Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
Mais encore faut-il montrer qu'une telle primitive existe : ce sera un résultat important du chapitre consacré `a l'intégration. La fonction exp est ensuite
Analyse 1 FONCTIONS DERIVABLES 1. La dérivée dune fonction
La dérivée d'une fonction. Définition. Soient I un intervalle de R f : I ? R une fonction et a ? I. On dit que f est dérivable en a si f(x) ? f(a).
Dérivabilité des fonctions Définition de la dérivabilité Sur un
Les fonctions usuelles sont dérivables sur leur ensemble de définition ouvert. Si dans un énoncé on demande de montrer qu'une fonction est dérivable sur un.
Continuité et dérivabilité dune fonction
7 nov 2014 Définition 1 : Dire qu'une fonction f a pour limite ? en a signifie que tout intervalle ouvert contenant ? contient.
Poly fonctions R dans R Tout les methodes
Comment calculer la dérivée d'une fonction f sur un intervalle I après en avoir justifié la dérivabilité? . . 117. Comment montrer qu'une fonction f est de
FONCTIONS DE CLASSE C1
C si elle est dérivable sur cet intervalle et si sa dérivée 'f est 3) Justifier que la fonction f est de classe 1. C sur 01 . ... 5) Montrer que.
DÉRIVATION (Partie 2)
On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I. Méthode : Démontrer qu'une fonction valeur absolue n'est pas dérivable.
Sans titre
Comment montrer qu'une fonction est dérivable en utilisant la limite de la dérivée ? .... 160. 4. Comment calculer la dérivée n-ième d'un produit de ...
10.2 Fiche méthodologique : Etude de la continuité de la
Montrer qu'une fonction est continue dérivable
Dérivabilité
f est donc M-lipschitzienne. Corollaire : inégalité des accroissements finis. Exercice. Montrer que la fonction sinus est 1-lipschitzienne sur R.
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Montrer que les fonctions trigonométriques sin et cos sont dérivables (et calculer leurs dérivées) n'est pas évident et dépend des définitions que l'on donne
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On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en tout point de I On note f la fonction dérivée de f qui à tout x ?I
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7 nov 2014 · La fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement si f est continue en tout point de I Remarque : Graphiquement la continuité d
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Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I
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Si dans un énoncé on demande de montrer qu'une fonction est dérivable sur un intervalle il y a juste une phrase à faire Exemple Montrer que f(x) = (x² +
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Montrer que f est dérivable en 3 et calculer ƒ (3) et f'(3) Solution Rolle essayer d'appliquer le théorème de Rolle à une fonction auxiliaire
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Montrer que la fonction f (x) = x (qui est continue en x0 = 0) n'est pas dérivable en x0 = 0 4 Calculer l'équation de la tangente (T0) à la courbe
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On dit que f est dérivable sur R et que sa fonction dérivée est définie par f (x) = 2x 2 Dérivées des fonctions usuelles : Fonction Fonction dérivée pour tout
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31 déc 2021 · Soit a P I La fonction f est dite dérivable en a lorsque la limite lim 1 4 Montrer qu'une fonction est dérivable (ou pas)
Comment justifier qu'une fonction est dérivable ?
On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en tout point de I. On note f la fonction dérivée de f qui à tout x ?I associe f (x). Si g ne s'annule pas sur I, f g est aussi dérivable sur I et ( f g ) = f g ? fg g2 . f (x) = ax + b cx + d .Quand la fonction est derivable ?
"f est dérivable sur I" signifie que f est dérivable en tout élément x de I. La fonction dérivée de f sur I, notée f', est la fonction qui à tout x I fait correspondre f'(x). Lorsque f est dérivable en a, la courbe représentative de f admet au point A d'abscisse a, une tangente de coefficient directeur f'(a).Comment prouver qu'une fonction est dérivable sur R ?
Une fonction f:I?R f : I ? R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe ??R ? ? R et une fonction ? définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh?0?(h)=0 lim h ? 0 ? ( h ) = 0 tels que ?h?J, f(a+h)=f(a)+?h+h?(h).- Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ? I. Si f est dérivable en a Alors f est continue en a. f(x) = f(a), et donc que f est donc continue en a.
![[PDF] Dérivabilité des fonctions](https://pdfprof.com/Listes/17/57631-17dvbilite.pdf.pdf.jpg "[PDF] Dérivabilité des fonctions")
Dérivabilité des fonctions Définition de la dérivabilité Sur un intervalle
Les fonctions usuelles sont dérivables sur leur ensemble de définition ouvert. Si dans un énoncé, on demande de montrer qu'une fonction est dérivable sur un intervalle, il y a juste une phrase à faire.Exemple
Montrer que f(x) = (x² + 3x) 8+x est dérivable sur ][+¥-;8 . La fonctio est le produit d'un polynôme (x² + 3x) dérivable sur R et d'une racine continue sur ][+¥-;8 donc elle est dérivable sur ][+¥-;8 . Attention : vous remarquerez la différence entre l'exemple de la continuité et celui-ci : l'intervalle d'étude est totalement ouvert !En un point
Là encore, il n'y a qu'une chose à faire : connaître la formule et l'utiliser Une fonction est dérivable en a si et seulement si ax afxf ax- )()(lim est un nombre finiExemple
Montrer que la fonction f(x) = xx²est dérivable en 0§ On commence par calculer 0
)0()( x fxf puis on étudie sa limite en 0 : xxx xx x fxf==- 0 )0()( et 0lim 0=®xx
x § Ensuite on regarde si la limite trouvée est un nombre fini : 0 est bien un nombre fini. § On conclut : f est dérivable en 0 et f '(0) = 0Dérivabilité et conséquence graphique
Lorsqu'une fonction est dérivable en a, f '(a) est le coefficient directeur de la tangente à la
courbe de f au point d'abscisse a. En particulier, si f '(a) = 0, la tangente est horizontale. Lorsqu'une fonction n'est pas dérivable en a et que ¥=-®ax
afxf ax )()(lim, la courbe de f admet au point d'abscisse a une tangente verticale . Visualisons pourquoi la tangente est verticale dans ce cas On sait que le coefficient directeur correspond à l'angle entre l'axe des abscisses et la droite . Sur le graphique suivant , on a tracé des droites de coefficient directeur de plus en plus grand , on s'aperçoit que ces droites s'approchent de la verticale , donc un coefficient directeur infini conduit à une droite verticale .La droite rose a pour coefficient : 0,5
La droite rouge : 1
La droite bleue :1,5
La droite verte : 3
Dérivabilité des fonctions
Exemple 1
Soit f(x) = 1²+x . Etudier la dérivabilité de f en 0 ()()()()11²11²11²
11²11²11²
0 )0()( x x xx x xx xx x x x fxf211²lim
0=++ ®x x donc 011²lim0=++®x
x x La fonctio est donc dérivable en 0 et f '(0) = 0 Donc la courbe de f admet au point d'abscisse 0 une tangente horizontaleExemple 2
Soit f(x) = 1+x . Etudier la dérivabilité de f en - 1 1 1 1 1 1 )1()( xx x x fxf et + -®=+01lim 1x x donc +¥=-- +-®)1( )1()(lim 1x fxf xLa fonctio n'est pas dérivable en - 1
La courbe de f admet une tangente verticale au point d'abscisse - 1 .Exemple 3
Soit f(x) = 1-x . Etudier la dérivabilité en 1 11 1 1 )1()(=- x x x fxf si x > 1 et 11 1 1 )1()(-=- x x x fxf si x < 1 .Donc 11
)1()(lim 1-=- -®x fxf x et 11 )1()(lim 1=- +®x fxf x .La fonctio n'est pas dérivable en 1 car les limites à gauche et à droite sont différentes
La courbe admet deux demi-tangentes .
Exercices
Exercice 1
1) Soit la fonctio définie par f(x) = ÷ø
ae xx1sin si x ¹0 et f(0) = 0 . Etudier la dérivabilité de f en 0 .2) Soit la fonction f(x) = x . Etudier la dérivabilité de f en 0
3) Soit la fonction f définie par f(x) = x² si x ³ 0 et f(x) = x - 1 si x < 0 . Etudier la
dérivabilité de f en 0 .4) Soit la fonctio définie par f(x) = x² si x ³0 et f(x) = x si x < 0 . Etudier la
dérivabilité de f en 0 .5) Soit la fonctio définie par f(x) = x² si x ³ 0 et f(x) = - x² si x < 0 . Etudier la
dérivabilité de f en 0 .Dérivabilité des fonctions
Exercice 2
Dire si les phrases suivantes sont vraies ou fausses :1) La fonctio définie par f(x) = 1²
1 x x est continue en 12) La fonctio définie par f(x) = 1
1² x x est continue en 1 3) 5 4 4554lim=-
+¥®x x x4) +¥=+
1limx x x5) Si +¥=
¥+ulim et u < v alors +¥=
¥+vlim
6) Si +¥=
¥+ulim et v < u alors +¥=
¥+vlim
7) La fonction g(x) = 1²
cos +x x n'a pas de limite en ¥+8) 0lim®x1²
cos +x x = 19) La courbe de la fonction f(x) = 1²
1²2
x x admet trois asymptotes10) La courbe de la fonction f(x) = 1²2
1² x x admet trois asymptotes11) La dérivée de cos(x²) est - 2 x sin(x²)
12) La dérivée de cos² x est - 2 x sin(x²)
13) La dérivée de 42
1 +x est ()342 1 +x14) La dérivée de tan x est tan² x - 1
15) 01coslim0=-
®x x x16) La dérivée seconde de ( x² - 4 ) ( 2x - 3 ) est 6 ( 2x - 1 )
17) La tangente au point d'abscisse 1 à la courbe de la fonction f(x) = x3 + x + 1 a pour
équation y = 4x - 1
18) La fonction f(x) = 1-xx est dérivable sur [[+¥;1
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