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Thème :FONCTIONS

Introduction:

La notion de fonction est introduite,formellement, en classe de 3ème:

On y étudie la notion d'image, d'antécédent, les fonctions linéaires et affines ainsi que le

coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine. Puis en seconde, on introduit l'ensemble de définition d'une fonction, le maximum et le

minimum d'une fonction ainsi que la monotonie et on étudie des fonctions de réfgérence telles

que la fonction carré, la fonction inverse, les fonctions circulaires et les fonctions polynômes

du second degré et on résout des équations de la forme f(x)= k.

En première, on introduit la limite d'une fonction, la dérivation des fonctions, la composée de

fonctions, on étudie des fonctions usuelles telles que la fonction valeur absolue,les fonctions puissances et on fait le lien le signe de la dérivée d'une fonction et ses variations. En terminale, on étudie des " nouvelles » fonctions telles que la fonction exponentielle, la fonction logarithme, les fonctions définies par uné intégrale, on voit aussi la notion de continuité d'une fonction ainsi que les primitives d'une fonction. Résolution de l'exercice proposé par le jury:

L'exercice proposé est un problème d'optimisation géométrique : en effet, on recherche le

maximum d'une grandeur , en l'occurence: l'aire du rectangle.

1/ Expliquez pourquoi x appartient à l'intervalle [0,12]

On a les systèmes équivalents suivants: x0 x0 y0 <=> y0 xy=12 y=12-x0D'où : 12-x0 et

2/Calculer A(x) et démontrez qu'on a A(x) = -(x-6)²+36.

A(x)= x∗y=x∗24-2x

2= 24x-2x²

2=12x-x²=x∗12-x

D'autre part, -x-6²36=-x²-12x3636=-x²12x=x∗12-x=Ax

ainsi on a : Ax=-x-6²36. Commentaire: Contrairement à ce que j'ai compris, uen seule de méthode de résolution est demandée par le jury d'où l'abandon de la méthode de " la forme canonique ».

3/ Déduisez-en la valeur maximale prise par A ainsi que la nature du rectangle quand cette

aire est maximale.

Première méthode (1ère):

On utilise la notion de dérivation introduite en classe de 1ère:

A(x)= -(x-6)²+36

A'(x)= -2*(x-6)=2*(6-x)

En étudiant le tableau de variation de cette fonction , on remarque que le maximum est atteint quand x =6 et on a, dans ce cas, A(x)=36 qui est la valeur maximale prise et ainsi x=y=6 d'où la nature du rectangle qui deveint un carré.

Deuxième méthode: (2de):

On utilise la définition de maximum vue en classe de seconde: a est le maximum de A(x) si pour tout x∈[0,12],Ax12On a :

x-6²0 i.e -x-6²0 -x-6²3636 donc Ax36 et on en déduit que 36 est le maximum de cette

fonction, et dans ce cas x=y=6 et la nature du rectangle est : un carré.

2/ Exercices proposés utilisant l'étude et la variation d'une fonction pour des problèmes

d'optimisation issues d'une situation géométrique :

EXERCICE 1: (Niveau 3ème) :

Un surveillant de baignade doit circonscrire une zone de baignade rectangulaire dont la surface soit la plus grande possible prenant appui sur le bord d'un lac à l'aide d'un cordon muni de flotteurs. Comment doit-il disposer son cordon, sachant que sa longueur est de 160 m ?

Commentaire:

Etant donné qu'en classe de troisième, on n'a pas les outils tels que la dérivation d'une fonction , la notion(explicite) de maximum d'une fonction sur un intervalle , je propose de conjecturer le résultat de cet exercice à l'aide du Tableur et du Logiciel de géométrie dynamique Géogébra.

Si on note l la mesure en mètres du pemier côté, l'aire est définie pour l compris entre 0 et 80;

l'aire est donnée en m² par A(l)=l*(160-2l): on remarque que l'aire augmente puis diminue ; que le maximum est atteint pour l=40 et vaut 3200m². Pour chercher à justifier le maximum, on peut penser à représenter graphiquement la

fonction A: en utilisant géogébra, on obtient la courbe(jointe), qui confirme le résultat obtenu

précedemment. N.B: Pour représenter une fonction sur un intervalle, utiliser :

Fonction[x*(160-2*x),0,80]

Exercice 2 : Carré et Domino : (Niveau 1ère S): On coupe une ficelle de 1m de longueur pour entourer deux surfaces: un carré et un domino(rectangle deux fois plus long que large). Où doit-on couper la ficelle pour que la somme des deux aires soit minimale?maximale? Soit x la longueur entourant le carré en mètre; 1-x est la longueur restante.

Le côté du carré estx

4Le rectangle est deux fois plus long que large et son périmètre est 1-x, donc ses dimensions snt

1-x

6et1-x

3On peut exprimer, donc, l'aire de chaque figure et étudier la somme des aires.

Le carré a pour côté

x

4, donc pour aire

x²

16(en m²)

L'aire du rectangle est égale à

1-x²

18On est donc conduit à étudier le max et le min éventuels de :

Ax=1

16x²1

181-x²sur[0,1]Après développement et réduction, on obtient: fx=17

144x²-1

9x1

18 On reconnaît un trinôme du second degré avec a=17

144et-b

2a=8

17donc le min est atteint en x=8

17etona:f8

17=1

34
La somme des aires est minimale lorsque x=8/17 ~~0,47 m la somme des aires est maximale lorsque x=1 i.e lorsque la ficelle n'est pas coupée( seul le carré est formé) Remarque: Si l'on impose que la ficelle soit effectivement coupée, alors x appartient à ]0,1[ et la fonction f n'a pas de max sur ]0,1[.

Exercice3 : La gouttière: (Niveau 1ère S)

1)On plie à angle droit les deux bords d'une feuille de zinc rectangulaire de 24 cm de

largeur pour former une gouttière. Déterminer la hauteur des bords repliés pour obtenir une capacité maximale. 2) Contre la façade rectangulaire ABCD, on désire placer une gouttière en forme de Y pour évacuer les eaux de pluie recueillies en C et D.

I est le milieu de [AB].

Où doit-on placer le point M pour que la longueur de tuyau soit minimale?(On néglige l'épaisseur de tuyau).

Résolution :

1/Il s'agit de rendre maximale l'aire rectangulaire de cette section.

On note x la hauteur repliée en centimètres

0x12

Cette aire est égale à x*(24-2x).

Il s'agit de déterminer le maximum éventuel de la fonction f:x->x.(24-2x) sur [0,12] f est dérivable sur [0,12] et comme f(x) =-2x²+24x, il vient : f'(x)=-4x+24=4*(6-x)

Donc f'(x) est du signe de 6-x.

On déduit du tableau de variations que la capacité est maximale lorsque x=6cm.

2/ On note :

h=AD et d=AI; la longueur totale du tuyau est DM+MC+MI,soit encore 2DM+MI On pose: x=HM, on a : DM=x²d2et MI= h-x.

MDH, ona donc:

DM=d coset MI=h-HM=h-dtan

La longueur est alors f=2d

On doit minimiser fsur ]0, 2[ f est dérivable sur ]0,

2[ et f'=2d.sin

cos2- d cos2=d

Ainsi f'() est du signe de 2sin-1; le sens de variation de f s'en déduit et on déduit

que la longueur du tuyau est minimale lorsque

6 et ce indépendamment de h et d.

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