=1)

Conditional Y|X=1

012345

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 x f(x|Y=2)

Conditional X|Y=2

012345

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 y f(y|X=3) Conditional Y|X=3Fonctions de densite conditionnelle.

Distributions

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