Dérivation des fonctions
On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en Cette règle permet d'étudier certaines formes indéterminées. 0. 0 . 30 ...
Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
Elle permet d'étudier les variations d'une fonction de construire des accroissements finis `a la fonction f sur l'intervalle [x0
Dérivabilité des fonctions Définition de la dérivabilité Sur un
intervalle il y a juste une phrase à faire. Exemple. Montrer que f dérivabilité de f en 0 . 2) Soit la fonction f(x) = x . Etudier la dérivabilité de f en 0.
Continuité et dérivabilité dune fonction
7 nov. 2014 Soit une fonction continue sur un intervalle I = [a b]. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b)
DÉRIVATION
u est une fonction dérivable sur un intervalle. I ne s'annulant pas sur I 3) Etudier la dérivabilité de f. 4) Etudier les variations de f. 5) Tracer les ...
IV Dérivabilité sur un intervalle
L'un des usages principaux de la dérivée f d'une fonction f : I → R consiste à étudier les variations de f. On sait en effet depuis le lycée que si f est
de la 1`ere S `a la TS. Chapitre 4 : Études de fonctions Exercice n˚1
Montrer que f est 2π−périodique. Pour la suite de l'exercice on étudiera la fonction sur l'intervalle ]− Étudier la dérivabilité de f en 1. 3. Étudier la ...
Étudier une fonction trigonométrique
Soit f la fonction définie sur R par ( ) sin ². 2 cos. f x x x. = − . 1 Justifier pourquoi il suffit d'étudier les variations de f sur l'intervalle [ ]. 0; .
TRAVAUX DIRIGÉS N°1 - MATHÉMATIQUES
Etudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [– 3 ; 5 ]. 2. Ecrire l'équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse a = 0.
Partie 1 : Dérivées des fonctions usuelles
On peut lire dans le tableau plus haut que la fonction racine carrée est Soit et deux fonctions dérivables sur un intervalle . On veut démontrer ...
Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse. Elle permet d'étudier les variations d'une fonction de construire des tangentes `a une courbe
Continuité et dérivabilité dune fonction
07.11.2014 Définition 1 : Dire qu'une fonction f a pour limite ? en a signifie que tout intervalle ouvert contenant ? contient.
Dérivabilité des fonctions Définition de la dérivabilité Sur un
Les fonctions usuelles sont dérivables sur leur ensemble de définition intervalle il y a juste une phrase à faire. ... Etudier la dérivabilité en 1.
ÉTUDE DE LA RÉGULARITÉ DUNE FONCTION NUMÉRIQUE
Sinon toutes les autres fonctions usuelles ont le même domaine de dé nition et de dérivabilité. 2. Étude de la dérivabilité sur un intervalle. Méthode 1 : par
JUSTIFIER LEXISTENCE DUNE RÉCIPROQUE
Lorsqu'une fonction f est bijective d'un intervalle I sur un intervalle J Étudier la dérivabilité d'une fonction réciproque et calculer sa dérivée.
Dérivée dune fonction composée Définition de fonction composée
Dérivabilité de fonction composée. u est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I prenant ses valeurs dans un intervalle J.
Chapitre 23 : Dérivation dune fonction réelle
Soit I un intervalle de R. Soit a ? I. Soit f : I ? R. Exemple 8: Etudier la dérivabilité de la fonction arctan sur son ensemble de définition puis ...
DÉRIVATION
Soit une fonction f définie sur un intervalle I et dérivable en un nombre réel a 2) Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition et ...
Dérivation des fonctions
Dérivabilité sur un intervalle. Opérations. Dérivation d'une réciproque. Extremum d'une fonction. Théorème de Rolle. Théorème des accroissements finis.
Poly fonctions R dans R Tout les methodes
Comment étudier la dérivabilité d'une fonction f en un point x0 ? Comment montrer qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle?
[PDF] Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
Elle permet d'étudier les variations d'une fonction de construire des tangentes `a une courbe et de résoudre des probl`emes d'optimisation En physique lorsqu
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Dérivabilité sur un intervalle Opérations Dérivation d'une réciproque Extremum d'une fonction Théorème de Rolle Théorème des accroissements finis
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7 nov 2014 · Si une fonction est continue sur un intervalle sa représentation graphique est en un seul morceau Si la fonction est dérivable sa
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IV Dérivabilité sur un intervalle L'un des usages principaux de la dérivée f d'une fonction f : I ? R consiste à étudier les variations de f On
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Si dans un énoncé on demande de montrer qu'une fonction est dérivable sur un intervalle il y a juste une phrase à faire Exemple Montrer que f(x) = (x² + 3x)
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5 oct 2018 · Soient f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et a b ? I tels que a
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2) Soit une fonction définie sur un intervalle de étudier la dérivabilité de f en 0 2- Etudier la dérivabilité de à droite et à gauche
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Lorsque est dérivable en une équation de la tangente en A à la courbe (C) est : Soit une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I • Pour tout
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Calculons le nombre dérivé de la fonction f en un nombre réel quelconque a Pour h ? 0 : u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I
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Théorème : Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle Méthode : Étudier les variations d'une fonction polynôme du second degré
Comment étudier la dérivabilité d'une fonction sur un intervalle ?
On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en tout point de I. On note f la fonction dérivée de f qui à tout x ?I associe f (x). Si g ne s'annule pas sur I, f g est aussi dérivable sur I et ( f g ) = f g ? fg g2 . f (x) = ax + b cx + d .Comment Etudier la dérivabilité de F ?
Savoir étudier la dérivabilité d'une fonction
1Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a.2Dire que f est dérivable en a de nombre dérivé f ? ( a ) f'(a) f?(a), c'est dire que :3f ? ( a ) f'(a) f?(a) étant un réel.Soit f:I?R f : I ? R .
1On dit que f est dérivable sur I si et seulement si f est dérivable en chaque point de I et on note alors f?:x?f?(x) f ? : x ? f ? ( x ) la fonction dérivée de f sur I ainsi obtenue. 2On dit que f est de classe C1 sur I si et seulement si f est dérivable sur I et f? est continue sur I .
Dérivabilité des fonctions Définition de la dérivabilité Sur un intervalle
Les fonctions usuelles sont dérivables sur leur ensemble de définition ouvert. Si dans un énoncé, on demande de montrer qu'une fonction est dérivable sur un intervalle, il y a juste une phrase à faire.Exemple
Montrer que f(x) = (x² + 3x) 8+x est dérivable sur ][+¥-;8 . La fonctio est le produit d'un polynôme (x² + 3x) dérivable sur R et d'une racine continue sur ][+¥-;8 donc elle est dérivable sur ][+¥-;8 . Attention : vous remarquerez la différence entre l'exemple de la continuité et celui-ci : l'intervalle d'étude est totalement ouvert !En un point
Là encore, il n'y a qu'une chose à faire : connaître la formule et l'utiliser Une fonction est dérivable en a si et seulement si ax afxf ax- )()(lim est un nombre finiExemple
Montrer que la fonction f(x) = xx²est dérivable en 0§ On commence par calculer 0
)0()( x fxf puis on étudie sa limite en 0 : xxx xx x fxf==- 0 )0()( et 0lim 0=®xx
x § Ensuite on regarde si la limite trouvée est un nombre fini : 0 est bien un nombre fini. § On conclut : f est dérivable en 0 et f '(0) = 0Dérivabilité et conséquence graphique
Lorsqu'une fonction est dérivable en a, f '(a) est le coefficient directeur de la tangente à la
courbe de f au point d'abscisse a. En particulier, si f '(a) = 0, la tangente est horizontale. Lorsqu'une fonction n'est pas dérivable en a et que ¥=-®ax
afxf ax )()(lim, la courbe de f admet au point d'abscisse a une tangente verticale . Visualisons pourquoi la tangente est verticale dans ce cas On sait que le coefficient directeur correspond à l'angle entre l'axe des abscisses et la droite . Sur le graphique suivant , on a tracé des droites de coefficient directeur de plus en plus grand , on s'aperçoit que ces droites s'approchent de la verticale , donc un coefficient directeur infini conduit à une droite verticale .La droite rose a pour coefficient : 0,5
La droite rouge : 1
La droite bleue :1,5
La droite verte : 3
Dérivabilité des fonctions
Exemple 1
Soit f(x) = 1²+x . Etudier la dérivabilité de f en 0 ()()()()11²11²11²
11²11²11²
0 )0()( x x xx x xx xx x x x fxf211²lim
0=++ ®x x donc 011²lim0=++®x
x x La fonctio est donc dérivable en 0 et f '(0) = 0 Donc la courbe de f admet au point d'abscisse 0 une tangente horizontaleExemple 2
Soit f(x) = 1+x . Etudier la dérivabilité de f en - 1 1 1 1 1 1 )1()( xx x x fxf et + -®=+01lim 1x x donc +¥=-- +-®)1( )1()(lim 1x fxf xLa fonctio n'est pas dérivable en - 1
La courbe de f admet une tangente verticale au point d'abscisse - 1 .Exemple 3
Soit f(x) = 1-x . Etudier la dérivabilité en 1 11 1 1 )1()(=- x x x fxf si x > 1 et 11 1 1 )1()(-=- x x x fxf si x < 1 .Donc 11
)1()(lim 1-=- -®x fxf x et 11 )1()(lim 1=- +®x fxf x .La fonctio n'est pas dérivable en 1 car les limites à gauche et à droite sont différentes
La courbe admet deux demi-tangentes .
Exercices
Exercice 1
1) Soit la fonctio définie par f(x) = ÷ø
ae xx1sin si x ¹0 et f(0) = 0 . Etudier la dérivabilité de f en 0 .2) Soit la fonction f(x) = x . Etudier la dérivabilité de f en 0
3) Soit la fonction f définie par f(x) = x² si x ³ 0 et f(x) = x - 1 si x < 0 . Etudier la
dérivabilité de f en 0 .4) Soit la fonctio définie par f(x) = x² si x ³0 et f(x) = x si x < 0 . Etudier la
dérivabilité de f en 0 .5) Soit la fonctio définie par f(x) = x² si x ³ 0 et f(x) = - x² si x < 0 . Etudier la
dérivabilité de f en 0 .Dérivabilité des fonctions
Exercice 2
Dire si les phrases suivantes sont vraies ou fausses :1) La fonctio définie par f(x) = 1²
1 x x est continue en 12) La fonctio définie par f(x) = 1
1² x x est continue en 1 3) 5 4 4554lim=-
+¥®x x x4) +¥=+
1limx x x5) Si +¥=
¥+ulim et u < v alors +¥=
¥+vlim
6) Si +¥=
¥+ulim et v < u alors +¥=
¥+vlim
7) La fonction g(x) = 1²
cos +x x n'a pas de limite en ¥+8) 0lim®x1²
cos +x x = 19) La courbe de la fonction f(x) = 1²
1²2
x x admet trois asymptotes10) La courbe de la fonction f(x) = 1²2
1² x x admet trois asymptotes11) La dérivée de cos(x²) est - 2 x sin(x²)
12) La dérivée de cos² x est - 2 x sin(x²)
13) La dérivée de 42
1 +x est ()342 1 +x14) La dérivée de tan x est tan² x - 1
15) 01coslim0=-
®x x x16) La dérivée seconde de ( x² - 4 ) ( 2x - 3 ) est 6 ( 2x - 1 )
17) La tangente au point d'abscisse 1 à la courbe de la fonction f(x) = x3 + x + 1 a pour
équation y = 4x - 1
18) La fonction f(x) = 1-xx est dérivable sur [[+¥;1
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