[PDF] [PDF] Continuité et dérivabilité dune fonction - Lycée dAdultes





Previous PDF Next PDF



Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse. Elle permet d'étudier les variations d'une fonction de construire des tangentes `a une courbe 



DÉRIVABILITÉ

Dérivabilité : On dit que f est dérivable en a si la limite : lim Ensuite pour tout k ? ?



Dérivabilité

Le nombre dérivé f?(x0) est alors le coefficient directeur de la tangente à la courbe f au point M0. 2. Page 3. Cours de mathématiques. ECE1. 0 f.



Cours de mathématiques Chapitre 4 : Dérivabilité

Cours de mathématiques. Terminale S1. Chapitre 4 : Dérivabilité. Année scolaire 2008-2009 mise à jour 22 novembre 2008. Fig. 1 – Jean Dausset.



Continuité et dérivabilité dune fonction

7 nov. 2014 Définition 1 : Dire qu'une fonction f a pour limite ? en a signifie que tout intervalle ouvert contenant ? contient.



Résumé de cours et méthodes 1 Nombre dérivé - Fonction dérivée

Dérivation : Résumé de cours et méthodes. 1 Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION. • Etant donné f est une fonction définie sur un intervalle I 



Fonctions : limites continuité

http://www.cpt.univ-mrs.fr/~mmadi/fonction.pdf



Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles

Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles. Le cours sera illustré à l'aide du logiciel de calcul formel gratuit Maxima.



Cours de mathématiques - Exo7

Voici deux autres formulations de la dérivabilité de f en x0. Proposition 1. – f est dérivable en x0 si et seulement si lim h?0 f (x0 +h)? f (x0).



Définition : Dérivabilité en un point Définition : Dérivabilité à droite

Définition : "Dérivabilité en un point". Interprétation graphique du nombre dérivé : Soit une fonction définie sur un intervalle ouvert et dérivable 



[PDF] Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

Dérivabilité des fonctions réelles La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse Elle permet d'étudier les variations d'une fonction 



[PDF] Dérivation des fonctions

Dérivabilité sur un intervalle Opérations Dérivation d'une réciproque Extremum d'une fonction Théorème de Rolle Théorème des accroissements finis



[PDF] Dérivabilité - MP Dumont

Dérivabilité sur un intervalle Si est dérivable sur I et est dérivable sur J alors ? est dérivable sur I et ( ? )? = ( ? ? ) ? Exemple 



[PDF] Résumé de cours et méthodes 1 Nombre dérivé - Fonction dérivée

Dérivation : Résumé de cours et méthodes 1 Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION • Etant donné f est une fonction définie sur un intervalle I 



[PDF] Continuité et dérivabilité dune fonction - Lycée dAdultes

7 nov 2014 · Dérivabilité en 1 La dérivabilité à gauche de 1 ne pose pas de problème car une fonction polynôme est dérivable sur ] ? ?;1]



[PDF] Cours de mathématiques Chapitre 4 : Dérivabilité - Melusine

Cours de mathématiques Terminale S1 Chapitre 4 : Dérivabilité Année scolaire 2008-2009 mise à jour 22 novembre 2008 Fig 1 – Jean Dausset



[PDF] Dérivée dune fonction - Exo7 - Cours de mathématiques

Voici deux autres formulations de la dérivabilité de f en x0 Proposition 1 – f est dérivable en x0 si et seulement si lim h?0 f (x0 +h)? f (x0)



[PDF] Dérivabilité et convexité - Fontaine Maths

Cours de mathématiques ECT1 1 3 Approximation affine Soit f une fonction définie sur un intervalle I dérivable en a et Cf sa courbe représentative



[PDF] FONCTION DERIVÉE - maths et tiques

Le mot « dérivé » vient du latin « derivare » qui signifiait « détourner un cours d'eau » Le mot a été introduit par le mathématicien franco-italien Joseph 



[PDF] derivabilite-d-une-fonction-resume-de-cours-1pdf - AlloSchool

Dérivabilité et continuité : Si f une fonction est dérivable en 0 x alors f est continue en 0 x ? Dérivée des fonctions usuelles :

  • Comment déterminer la dérivabilité d'une fonction ?

    On dit qu'une fonction est dérivable en �� = �� ? si ces limites existent. Si seule la limite à gauche ou à droite existe, alors on dit que la fonction est dérivable en �� = �� ? à gauche ou à droite respectivement.

  • Quand la fonction est derivable ?

    "f est dérivable sur I" signifie que f est dérivable en tout élément x de I. La fonction dérivée de f sur I, notée f', est la fonction qui à tout x I fait correspondre f'(x). Lorsque f est dérivable en a, la courbe représentative de f admet au point A d'abscisse a, une tangente de coefficient directeur f'(a).

  • Comment justifier la dérivabilité d'une fonction ?

    Parfois, la fonction est définie par prolongement par continuité en ce point. Pour justifier de la dérivabilité en ce point, on revient alors à la définition, en calculant le taux d'accroissement et en vérifiant s'il admet une limite, ou alors, si on connait, on applique le théorème de prolongement d'une dérivée.
  • Définition. Si le quotient T a ( h ) = f ( a + h ) ? f ( a ) h tend vers un nombre réel lorsque h tend vers 0, alors on dit que f est dérivable en a.
[PDF] Continuité et dérivabilité dune fonction - Lycée dAdultes DERNIÈRE IMPRESSION LE7 novembre 2014 à 10:23

Continuité et dérivabilité d"unefonction

Table des matières

1 Continuité d"une fonction2

1.1 Limite finie en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Continuité en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Continuité des fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Théorème du point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Continuité et dérivabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 Continuité et équation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Dérivabilité6

2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Interprétations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Interprétation graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.2 Interprétation numérique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.3 Interprétation cinématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Signe de la dérivée, sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Dérivée et extremum local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Dérivées des fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5.1 Dérivée des fonctions élémentaires. . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5.2 Règles de dérivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5.3 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

PAULMILAN1 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

1 Continuité d"une fonction

1.1 Limite finie en un point

Définition 1 :Dire qu"une fonction

fa pour limite?ena, signifie que tout intervalle ouvert contenant?contient toutes les valeurs def(x)pourxassez proche dea- c"est à dire pour lesxd"un intervalle]a-η;a+η[. On note alors : lim x→af(x) =? a a+ηa-ηC f O?? Remarque :Parfois la fonctionfn"admet pas une limite ena, mais admet une limite à droite et une limite à gauche. C"est le cas de la fonction partie entièreE (voir plus loin). On a par exemple : limx→2-E(x) =1 et limx→2+E(x) =2

1.2 Continuité en un point

Définition 2 :Soit une fonctionfdéfinie sur un intervalle ouvert I. Soitaun élément de I. On dit que la fonctionfestcontinueenasi et seulement si : lim x→af(x) =f(a) La fonctionfestcontinue sur un intervalle Isi, et seulement si,fest continue en tout point de I. Remarque :Graphiquement, la continuité d"une fonctionfsur un intervalle I se traduit par une courbe en un seul morceau. 123

1 2 3 4 5-1

]Cf O

Fonctionfdiscontinue en 2

limx→2+f(x) =3?=f(2) 123

1 2 3 4 5-1

Cf O

Fonctionfcontinue sur[-1,5; 5,5]

La fonction de gauche représente une discontinuité par "saut". C"est le cas par exemple de la fonction partie entière ou plus pratiquement de la fonction qui représente les tarifs postaux en fonction du poids (brusque changement de tarif entre les lettres en dessous de 20 g et de celles entre 20 g et 50 g).

PAULMILAN2 TERMINALES

1. CONTINUITÉ D"UNE FONCTION

D"autres discontinuités existent. C"est par exemple le cas en 0 de lafonctionf définie parf(x) =sin1 xpourx?=0 etf(0) =0. ?x?R,?n?Z,n?xLafonction partie entièreEest alors définie par :E(x) =n

E(2,4) =2 ;E(5) =5 ;E(-1,3) =-2

On observe alors un "saut" de la fonction pour

chaque entier. La fonction partie entière n"est donc pas continue pourxentier. 123
-1 -21 2 3 4-1-2 O

Soit la fonctionfdéfinie par :???f(x) =sin1

xpourx?=0 f(0) =0

La fonctionfn"est pas continue en 0 bien qu"on

n"observe ici aucun "saut". La fonction oscille de plus en plus autour de 0 si bien qu"au voisi- nage de 0, la fonction tend vers une oscillation infinie qui explique la non continuité. 1 -11-1O

1.3 Continuité des fonctions usuelles

Propriété 1 :Admis

•Les fonctions polynômes sont continues surR. •La fonction inversex?→1xest continue sur]-∞;0[et sur]0;+∞[ •La fonction valeur absoluex?→ |x|est continue surR. •La fonction racine carréex?→⎷xest continue sur[0;+∞[ •Les fonctionsx?→sinxetx?→cosxsont continues surR •D"une façon générale, toutes fonctions construites par opération ou par com- position à partir des fonctions ci-dessus sont continues sur leur ensemble de définition, en particulier les fonctions rationnelles.

1.4 Théorème du point fixe

Théorème 1 :Théorème du point fixe

Soit une suite(un)définie paru0etun+1=f(un)convergente vers?. Si la fonction associéefest continue en?, alors la limite de la suite?est solution de l"équationf(x) =x.

PAULMILAN3 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

Démonstration :

On sait que la suite(un)est convergente vers?donc : limn→+∞un=? De plus, la fonctionfest continue en?donc : limx→?f(x) =f(?)

Par composition, on en déduit que : lim

n→+∞f(un) =f(?)?limn→+∞un+1=f(?) or lim Exemple :Reprénons l"exemple du chapitre 2, soit la suite(un) ?u0=0 u n+1=? 3un+4 On a montré que la suite(un)était positive, croissante et majorée par 4, elle est donc convergente vers?. La fonctionx?→⎷

3x+4 est continue sur[0;4], donc?

est solution de l"équationf(x) =x.

3x+4=xon élève au carré

3x+4=x2

x

2-3x-4=0

Cette équation a-1 et 4 comme solution. Or on sait queun?0. On en déduit que la seule solution acceptable est 4. La suite(un)converge vers 4.

1.5 Continuité et dérivabilité

Théorème 2 :Admis

•Sifest dérivable enaalors la fonctionfest continue ena. •Sifest dérivable sur un intervalle I alors la fonctionfest continue sur I. ?La réciproque de ce théorème est fausse Remarque :Laréciproquedecethéorèmeestfausse.Pours"enrendrecompte,on peut s"appuyer surunereprésentation graphique.Siunefonction est continuesur un intervalle, sa représentation graphique est en un seul morceau. Sila fonction est dérivable, sa représentation graphique admet une tangente en chacun de ses points. Un petit exemple :

La fonction dont la représentation est

ci-contre, est bien continue ena, car la courbe est en un seul morceau.

Par contre, la fonction n"est pas déri-

vable ena, car la représentation admet au point A deux demi-tangentes.

Onditquelacourbeadmetunpointan-

guleux A O a?

PAULMILAN4 TERMINALES

1. CONTINUITÉ D"UNE FONCTION

La fonction valeur absoluex?→ |x|est continue mais pas dérivable en 0.

1.6 Continuité et équation

Théorème 3 :Théorème des valeurs intermédiaires Soit une fonctioncontinuesur un intervalle I= [a,b]. Pour tout réelkcompris entref(a)etf(b), il existe un réelc?I tel quef(c) =k.

Remarque :Ce théorème est admis.

Ce théorème résulte du fait que l"image

d"un intervalle deRpar une fonction continue est un intervalle deR

Voici une illustration graphique. Icik

est bien compris entref(a)etf(b).

L"équationf(x) =kadmet donc des so-

lutions.

Le fait quecexiste ne veut pas dire

qu"il soit unique. Dans notre exemple, il existe ainsi trois valeurs pourc. abf(a) f(b)k c

1c2c3O

Théorème 4 :Théorème des valeurs intermédiaires bis Soit une fonctionfcontinue et strictement monotonesurI= [a,b]. Pour tout réelkcompris entref(a)etf(b), l"équationf(x) =ka une unique solution dans I= [a,b] Démonstration :L"existence découle du théorème précédent, et l"unicité de la monotonie de la fonction.

Remarque :

•On généralise ce théorème à l"intervalle ouvertI=]a,b[.kdoit alors être com- pris entre limx→af(x)et limx→bf(x) •Lorsquek=0, on pourra montrer quef(a)×f(b)<0.

•Ce théorème est parfois appelé le théorème de la bijection car lafonction réalise

une bijection de I surf(I). •Un tableau de variation pourra être suffisant pour montrer la continuitéet la monotonie de la fonction. Exemple :Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x3+x-1. Montrer que l"équationf(x) =0 n"admet qu"une solution surR. On donnera un enca- drement à l"unité de cette solution. Trouver ensuite, à l"aide d"un algorithme un encadrement à 10 -6de cette solution.

PAULMILAN5 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

123
-1 -20.5 1.0 1.5 Oα

La fonctionfest une fonctioncontinuesurRcarf

est un polynôme.

La fonctionfest la somme de deux fonctions crois-

santesx?→x3etx?→x-1, doncfeststrictement croissantesurR.

On af(0)=-1 etf(1)=1?f(0)×f(1)<0

donc d"après le théorème des valeurs intermé- diaires, la fonctionfadmet un uniqueα?[0,1] tel quef(α) =0.

Algorithme :Un algorithme utilisant le

principe dedichotomie(on divise l"intervalle en deux et on réitère l"opération) permet de trouver une approximation deαà la précision demandée. On pose :

•AetBles bornes de l"intervalle.

•Pla précision (entier positif).

•Nle nombre d"itérations.

On rentre alors :A=0,B=1,P=6 et

f(x) =x3+x-1

On obtient alors :A=0,682 327,B=0,682 328

etN=20. Il faut donc 20 itérations pour obtenir la préci- sion demandée

Variables:A,B,Créels

P,Nentiersffonction

Entrées et initialisation

LireA,B,P

0→N

Traitement

tant queB-A>10-Pfaire A+B

2→C

sif(A)×f(C)>0(*)alors

C→A

sinon

C→B

fin

N+1→N

fin

Sorties: Afficher :A,B,N

?Cette algorithme ne fonctionne que sik=0, si l"on veut généraliser cet algorithme à un réel

kquelconque, on peut : •demander à lireKet changer la ligne étoilée par : f(A)-K)×(f(C)-K)>0 •au lieu de rentrer la fonctionf, on rentre la fonctiongtelle que : g(x) =f(x)-k

2 Dérivabilité

2.1 Définition

Définition 3 :Soit une fonctionfdéfinie sur un intervalle ouvertIetaun point de I. On dit que la fonctionfest dérivable enasi et seulement si le taux d"accroissement de la fonctionfenaadmet une limite finie?ena, c"est à dire : lim h→0f(a+h)-f(a) h=? Dans ce cas, on appelle?le nombre dérivé defenaet on le notef?(a) Lorsque la fonctionfest dérivable sur un intervalle I, on notef?, la fonction dérivée qui à toutxdeIassocie son nombre dérivéef?(x).

PAULMILAN6 TERMINALES

2. DÉRIVABILITÉ

Remarque :

•Si la fonctionfest dérivable enaalors la fonctionfest continue ena •Les physiciens expriment volontiers une variation à l"aide du symboleΔ; il notent ainsiΔx=x-aetΔy=f(x)-f(a). Pour une variation très petite, on note alors dxet dy. On obtient alors la nota- tion différentielle de la dérivée : f ?=dy dxetf?(a) =dydx(a) Exemple :Soit la fonction par morceaux définie par : ?f(x) =x2-2x-2 six?1 f(x) =x-4 xsix>1 Étude de la continuité et de la dérivabilité en 1. •Continuité en 1. La continuité à gauche de 1 ne pose pas de problème, car une fonction polynôme est continue sur]-∞;1]. Il faut donc étudier la continuité

à droite.

lim x→1+x-4 x=-3 etf(1) =12-2×1-2=-3 on a donc : lim x→1+x-4 x=f(1)la fonctionfest donc continue en 1 •Dérivabilité en 1. La dérivabilité à gauche de 1 ne pose pas de problème car une fonction polynôme est dérivable sur]-∞;1]. six?1, on af?(x) =2x-2 doncf?g(1) =0 Pour la dérivabilité à droite, il faut revenir à la définition. On calcule alors : f(1+h)-f(1) h=1+h-4 1+h+3 h=4hh(1+h)=41+h

On a donc :

lim h→0-4

1+h=4 doncf?d(1) =4

Commef?g(1)?=f?d(1)la fonctionf

n"est pas dérivable en 1.

Graphiquement la fonctionfest en un

seul morceau et possède un point an- guleux en 1. -1 -2 -31 2 3 4-1-2 Cf A O

PAULMILAN7 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

2.2 Interprétations

quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
[PDF] dérivabilité sur un intervalle

[PDF] dérivabilité et continuité

[PDF] dérivabilité en 0

[PDF] dérivabilité ? gauche et ? droite

[PDF] étudier la dérivabilité d'une fonction sur un intervalle

[PDF] la dérivabilité cours

[PDF] exercice dérivabilité en un point

[PDF] exercices dérivabilité terminale

[PDF] fonction non dérivable

[PDF] exercices dérivabilité mpsi

[PDF] fonction dérivable en 0

[PDF] progression spiralée maths première s

[PDF] dérivées usuelles

[PDF] dérivé de

[PDF] exercices dérivées 1ere sti2d