[PDF] 6 Lois `a densité f(x y)dxdy = 1 .

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Universit´e de Paris X Nanterre

U.F.R. Segmi Ann´ee 2005-2006

Licence Economie-Gestion deuxi`eme ann´ee

R´esum´e du cours de probabilit´e

Deuxi`eme partie

6 Lois `a densit´e

D´efinition 1.Soitf:R→R+une application telle que f(x)dx= 1. SoitX: Ω→Run variable al´eatoire r´eelle. On dit que la loi deX(ou simplementX) admet la densit´efsi, pour toute partieAdeR, on a

P(X?A) =?

A f(x)dx . Proposition 1.La densit´e caract´erise la loi. Toute fonction positivefd"int´egrale 1 est une fonction de densit´e. Sifest nulle sur un ensembleA, alorsP(X?A) = 0. R´eciproquement, siIest un intervalle ouvert, fini ou infini, et siP(X?I) = 0alorsf est identiquement nulle surI. Exemple1 (Loi uniforme sur [0,1]).Soitf:R→[0,1], telle quef(x) = 1 six?[0,1] etf(x) = 0 six /?[0,1]. Alorsfest une fonction de densit´e. C"est la densit´e de la loi dite uniforme sur [0,1]. Une variable uniforme sur [0,1] ne prend aucune valeur hors de l"intervalle [0,1]. Exemple2 (Loi exponentielle).Soitf:R→[0,1], telle quef(x) = e-xsix≥0 etf(x) = 0 six <0. Alorsfest une fonction de densit´e. C"est la densit´e de la loi exponentielle. Une variable de loi exponentielle ne prend que des valeurs positives. SoitXune variable de loi exponentielle et soitx >0. Alors

P(X > x) =?

x e-tdt= e-x. Par exemple,P(X >0,1) = 0,90;P(X >1) = 0,37;P(X >10) = 0,000045. Exemple3 (Loi de Pareto).Soitα >0 et soitf:R→[0,1], telle quef(x) =αx-α-1si x≥1 etf(x) = 0 six <1. Alorsfest une fonction de densit´e. C"est la densit´e de la loi de Pareto de param`etreα. Une variable de loi de Pareto ne prend que des valeurs positives. SoitXune variable de loi de Pareto de param`etreαet soitx >0. Alors

P(X > x) =?

x

αx-α-1dt=x-α.

1 Par exemple, pourα= 1,P(X >1,1) = 0,91;P(X >2) = 0,5;P(X >10) = 0,1,

P(X >100) = 0,01.

En comparant avec l"exemple pr´ec´edent, on remarque qu"une variable de loi de Pareto de param`etre 1 prend des grandes valeurs (par exemple>10) avec une probabilit´e beaucoup plus grande qu"une variable de loi exponentielle.

Exemple4 (Loi normale centr´ee r´eduite).Soitf:R→[0,1], telle quef(x) = e-x2/2/⎷2π.

Alorsfest une fonction de densit´e. C"est la densit´e de la loi dite gaussienne ou normale centr´ee r´eduite, qui peut prendre toute valeur r´eelle.

D´efinition 2(Fonction de r´epartition).SoitXune variable al´eatoire r´eelle (quelconque).

Sa fonction de r´epartition est la fonctionFd´efinie par :

F:R→[0,1]

Exemple5 (Loi uniforme sur [0,1]).SoitUune variable al´eatoire de loi uniforme sur [0,1].

Sa fonction de r´epartition est la fonction

F(x) =x?[0,1](x) +?{x>1}.0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

FONCTION DE REPARTITION DE LA LOI UNIFORMEExemple6 (Loi exponentielle).SoitXune variable al´eatoire de loi exponentielle. Sa fonc-

tion de r´epartition est

F(x) = (1-e-x)?{x≥0}.

2

012345678910

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

FONCTION DE REPARTITION DE LA LOI EXPONENTIELLEExemple7 (Loi normale centr´ee r´eduite).SoitXune variable al´eatoire de loi exponentielle.

Sa fonction de r´epartition est

F(x) =?

x -∞e -t2/2⎷2πdt . Il n"est pas possible d"exprimerF`a l"aide des fonctions usuelles. Les valeurs deF(x) pour des valeurs dexsont donn´ees dans les tables statistiques et par les logiciels de statistique. -5-4-3-2-101234 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

FONCTION DE REPARTITION DE LA LOI NORMALE CENTREE REDUITEProposition 2.La fonction de r´epartition d"une variable al´eatoireXest une fonction

croissante continue `a droite et caract´erise la loi deX. La loi deXadmet une densit´e si et seulement si sa fonction de r´epartition est d´erivable par morceaux.

6.1 Transformation d"une loi `a densit´e

La d´etermination de la loi d"une fonction d"une variable al´eatoire `a densit´e est un probl`eme

plus complexe que dans le cas discret. En particulier, une fonction d"une variable al´eatoire

`a densit´e n"est pas n´ecessairement une nouvelle variable al´eatoire admettant une densit´e.

3 Exemple8.SoitXune variable al´eatoire de loi exponentielle. Soita >0 un r´eel, et soitT la variable discr`ete d´efinie parT= [aX] + 1, o`u [x] est la partie enti`ere dex, c"est-`a-dire que peut prendreTsont les entiers non nuls. Pourk?N?, on a, par d´efinition de la loi exponentielle,

P(T=k) =P(aX?[k-1,k[) =P(X?[(k-1)/a,k/a[)

k/a (k-1)/ae-xdx= e(k-1)/a-ek/a.

Posonsp= e-1/a. Alorsp?]0,1[ et

P(T=k) =p(1-p)k-1.

La loi deTest donc la loi g´eom´etrique de param`etrep. Dans ce cas particulier, la fonction n"´etait pas bijective. Si la transformationY=φ(X) de la variable `a densit´eXest une bijection monotone sur l"intervalle o`uXprend ses valeurs, alorsYadmet une densit´e. Proposition 3.SoitIun intervalle etX: Ω→Iune variable al´eatoire admettant une densit´e, (qui est n´ecessairement nulle hors deI). Soitφ:I→June bijection strictement monotone et d´erivable deIsurJ. Alorsφadmet une r´eciproqueψd´erivable deJsurI et la variableY=φ(X)admet une densit´egdonn´ee par g(y) =? |ψ?(y)|f◦ψ(y) =f◦ψ(y)/|φ?(ψ(y))|siy?J ,

0sinon(1)

D´emonstration.La preuve repose sur la formule du changement de variable dans les int´egrales. SoitB?J. Puisqueφest bijective de r´eciproqueψ, on a

P(Y?B) =P(φ(X)?B) =P(X?ψ(B)) =?

ψ(B)f(x)dx .

On effectue maintenant le changement de variabley=φ(x), soitx=ψ(y).

P(Y?B) =?

B f(ψ(y))ψ?(y)dy . La densit´e devant ˆetre positive, on obtient bien la formule (1). On obtient la seconde

expression en appliquant la formule de la d´eriv´ee de la r´eciproque :ψ?= 1/φ?◦φ.Exemple9.SoitXune variable admettant une densit´ef. Soita >0 etb?R. AlorsaX+b

admet la densit´ea-1f((x-b)/a). SiXsuit la loi exponentielle, eta= 1/λ,λ >0, alorsX/λadmet la densit´eλe-λxpour x≥0 et 0 sinon. La loi deX/λest appel´ee loi exponentielle de param`etreλ. SiXsuit la loi Gaussienne centr´ee r´eduite, etY=m+σX, avecσ >0, alorsYadmet la densit´e e -(x-m)2/2σ2/⎷2πσ2. La loi deYest appel´ee loi normaleN(m,σ2). 4 Exemple10.SoitXune variable de loi exponentielle etY=X2. La fonctionx?→x2est une bijection d´erivable surR+, et donc la loi deYadmet la densit´eg(y) = e-⎷y /2⎷ysi y >0 et 0 sinon. Exemple11.SoitUune variable de loi uniforme sur [0,1] et soitX=-log(U). AlorsX suit la loi exponentielle. En effet, pourx≥0,

6.2 Esp´erance pour les variables `a densit´e

Proposition 4.SoitXune variable al´eatoire admettant la densit´efsurRet soitφ:

R→Rune application. Alors

E[φ(X)] =?

R

φ(x)f(x)dx .

Application : varianceSoitXune variable al´eatoire r´eelle. On rappelle que sa variance est d´efinie par var(X) =E[X2]-(E[X])2=E[(X-E[X])2].

SiXadmet la densit´ef, alors :

var(X) =? R x2f(x)dx-? R xf(x)dx? 2

ParetoP(α),α >2α

(α-1)α (α-2)(α-1)2NormaleN(m,σ2)mσ

27 Couples de loi `a densit´e

Comme on l"a d´ej`a vu dans le cas des variables discr`etes, pour ´etudier conjointement deux

variables al´eatoires, la connaissance de leurs lois marginales en suffit pas. Il faut connaˆıtre

leur loi jointe, c"est-`a-dire la loi du couple (X,Y), soit la donn´ee deP((X,Y)?A) pour toute partieAdeR×R. On peut g´en´eraliser la notoin de densit´e pour un couple ou une famille de variables al´eatoires. Les calculs font alors intervenir des int´egrales multiples. 5

D´efinition 3(Densit´e jointe).Soitf:R×R→[0,1]une fonction positive d"int´egrale 1 :

R×Rf(x,y)dxdy= 1.

SoitXetYdeux variables al´eatoires r´eelles. On dit que la loi jointe du couple(X,Y) admet la densit´ef, si pour toute partieAdeR×R, on a

P((X,Y)?A) =?

A f(x,y)dxdy . Lorsque que l"on connait la loi jointe du couple (X,Y), on peut connaˆıtre les lois marginales deXetY. La r´eciproque n"est vraie que dans le cas o`uXetYsont ind´ependantes. Proposition 5.SoitXetYdeux variables al´eatoires r´eelles dont la loi jointe admet la densit´ef. Alors la loi deXadmet la densit´efXetYadmet la densit´efYrespectivement d´efinies par f

X(x) =?

R f(x,y)dy , f

Y(y) =?

R f(x,y)dx . Les variablesXetYsont ind´ependantes si et seulement si la densit´e jointe est le produit des densit´es marginales, i.e. ?x,y, f(x,y) =fX(x)fY(y). On fera bien attention `a int´egrer la bonne variable lorsque l"on appliquera les formules pr´ec´edentes. Exercice7.1.Soit (X,Y) un couple de variables al´eatoires dont la loi admet la densit´e f(x,y) =? e-x/ye-y/y ,si 0< x,y <∞,

0 sinon.

(i)XetYsont-elles ind´ependantes? (ii) D´eterminer la loi marginale deY. (iii) CalculerP(X >1|Y >1). Corrig´e.(i) La densit´e jointe n"a pas une forme produit, donc les variables ne sont pas ind´ependantes. (ii) La loi marginale deYadmet la densit´efYd´efinie par f

Y(y) =?

0 e-x/ye-y/ydx= e-y?∞ 0 e-x/ydx/y= e-y?∞ 0 e-tdt= e-y, o`u l"on a effectu´e le changement de variablet=x/ypour passer de l"avant-derni`ere `a la derni`ere int´egrale. La loi deYest donc la loi exponentielle. 6 (iii) Par d´efinition,P(X >1|Y >1) =P(X >1 etY >1)/P(Y >1). Puisqu"on vient de voir que la loi deYest la loi exponentielle, on a doncP(Y >1) = e-1 (cf. Exemple). Pour calculerP(X >1 etY >1), on utilise la densit´e jointe, qu"on int`egre tout d"abord par rapport `ax.

P(X >1 etY >1) =?

1? 1 e-x/ye-y/ydxdy=? 1 e-2ydy=12 e-2.

Finalement on aP(X >1|Y >1) = 1/(2e).Exemple12.SoientXetYdeux variables al´eatoires admettant la densit´e jointef(x,y) =

e -x-y. Cette densit´e est de la forme produit, doncXetYsont ind´ependantes, de mˆeme loi marginale exponentielle. PosonsZ= min(X,Y) et d´eterminons la loi deZ. Tout d"abord,Zest `a valeurs dansR+puisque le plus petit de deux nombres positifs est positifs. Pour d´eterminer la loi deZ, on peut essayer de d´eterminer sa fonction de r´epartition suivante : le minimum de deux nombres est plus grand qu"un troisi`eme si les deux le sont.

P(Z > z) =P(min(X,Y)> z) =P(X > zetY > z).

On utilise enfin l"hypoth`ese essentielle :XetYsont ind´ependantes. P(Z > z) =P(X > zetY > z) =P(X > z)P(Y > z) = e-2z. La loi deZest donc la loi exponentielle de param`etre 2.

7.1 Esp´erance d"une fonction d"un couple de variable admettant une

densit´e Proposition 6.SoientXetYdeux variables al´eatoires admettant la densit´e jointefet soitφune fonction. Alors

E[φ(X,Y)] =??

R×Rφ(x,y)dxdy .(2)

Application : covarianceEn appliquant la formule pr´ec´edente, on obtient, pour un couple (X,Y) dont la loi jointe admet la densit´ef, et de lois marginalesfXetfY, cov(X,Y) =E[XY]-E[X]E[Y] =??

R×Rxy{f(x,y)-fX(x)fY(y)}dxdy .

Corrig´e de l"exercice 7.1 (iv).On sait d´ej`a queYsuit la loi exponentielle. DoncE[Y] = var(Y) = 1. Pour calculerE[X] etE[X2], on applique la formule (2) aux fonctions (x,y)?→ 7 xet (x,y)?→x2.

E[X] =?

0? 0 xe-x/ye-y/ydxdy=? 0 ye-y?∞ 0 x/ye-x/ydx/ydy 0 ye-ydy? 0 te-tdt= 1 ;

E[X2] =?

0? 0 x2e-x/ye-y/ydxdy=? 0 y2e-y?∞ 0 (x/y)2e-x/ydx/ydy 0 y2e-ydy? 0 t2e-tdt= 2×2 = 4.

On rappelle que pour tout entierk,?∞

0tke-tdt=t!. On montrerait de mˆeme que pour

toutk,E[Xk] = (k!)2. On a donc var(X) = 3. Enfin, cov(X,Y) =? 0? 0 xye-x/ye-y/ydxdy=? 0 y2e-y?∞ 0 x/ye-x/ydx/ydy 0 y2e-ydy? 0 te-tdt= 2×1 = 2. On obtient donc cov(X,Y) =E[XY]-E[X]E[Y] = 2-1 = 1.8quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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