Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
Elle permet d'étudier les variations d'une fonction de construire des accroissements finis `a la fonction f sur l'intervalle [x0
Dérivabilité des fonctions Définition de la dérivabilité Sur un
intervalle il y a juste une phrase à faire. Exemple. Montrer que f dérivabilité de f en 0 . 2) Soit la fonction f(x) = x . Etudier la dérivabilité de f en 0.
Continuité et dérivabilité dune fonction
7 nov. 2014 Soit une fonction continue sur un intervalle I = [a b]. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b)
DÉRIVATION
u est une fonction dérivable sur un intervalle. I ne s'annulant pas sur I 3) Etudier la dérivabilité de f. 4) Etudier les variations de f. 5) Tracer les ...
IV Dérivabilité sur un intervalle
L'un des usages principaux de la dérivée f d'une fonction f : I → R consiste à étudier les variations de f. On sait en effet depuis le lycée que si f est
de la 1`ere S `a la TS. Chapitre 4 : Études de fonctions Exercice n˚1
Montrer que f est 2π−périodique. Pour la suite de l'exercice on étudiera la fonction sur l'intervalle ]− Étudier la dérivabilité de f en 1. 3. Étudier la ...
Étudier une fonction trigonométrique
Soit f la fonction définie sur R par ( ) sin ². 2 cos. f x x x. = − . 1 Justifier pourquoi il suffit d'étudier les variations de f sur l'intervalle [ ]. 0; .
TRAVAUX DIRIGÉS N°1 - MATHÉMATIQUES
Etudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [– 3 ; 5 ]. 2. Ecrire l'équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse a = 0.
Partie 1 : Dérivées des fonctions usuelles
On peut lire dans le tableau plus haut que la fonction racine carrée est Soit et deux fonctions dérivables sur un intervalle . On veut démontrer ...
Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse. Elle permet d'étudier les variations d'une fonction de construire des tangentes `a une courbe
Continuité et dérivabilité dune fonction
07.11.2014 Définition 1 : Dire qu'une fonction f a pour limite ? en a signifie que tout intervalle ouvert contenant ? contient.
Dérivabilité des fonctions Définition de la dérivabilité Sur un
Les fonctions usuelles sont dérivables sur leur ensemble de définition intervalle il y a juste une phrase à faire. ... Etudier la dérivabilité en 1.
ÉTUDE DE LA RÉGULARITÉ DUNE FONCTION NUMÉRIQUE
Sinon toutes les autres fonctions usuelles ont le même domaine de dé nition et de dérivabilité. 2. Étude de la dérivabilité sur un intervalle. Méthode 1 : par
JUSTIFIER LEXISTENCE DUNE RÉCIPROQUE
Lorsqu'une fonction f est bijective d'un intervalle I sur un intervalle J Étudier la dérivabilité d'une fonction réciproque et calculer sa dérivée.
Dérivée dune fonction composée Définition de fonction composée
Dérivabilité de fonction composée. u est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I prenant ses valeurs dans un intervalle J.
Chapitre 23 : Dérivation dune fonction réelle
Soit I un intervalle de R. Soit a ? I. Soit f : I ? R. Exemple 8: Etudier la dérivabilité de la fonction arctan sur son ensemble de définition puis ...
DÉRIVATION
Soit une fonction f définie sur un intervalle I et dérivable en un nombre réel a 2) Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition et ...
Dérivation des fonctions
Dérivabilité sur un intervalle. Opérations. Dérivation d'une réciproque. Extremum d'une fonction. Théorème de Rolle. Théorème des accroissements finis.
Poly fonctions R dans R Tout les methodes
Comment étudier la dérivabilité d'une fonction f en un point x0 ? Comment montrer qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle?
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Elle permet d'étudier les variations d'une fonction de construire des tangentes `a une courbe et de résoudre des probl`emes d'optimisation En physique lorsqu
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Dérivabilité sur un intervalle Opérations Dérivation d'une réciproque Extremum d'une fonction Théorème de Rolle Théorème des accroissements finis
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Lorsque est dérivable en une équation de la tangente en A à la courbe (C) est : Soit une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I • Pour tout
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Calculons le nombre dérivé de la fonction f en un nombre réel quelconque a Pour h ? 0 : u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I
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Théorème : Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle Méthode : Étudier les variations d'une fonction polynôme du second degré
Comment étudier la dérivabilité d'une fonction sur un intervalle ?
On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en tout point de I. On note f la fonction dérivée de f qui à tout x ?I associe f (x). Si g ne s'annule pas sur I, f g est aussi dérivable sur I et ( f g ) = f g ? fg g2 . f (x) = ax + b cx + d .Comment Etudier la dérivabilité de F ?
Savoir étudier la dérivabilité d'une fonction
1Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a.2Dire que f est dérivable en a de nombre dérivé f ? ( a ) f'(a) f?(a), c'est dire que :3f ? ( a ) f'(a) f?(a) étant un réel.Soit f:I?R f : I ? R .
1On dit que f est dérivable sur I si et seulement si f est dérivable en chaque point de I et on note alors f?:x?f?(x) f ? : x ? f ? ( x ) la fonction dérivée de f sur I ainsi obtenue. 2On dit que f est de classe C1 sur I si et seulement si f est dérivable sur I et f? est continue sur I .
Dérivation des fonctions
Aimé Lachal
Cours de mathématiques
1 ercycle, 1reannéeSommaire
1Dérivabilité en un point
Nombre dérivé
Dérivabilité à gauche/à droite
Interprétation graphique
Fonctions à valeurs complexes
2Dérivabilité sur un intervalle
Opérations
Dérivation d"une réciproque
Extremum d"une fonction
Théorème de Rolle
Théorème des accroissements finis
Dérivée et variations
Limite de la dérivée3Dérivation d"ordre supérieurDérivées successives
ClasseCnOpérations
4Convexité d"une fonction
Fonctions convexes
Point d"inflexion
5Compléments
Règle de L"Hospital
Sommaire
1Dérivabilité en un point
Nombre dérivé
Dérivabilité à gauche/à droite
Interprétation graphique
Fonctions à valeurs complexes
2Dérivabilité sur un intervalle
3Dérivation d"ordre supérieur
4Convexité d"une fonction
5Compléments
1. Dérivabilité en un pointa) Nombre dérivé
Dans ce qui suit, sauf indication contraire,Idésigne un intervalle deRnonréduit à un point,fune application deIdansRetx0un point deI.Définition 1.1 (Dérivabilité)
Pour tout x?I\{x0}, on appelletaux d"accroissement defffentrex0x0x0etxxx le rapportτx0(x) =f(x)-f(x0)x-x0. On dit que f estdérivable enx0x0x0si l"applicationτx0admet une limitefinieen x0.On note alors cette limite f
?(x0)f?(x0)f?(x0)et on l"appelle lenombre dérivé defffenx0x0x0: f ?(x0) = limx→x0x?=x0f(x)-f(x0)x-x0= limh→0 h?=0f(x0+h)-f(x0)h Si x0est une borne de l"intervalle I, la limite deτx0en x0est supposée être une
limite à gauche ou une limite à droite selon le cas de figure.11. Dérivabilité en un pointa) Nombre dérivé
Corollaire 1.2 (Dérivabilité=?=?=?continuité)Si une fonction f estdérivableen x0alors f estcontinueen x0.
Attention, laréciproquede cette implication estfausse. Par exemple, pourf(x) =|x|et x0=0, la fonction f estcontinuemaispas dérivableen x0.Exemple 1.3 (Fonction puissance)
Soitn?N,f(x) =xnetx0?R. Les deux formulations conduisent àf?(x0) =nxn-1 0:0-→x→x0nxn-1
0; f(x0+h)-f(x0)h =(x0+h)n-xn0h =n 1 x n-1 0+n 2 x n-20h+···+n
n h n-1-→h→0nxn-10.Exemple 1.4 (Fonction sinus)
Soitf(x) = sinxetx0?R. Les deux formulations conduisent àf?(x0) = cosx0.En effet, à l"aide delimh→0sinhh
=1 etlimh→0cosh-1h =0 : f(x)-f(x0)x-x0=sinx-sinx0x-x0=2cosx+x02 sinx-x02 x-x0-→x→x0cosx0; +cosx0sinhh h→0cosx0.21. Dérivabilité en un pointb) Dérivabilité à gauche, à droite
Définition 1.5 (Dérivabilité à gauche, à droite) On dit que f estdérivable à gauche enx0x0x0(resp.dérivable à droite enx0x0x0) lorsque x0admet une limitefinieà gauche en x0(resp. une limitefinieà droite en x0).On note alors f
?g(x0) = lim x→x-0f(x)-f(x0)x-x0et f?d(x0) = lim
x→x+0f(x)-f(x0)x-x0.Proposition 1.6
Si f est définiedans un voisinage dex0x0x0:
f estdérivableen x0ssi f estdérivable à gauche et à droiteen x0et f ?g(x0)=f?d(x0).On a alors f
?(x0) =f?g(x0) =f?d(x0).Exemple 1.7 (Valeur absolue)Soitfla fonction "valeur absolue» :f(x) =|x|.
On a f(x)-f(0)x +1 six>0 -1 six<0puislim x→0+f(x)-f(0)x =+1,lim x→0-f(x)-f(0)x =-1. Ainsifest dérivableà droite et à gaucheen 0 :f?d(0) = +1 etf?g(0) =-1, maisf?g(0)?=f?d(0)doncfn"estpasdérivable en 0.31. Dérivabilité en un pointc) Interprétation graphique
Définition 1.8 (Tangente)
On munit le plan d"un repère orthonormal.
1Si f est une fonctiondérivableen x0, la droite
d"équation y=f?(x0)(x-x0) +f(x0)est appeléetangenteà la courbe représentative de f au point d"abscisse x 0.C"est la position limite descordesreliant
un point de la courbe M(x,f(x))au point M0(x0,f(x0))lorsque M tend vers M0.x
0xf(x0)f(x)M
0MDans le cas d"unedérivabilitéde f
uniquementà gauche ou à droiteen x0, on parle dedemi-tangente.2Dans le cas oùlim x→x-0ou x+
0f(x)-f(x0)x-x0=±∞, on dit que la courbe représentative
de f admet unedemi-tangente verticaleen x0.3Si f estcontinueen x0etdérivable à gauche et à droiteen x0avec f?g(x0)?=f?d(x0)
on dit que la courbe représentative de f admet unpoint anguleuxen x0.41. Dérivabilité en un pointc) Interprétation graphique
Proposition 1.9 (Approximation affine)
Supposons fdérivableen x0. Alors il existe une applicationεdéfinie dans un voisinage de x0aveclimx0ε=0telle que
au voisinage de x0,f(x) =f(x0) +f?(x0)(x-x0) + (x-x0)ε(x).x
0M0f(x0)xMf(x)f(x0)+f0(x0)(xx0)f
0(x0)(xx0)"(x)(xx0)C
fT La droiteTd"équation y=f(x0) +f?(x0)(x-x0)est latangenteà la courbe représentativeCfde f (cf. Définition1.8 ). Remarque :la relation f(x) =x→x0f(x0) +f?(x0)(x-x0) + (x-x0)ε(x)est appelée développement limité d"ordre 1 defffenx0x0x0(cf. chapitre " Développements limités »).51. Dérivabilité en un pointc) Interprétation graphique
Exemple 1.10 (Raccord dérivable)
Soitf(x) =(
x2six61, -x2+4x-2 six>1. fest continue surR; on af(x)-f(1)x-1=( x+1 six<1, -x+3 six>1, puislimx→1 x<1f(x)-f(1)x-1= limx→1 x>1f(x)-f(1)x-1=2; doncfest dérivable à droite et à gauche en 1 et f ?g(1)=f?d(1)=2. Ainsifest dérivable en 1 etf?(1)=2; la courbe admet la droite d"équationy=2x-1 pourtangenteau point de coordonnées(1,1).xf(x)11 Exemple 1.11 (Fonctions non dérivables en un point)1Soitg(x) =3⎷x. On alimx→0g(x)-g(0)x
donc la courbe admet unetangente verticaleen l"origine.xy y=3px2Soith(x) =|sinx|. On alim
x→0±h(x)-h(0)x =±1 donc la courbe admet unpoint anguleuxen l"origine.xy y=jsinxj 61. Dérivabilité en un pointd) Fonctions à valeurs complexes
On peut étendre la notion de dérivabilité aux fonctions definies surRà valeursdansCen utilisant les limites complexes des fonctions deRdansC.Proposition 1.12 (Dérivée d"une fonction à valeurs complexes)
Soit f une fonction de I dansCtelle que f(x) =f1(x) +if2(x), où f1et f2sont deux fonctions de I dansRet x0?I.La fonction f est dérivable en x
0ssi f1et f2le sont, et l"on a alors
f ?(x0) =f?1(x0) +if?2(x0).Proposition 1.13 (Dérivation de l"exponentielle complexe) Rappelons que pour tout z=a+ib?C,ez=ea(cosb+isinb)(exponentielle complexe). Soitλ?Cet f définie par?x?R,f(x) =eλx. Alors ?x?R,f?(x) =λeλx.7Sommaire
1Dérivabilité en un point
2Dérivabilité sur un intervalle
Opérations
Dérivation d"une réciproque
Extremum d"une fonction
Théorème de Rolle
Théorème des accroissements finis
Dérivée et variations
Limite de la dérivée
3Dérivation d"ordre supérieur
4Convexité d"une fonction
5Compléments
2. Dérivabilité sur un intervallea) Opérations
Définition 2.1 (Dérivabilité sur un intervalle) On dit qu"une fonction f estdérivable sur un intervalle Ilorsque f est dérivable en tout point de I. On note f?lafonction dérivéede f qui à tout x?I associe f?(x).Proposition 2.2 (Addition, multiplication, division)
Soit f et g deux fonctionsdérivablessur un intervalle I etλ?R. Les fonctionsλf , f+g, f×g sont alorsdérivablessur I et l"on a :Si g ne s"annule pas sur I,
fg est aussidérivablesur I etfg =f?g-fg?g2.Exemple 2.3 (Fonctions homographiques)
Soita,b,c,d?R,cétantnon nul.On définit la fonctionfpar f(x) =ax+bcx+d.Son ensemble de définition estDf=R\{-dc
La fonctionfestdérivablesurDfcomme quotient de fonctions dérivables et f ?(x) =ad-bc(cx+d)2. Remarque :fest constante ssi les couples(a,b)et(c,d)sont proportionnels.82. Dérivabilité sur un intervallea) Opérations
Proposition 2.4 (Composition)
Soit I et J deux intervalles, f une fonction de I dans J et g une fonction de J dansR. Si f estdérivablesur I et g estdérivablesur J alors g◦f estdérivablesur I et l"on a laformule de dérivation d"une fonction composée: (g◦f)?=f?×(g?◦f).Exemple 2.5 (Composées usuelles)Lorsque les conditions le permettent, on a :
•(ef)?=f?ef•(ln|f|)?=f?f •(fα)?=αf?fα-12fRemarque 2.6
Les conditionsfetgdérivables sontsuffisantesmaisnon nécessairespour queg◦fsoit dérivable.Par exemple, soitaetbdeux réels et
f(x) =axsix60 bxsix>0etg(x) =bxsix60 axsix>0. La fonctionh=f◦g=g◦fest définie parh(x) = (ab)x. Ainsi, lorsquea?=b,fetgnesontpasdérivables en 0 alors quehl"est.xyy=f(x)y=g(x)y=(gf)(x)O 92. Dérivabilité sur un intervalleb) Dérivation d"une réciproque
Théorème 2.7 (Dérivation d"une bijection réciproque) Soit f une applicationcontinue et strictement monotonesur un intervalle I. Elle induit unebijectionde I sur f(I)que l"on notera encore f .xy ax0bf(a)y
0f(b)f
0(x0)ax
0b f(a)y0f(b)1
f 0(x0) y=f(x)y=f1(x)1Supposons fdérivableen x0?I.Si f?(x0)?=0alors f-1estdérivable
en y0=f(x0)et l"on a
f-1?(y0) =1f ?(x0)=1f ?(f-1(y0)).Si f?(x0) =0alors f-1n"estpas
dérivableen y0=f(x0)et sa courbe représentative présente une (demi-)tangente verticaleau point d"abscisse yAlors f
-1est dérivable en y0=f(x0), (f-1)?(y0) =0et sa courbe représentative présente unetangente horizontaleau point d"abscisse y0.102. Dérivabilité sur un intervalleb) Dérivation d"une réciproque
Exemple 2.8 (Fonctions trigonométriques réciproques) arcsinest dérivable sur]-1,1[et ?x?]-1,1[,arcsin?(x) =1⎷1-x2. arccosest dérivable sur]-1,1[et ?x?]-1,1[,arccos?(x) =---1⎷1-x2. arctanest dérivable surRet ?x?R,arctan?(x) =11+x2.xy 22y= tanx
2 2 y= arctanxxy 11 y= cosx11y= arccosxxy
2 211y= sinx
2 211y= arcsinx11
2. Dérivabilité sur un intervallec) Extremum d"une fonction
Définition 2.9 (Extremum)
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x0?I.1On dit que f admet unmaximum local(resp. unminimum local) en x0s"il
existe un réelα >0tel que : ?x?]x0-α,x0+α[∩I,f(x)6f(x0) (resp.f(x)>f(x0))Un maximum ou un minimum local est appelé unextremum local.2On dit que f admet unmaximum global(resp. unminimum global) sur I en
x0lorsque :?x?I, f(x)6f(x0)(resp. f(x)>f(x0)).Proposition 2.10 (Condition nécessaire d"extremum)
Soit f une fonctiondérivablesur un intervalle I et x0?I quin"estpasune borne de I. Sif possède unextremum localen x0alorsf?(x0) =0.Remarque 2.11 (Point critique) Lorsquef?(x0) =0 on dit quex0est unpoint critiquede f. Attention, laréciproquede la proposition2.10 est fausse : un point critiquen"est pas nécessairementun extremum.Par exemple,f(x) =x3etx0=0.xx
3 122. Dérivabilité sur un intervalled) Théorème de Rolle
Théorème 2.12 (Théorème de Rolle)
Soit f: [a,b]-→Rune fonction telle que
f estcontinuesur[a,b]; f estdérivablesur]a,b[; f(a) =f(b).Alors?c?]a,b[tel que f?(c) =0.xf(x)abcf(a)=f(b)
Remarque 2.13
Les hypothèses "festcontinuesur[a,b]etdérivablesur]a,b[» sont équivalentesà "fdérivablesur]a,b[etcontinueenaetb.»
•Il n"est pas nécessaire de supposer fdérivable enaou/etb.xf(x)cabf(a)=f(b)Il peut y avoir une infinité de réelsc
tels quef?(c) =0.xf(x)abf(a)=f(b) 132. Dérivabilité sur un intervalled) Théorème de Rolle
Remarque 2.14 (Contre-exemples)
Le théorème peut être mis en défaut lorsqu"une hypothèse n"est pas satisfaite.xf(x)abf(a)=f(b)
fdiscontinueaux bornes de l"intervalle,f?ne s"annule pas.xf(x)abf(a)=f(b) fnon dérivableen un point à l"intérieur de l"intervalle,f?ne s"annule pas.Remarque 2.15 Le théorème de Rollenes"étendpasaux fonctions à valeurs complexes. Par exemple, la fonctionf:[0,2π]-→Cdéfinie parf(t)=eitest dérivable sur[0,2π], satisfaitf(0) =f(2π)alors que sa dérivée,f?(t) =ieit, ne s"annule pas.142. Dérivabilité sur un intervalled) Théorème de Rolle
Théorème 2.16 (Théorème de Rolle généralisé(facultatif))1Soit f:[a,+∞[-→Rune fonction telle que
f estcontinuesur[a,+∞[; •f estdérivablesur]a,+∞[; •lim+∞f=f(a).Alors?c?]a,+∞[tel que f?(c) =0.xf(x)
acf(a)=lim+1f2Soit f:R-→Rune fonction telle que f estdérivablesurR; •lim-∞f etlim+∞f existent et coïncident.Alors?c?Rtel que f?(c) =0.xf(x)
clim1f=lim+1f15
2. Dérivabilité sur un intervallee) Théorème des accroissements finis
Théorème 2.17 (Théorème des accroissements finis)Soit f: [a,b]-→Rune fonction telle que
f estcontinuesur[a,b]; f estdérivablesur]a,b[. Alors?c?]a,b[tel que f(b)-f(a)=f?(c)(b-a).xf(x)abcf(a)f(b) Corollaire 2.18 (Inégalité des accroissements finis - version 1) Soit f une fonctioncontinuesur[a,b]etdérivablesur]a,b[(a0tel que?x?I,|f?(x)|6k alors : ?(x,y)?I×I,|f(x)-f(y)|6k|x-y|.On dit que f est une fonction k
kk-Lipschitziennesur I (cf. cours du2ndsemestre).162. Dérivabilité sur un intervallee) Théorème des accroissements finis
Exemple 2.20 (Cinématique)
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