[PDF] Méthode des éléments-finis par lexemple

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M ´ethode des´el´ements-finis par l"exemple

Daniel Cho

¨ı1

LMNO

Groupe M

´ecanique Mod´elisation Math´ematique et Num´erique

Universit

´e de Caen, Bld Mar´echal Juin, 14032 Caen Cedex, France

Version Janvier 2016

1. daniel.choi@unicaen.fr

M ´ethode des´el´ements-finisCe document est inspir ´e d"un cours enseign´e enMaster Ing ´enierie M´ecanique`a l"univer- sit ´e de Caen. Il s"inspire de nombreux ouvrages bien plus complets tels que [Bat96] et [ZT00], ainsi que divers documents de coll `egues universitaires. Il est destin´e aux´etudiants en Master de Math ´ematiques appliqu´ees et M´ecanique ainsi qu"aux´el`eves ing´enieur. Ce document est bien sur incomplet : il manque des chapitres entiers, des d

´emonstrations,

des exemples, etc. Toute remarque est la bienvenue, m

ˆeme en ce qui concerne les problablement

nombreuses fautes d"orthographes et de Franc¸ais. c

Daniel Cho¨ı 2010--2Universit´e de Caen

M

´ethode des´el´ements-finis

Table des mati

`eres

1 Introduction

7

1.1 Probl

`eme aux limite et formulation variationnelle, quelques exemples. . . . . . 11

1.1.1 Probl

`eme mod`ele 1d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.2 Probl

`eme mod`ele 2d ou 3d : probl`eme de Poisson. . . . . . . . . . . . . 12

1.1.3 Probl

`eme 2d :´elasticit´e plane lin´eaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.4 Probl

`eme 2d/3d : probl`eme de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.5 Probl

`emes non-lin´eaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.6 Probl

`emes dynamiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Cadre th

´eorique : espaces de Hilbert et espaces de Sobolev15

2.1 Espace vectoriel norm

´es de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Espaces de Banach

16

2.3 Espaces de Hilbert

16

2.4 Exemples :?2et les espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.1 Espace des fonctions de carr

´e int´egrable?2. . . . . . . . . . . . . . . .17

2.4.2 Espaces de SobolevHm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

2.5 Repr

´esentation de Riesz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.6 Th

´eor`emes de projection dans un Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.7 R ´egularit´e des Espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.7.1 Notion de trace dans un espace de Sobolev

21

2.7.2 In

´egalit´e de sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Formulation variationnelle

25

3.1 Probl

`eme variationnel abstrait : th´eor`eme de Lax-Milgram. . . . . . . . . . . . 25 3.2 M ´ethode de Galerkin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 M ´ethode de Galerkin en dimension finie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.1 Premier exemple et exercices

30
c

Daniel Cho¨ı 2010--3Universit´e de Caen

M

´ethode des´el´ements-finis3.3.2 El

´ement-finis et m´ethode de Galerkin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4 ´El´ements-finis par l"exemple : El´ements-finis isoparam´etriques33

4.1 Probl

`eme 1D, interpolationP1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

4.1.1 Maillage SEG2 et interpolation lin

´eaire par morceaux :´el´ementP1de

Lagrange

34
4.1.2 ´El´ements-finisP1, le syst`eme lin´eaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1.3 Technique d"assemblage

38

4.1.4 Application num

´erique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1.5 Estimation d"erreur

43

4.1.6 Programme Scilab

43
4.2 ´El´ement-finis 1D dans le plan, structures en treillis. . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3 Exemple 2D sur maillage triangulaire : Probl

`eme de Poisson. . . . . . . . . . . 46

4.3.1 Maillage triangulaire

`a 3 noeuds et interpolationP1de Lagrange. . . . 47

4.3.2 Matrice de rigidit

´e´el´ementaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3.3 Calcul du second membre

51

4.3.4 Prise en compte des conditions aux limites et r

´esolution. . . . . . . . . 51

4.4 Exemple 2D sur maillage quadrangulaire : Probl

`eme de Poisson avec condition de Dirichlet et condition de Neuman 52

4.4.1 Maillage quadrangulaire

`a 4 noeuds et interpolation lin´eaire. . . . . . . 53

4.4.2 Interpolation lin

´eaire sur un quadrangle. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4.3 El

´ement de r´eference et formule de Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.5 Exemple 3D : M

´ecanique des milieux continus. . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.5.1 ´El´ement t´etrah`edriques`a 4 noeuds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.5.2 ´El´ement prisme`a 6 noeuds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.5.3 ´El´ement cubique`a 8 noeuds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5 Exemples non-isoparam

´etrique65

5.1 Poutre en flexion, interpolationP3sur maillage SEG2. . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.1 Le mod

`ele de Bernouilli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.2 Principe des travaux virtuels

66

5.1.3 Maillage SEG2 et InterpolationP3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

5.1.4 Calcul de la matrice rigidit

´e`a la flexion. . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.2 Element MITC4 pour les plaques en flexion

69

6 Annexes : Rappels de Math

´ematiques73

6.1 Rappels en alg

`ebre lin´eaire, analyse matricielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.2 Rappels d"optimisation quadratique

73

6.3 Th

´eor`emes de projection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.4 Int

´egration num´erique de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 c

Daniel Cho¨ı 2010--4Universit´e de Caen

M ´ethode des´el´ements-finis6.4.1 3 noeuds d"int ´egration de Gauss sur un triangle de r´ef´erence. . . . . . . 75

6.4.2 7 noeuds d"int

´egration de Gauss sur un triangle de r´ef´erence. . . . . . . 75

6.4.3 4 noeuds d"int

´egration de Gauss sur un quadrangle de r´ef´erence. . . . . 76 c

Daniel Cho¨ı 2010--5Universit´e de Caen

M

´ethode des´el´ements-finisc

Daniel Cho¨ı 2010--6Universit´e de Caen

M

´ethode des´el´ements-finis

CHAPITRE 1

Introduction

La m

´ethode des´el´ements-finis (MEF) est une m´ethode d"approximation num´erique de solu-

tions de probl `emes aux limites statiques ou dynamiques tels que dif fusionthermique m ´ecanique des milieux continus (solides et fluides)

´electromagn´etisme et electrostatique

Probl `emes multi-physiques (couplage thermo-m´ecanique ou pi´ezo-´electrique) mais en fait, absolument tous les probl `emes d"´equations aux d´eriv´ees partielles (EDP) aux limites dans des domaines divers tels que la finance.

Il s"agit, comme dans toutes les m

´ethodes num´eriques, de trouver une approximation discr`ete.

Pour faire bref, d"un probl

`eme diff´erentiels aux limites lin´eaire, on trouve une formulation variationnelle associ ´ee´equivalente, dont on calcule une approximation de la solution en projetant sur un espace de dimension finie, ce qui revient `a r´esoudre au final un syst`eme lin´eaire, chose que les ordinateurs savent tr `es bien faire.

Bien que construit sur des probl

`emes lin´eaires statiques, les probl`emes dynamique et non- lin

´eaires peuvent´egalementˆetre trait´es par la m´ethodes des´el´ements-finis via en lin´earisant et

proc ´edant pas`a pas ou par des m´ehodes de r´eduction.

L"appellation

´el´ements finis vient de la d´ecomposition du domaine d"´etude en´el´ements : ils sont souvent repr

´esent´es par un maillage, voir figure1.1

Historiquement, l"origine de la m

´ethode peut se trouver dans les travaux de Fermat et Ber- nouilli (1743) avec le calcul des variations, puis il faut attendre le d

´ebut du XX`eme si`ecle avec les

progr `es en analyse avec la m´ethode de Galerkin se basant sur des th´eor`emes de projection dans c

Daniel Cho¨ı 2010--7Universit´e de Caen

M ´ethode des´el´ements-finis FIGURE1.1 - Maillages les espaces de Hilbert. En 1943 Robert Courant introduit le principe variationnel avec des fonctions de base `a sup- port locaux ouvrant la voie `a une division d"un domaine consid´er´e en "´el´ements". Cependant ce n"est qu"avec le d ´eveloppement des ordinateurs que ces travaux trouve leurs applications avec les travaux pionniers de Zienckiewiz et Argyris qui d

´efiniront la m´ethode en 1960.

Ce qui am

`ene le succ`es de la m´ethode et sa puissance est l"apport du calcul matriciel, in- troduit par un ing ´enieur civil anonyme. La m´ethode connaˆıt alors un d´eveloppement fulgurant accompagn

´e par les progr`es de l"informatique.

La m

´ethode des´el´ements-finis est une m´ethode puissante bas´ee sur une th´eorie math´ematique

rigoureuse.

Aujourd"hui, les

´el´ements-finis sont un outil majeur, incontournable en m´ecanique (fluides et solides, interactions, structures), et applicable dans de nombreux domaines impliquant des probl De nombreux codes industriels (solveurs) existent et sont g

´en´eralement coupl´es`a un logiciels

de CAO

1ou Computer Aided Design (CAD) en Anglais. Citons Ansys, Abaqus, Robot, LS-dyna,

Feap, Code-Aster, Cast3M et bien d"autres.

Notation et conventions

Dans ce document, nous serons parfois amen

´e`a utiliser quelques conventions de notations propres `a la m´ecanique. En particulier nous utiliserons la convention de sommation par rapport aux indices r

´ep´et´es (on lit´egalementconvention d"Einstein) et nous noterons souvent les d´eriv´ees

partielles `a l"aide d"un indice pr´ec´ed´e d"une virgule. Nous commenc¸ons toutefois par quelques notations utilis

´es dans ce document qui sont du

reste tout `a fait usuel.1. Conception assist

´ee par Ordinateur

c

Daniel Cho¨ı 2010--8Universit´e de Caen

M

´ethode des´el´ements-finisNotations

Nous n"avons pas cherch

´e`a faire dans l"originalit´e, ainsi dans tout le document?d´esigne l"espace des nombres r ´eels tandis que?sera l"espace des nombres complexes.

Les quantit

´es scalaire seront syst´ematiquement not´e en italique, tandis que les objets vecto- riels seront not ´e soit avec une fl`eche soit en caract`ere gras : On d ´esigne g´en´eralement parfougunefonction scalaire Lesobjets vectorielsseront souvent d´esign´e parudont les composantesuisont des quan- tit

´es scalaires.

Lesymbole

d

´esigne souvent les nombres 2 ou 3.

Convention de sommation suivant les indices r

´ep´et´es

´ep´et´esestuneconven-

tion destin ´e`a all´eger les´ecritures dans les formules math´ematiques sans pour autant les rendre ambigu. La convention implique une sommation sur des termes produits d

´es lors qu"ils pr´esentent des

indice r

´ep´et´es :

Ainsi, par exemple, pourx= [x1;x2;:::;xn]>ety= [y1;y2;:::;yn]>, deux vecteurs de n, le produit scalaire : x:y=nX i=1x iyi; o `u l"on remarque l"indiceiqui apparaˆıt r´ep´et´e, sera not´e plus simplement : x:y=xiyi: De m

ˆeme pour un produit de matricesC=BA:

c kj=mX i=1b kiaij!ckj=bkiaij: Si un vecteurxa pour composantes(x1;x2;:::;xn)dans la basee1;e2;:::;en, on´ecrit x=nX i=1x iei!x=xiei Si on note, dans?3le produit mixte des vecteurs de la base canonique : ijk= (ei;ej;ek) =ei:(ej^ek) c

Daniel Cho¨ı 2010--9Universit´e de Caen

M

´ethode des´el´ements-finisOn peut

´ecrire le produit mixte de trois vecteursa,betcpar (a;b;c) =3X i=13 X j=13 X k=1" ijkaibjck!(a;b;c) ="ijkaibjck; o `u on a appliqu´e la convention sur les trois indices r´ep´et´esi,jetk.

Notation des d

´eriv´ees partielles

En m ´ecanique et en math´ematiques en g´en´eral, nous avons souvent affaire`a des syst`emes d"

´equations aux d´eriv´ees partielles. Ainsi pour all´eger les notations on pr´ef´erera utiliser la nota-

tion en indice pr

´ec´ed´e d"une virgule :

@f@x =f;x @u i@x j=ui;j 2ui@x j@xk=ui;jk:

Si on consid

`ere une fonction scalairefd´efini sur ?n(`a valeur dans?) alors pour toute directionh= [h1;h2;:::;hn]>, on´ecrit la d´eriv´ee defdans la directionh: rf(x)(h) =nX i=1@f@x i(x)hi! rf(x)(h) =f;i(x)hi: o `u on a´egalement utilis´e la convention de sommation suivant les indices r´ep´et´es.

Indices et exposant Grecs ou Latins

Bien que la plupart des th

´eories math´ematique soit pr´esent´e dans un espace abstrait de dimen-

sionn, en M´ecanique les probl`emes sont g´en´eralement pos´es dans les variables d"espace. C"est`a

dire qu"on travaille en dimension 3 en g ´en´eral et en dimension 2 pour des probl`emes plans. Alors, il est une fac¸on bien commode si un probl `eme est en dimension 2 ou 3 : l"utilisation r ´eserv´ee des indices et exposants Grecs en dimension 2, l"utilisation r ´eserv´ee des indices et exposants Latins en dimension 3.

Ainsi le syst

`eme ij;j+fj= 0i=f1;2;3g identifie imm ´ediatement un probl`eme`a trois dimension (avec une sommation surj), tandis que dans ;+f= 0=f1;2g c

Daniel Cho¨ı 2010--10Universit´e de Caen

M ´ethode des´el´ements-finison reconnait un probl `eme en dimension 2 (avec une sommation sur) . 1.1

Pr obl

exemples

Dans cette section nous pr

´esentons sans les r´esoudre quelques probl`emes typiques pouvant

etre r´esolus par la MEF. Il s"agit syst´ematiquement de probl`emes aux limites dont on peut trou-

ver une formulation variationnelle ´equivalente. Les probl`emes de Cauchy ne sont a priori pas r ´esoluble par la MEF, du moins pas de fac¸on directe. 1.1.1

Pr obl

`eme mod`ele 1d

Soit le probl

`eme aux limites pour une fonction scalaire d´efinie sur[0;1]: ku00+u=f[0;1] u(0) = 0 u(1) = 0(1.1) que l"on r ´e´ecrit sous sa forme variationnelle´equivalente : 8>< :Trouveru2H10([0;1])telle queZ [0;1]ku0u0+uu=Z [0;1]fu8u2H10([0;1])(1.2) On pr ´ecisera plus tard cette´equivalence et l"espace de SobolevH10([0;1]), qui correspond`a un es- pace de fonctions pour lesquelles les int ´egrales de (1.2) ont un sens et qui satisfont aux conditions aux limitesu(0) =u(1) = 0, voir la section2.4 et plus pr ´ecis´ement la proposition2.7.4 .

Ce probl

`eme peut mod´eliser l"´equilibre thermique d"une barre chauff´ee`a ses extr´emit´es et

plong

´ee dans une pi`ece maintenue`a une temp´erature donn´ee,kd´esignant alors le coefficient de

diffusion thermique de la barre etest un coefficient de perte de chaleur due`a la convection de l"air. Pourk= 1,= 1etf= 1, nous trac¸ons sur la figure1.2 la soluti on´el´ements-finis avec une interpolation polynomiale de degr ´e 1 sur une subdivision de[0;1]en 3 intervalles (´el´ements) en comparaison de la solution exacteuexactdu probl`eme (1.1) : u exact= 1 +1e1ex+ee+ 1ex: c

Daniel Cho¨ı 2010--11Universit´e de Caen

M

´ethode des´el´ements-finis0.00.510.00.1

x u MEFexactFIGURE1.2 - La solution exacte et une solution EF (3´el´ements) du probl`eme (1.2) 1.1.2

Pr obl

`eme mod`ele 2d ou 3d : probl`eme de Poisson

Soit le probl

`eme aux limites pour une fonction scalaire d´efinie sur ?2: u=f u= 0@ (1.3) que l"on rquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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